In dieser Aufgabe wird die Ausbreitung von harmonischen Wellen und deren kennzeichnenden Größen thematisiert. Eine Betrachtung von Phasenbeziehungen ermöglicht die Messung der Schallgeschwindigkeit.

In unterschiedlichen Interferenzversuchen wurden die Quanteneigenschaften von Elektronen, Neutronen und ganzen Molekülen experimentell bestätigt. Der Aufbau für ein solches Experiment mit Molekülen aus 60 Kohlenstoffatomen (-Moleküle) ist in Material 2a abgebildet.

Mittels einer Vakuum-Fotozelle wird der Prozess der Energieübertragung beim äußeren lichtelektrischen Effekt untersucht. In der experimentellen Umsetzung ist die Messung einer Spannung von zentraler Bedeutung, die hier mit bezeichnet wird.

In dieser Aufgabe wird die Ausbreitung von harmonischen Wellen und deren kennzeichnenden Größen thematisiert. Eine Betrachtung von Phasenbeziehungen ermöglicht die experimentelle Bestimmung der Schallgeschwindigkeit.

Unterschied zwischen longitudinalen und transversalen Wellen

• Bei longitudinalen Wellen schwingen die Oszillatoren parallel zur Ausbreitungsrichtung der Welle.

• Bei transversalen Wellen erfolgt die Schwingung der Oszillatoren senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle.

Begründung des Zusammenhangs

Der kleinste räumliche Abstand zwischen zwei benachbarten Oszillatoren im exakt gleichen Schwingungszustand definiert die Wellenlänge Innerhalb einer Periodendauer legt die Welle mit der Geschwindigkeit somit die Strecke zurück. Daraus folgt:

Da die Frequenz als Kehrwert der Periodendauer definiert ist, lässt sich die Gleichung direkt umschreiben zu:

Ermittlung der Kenngrößen

Die Abbildungsreihe in Material 1a verdeutlicht, dass die Welle nach einer Zeitspanne von eine Distanz von zurückgelegt hat. Das Erregerzentrum bei hat zu diesem Zeitpunkt exakt eine volle Schwingung abgeschlossen und schwingt somit phasengleich mit dem Oszillator bei Folglich beträgt die Periodendauer und die Wellenlänge

Daraus resultiert direkt die Frequenz

Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit ergibt sich:

Die Positionen und liegen auseinander, was exakt einem Viertel der berechneten Wellenlänge von entspricht. Der Phasenunterschied beläuft sich demzufolge ebenfalls auf eine Viertelperiode:

Erstellung des Diagramms

Mit der Periodendauer und der Amplitude von ergibt sich:

Analyse der Phasenunterschiede

Aus den Versuchshinweisen (Material 1c) geht hervor, dass die Aufzeichnungen der Kanäle 1 und 2 zeitgleich starten. Aus dem Oszilloskopbild ergibt sich:

• Die Kurvenverläufe zeigen, dass die Maxima von Kanal 2 genau mit den Nulldurchgängen mit negativer Steigung von Kanal 1 zusammenfallen.

• Jedes Maximum tritt in Kanal 2 um mindestens eine Viertelperiode zeitverzögert auf.

Dies beweist, dass das Signal des ersten Empfängers dem zweiten mindestens um eine Viertelperiode vorangeht. Neben diesem Basiswert von sind aufgrund der periodischen Wiederholung alle Verschiebungen um ein Vielfaches der Vollphase denkbar:

mit

Ergänzung des Oszilloskopbildes

Bei einer Phasendifferenz von sind die Signale um exakt eine halbe Periode gegeneinander verschoben. Daraus folgt:

Berechnung der Schallgeschwindigkeit

Eine zehnmalige Wiederholung des identischen Kurvenbildes im Oszilloskop bedeutet, dass der Empfänger um exakt komplette Wellenlängen verschoben wurde.

Die gemessene Distanz von entspricht daher woraus sich ableiten lässt.

Zusammen mit der Ultraschallfrequenz von lässt sich die Schallgeschwindigkeit wie folgt berechnen:

Temperaturbeurteilung durch Fehleranalyse

Die Messapparatur weist laut Aufgabenstellung eine Unsicherheit von für die ermittelte Verschiebedistanz auf. Daraus resultiert ein relativer Messfehler von:

Da linear von abhängt, überträgt sich dieser Fehler direkt auf die Geschwindigkeit:

Das tatsächliche Ergebnis liegt demnach im Intervall zwischen und

Ein Abgleich dieser Grenzwerte mit Material 1e zeigt, dass diese Geschwindigkeiten mit einem weiten Temperaturbereich von etwa bis korrespondieren. Diese enorme Spanne macht eine präzise Aussage über die tatsächliche Raumtemperatur unmöglich.

Vergleich der experimentellen Ergebnisse

Die Analyse der beiden Graphen zeigt klare Gemeinsamkeiten sowie signifikante Unterschiede:

• Gemeinsamkeit: Beide Verteilungen weisen im Zentrum (bei der Detektorposition ) einen schmalen, sehr intensiven Peak auf.

• Unterschied: Fehlt das Gitter, so sinkt die registrierte Zählrate zu beiden Seiten des zentralen Peaks sehr schnell und symmetrisch auf Werte nahe null ab.
  Befindet sich das Gitter im Strahlengang, entsteht ein charakteristisches Interferenzmuster. Symmetrisch zum Hauptmaximum treten auf beiden Seiten im gleichen Abstand weitere lokale Maxima geringerer Intensität auf, bevor die Kurve zu den Rändern hin abfällt.

Nachweis der Quanteneigenschaften

Das Verhalten von Quantenobjekten wird durch den Welle-Teilchen-Dualismus beschrieben. Die Versuchsergebnisse belegen beide Eigenschaften:

• Teilchencharakter: Am Detektor werden einzelne, diskrete Impulse registriert, die jeweils einem ankommenden -Molekül zugeordnet werden können.

• Wellencharakter: Das Auftreten von Nebenmaxima beim Experiment mit dem Gitter ist eine eindeutige Interferenzerscheinung, die sich nur durch die Überlagerung von Wellen erklären lässt.

Für konstruktive Interferenz an einem Gitter gilt die Bedingung aus der Aufgabenstellung:

Aus dem Diagramm (Material 2b) lässt sich für das Maximum erster Ordnung () der Abstand zum Hauptmaximum ablesen. Der Abstand zwischen dem linken und rechten Nebenmaximum beträgt etwa was zu führt.

Mit der Gitterkonstanten dem Abstand und ergibt sich die Wellenlänge durch Einsetzen:

Ermittlung des funktionalen Zusammenhangs

Die Messdaten aus Material 2c legen eine antiproportionale Abhängigkeit nahe (je größer die Geschwindigkeit, desto kleiner die Wellenlänge). Zur Verifikation wird das Produkt aus Wellenlänge und Geschwindigkeit () für die Messpunkte gebildet:

Die Produkte sind im Rahmen der zu erwartenden Messungenauigkeit nahezu konstant. Der Mittelwert beträgt circa:

Daraus resultiert die Funktionsgleichung:

Überprüfung der De-Broglie-Gleichung

Die De-Broglie-Gleichung beschreibt den Zusammenhang Durch Umstellen ergibt sich folgendes:

Mithilfe der gegebenen Masse der Phthalocyanin-Moleküle () lässt sich der theoretische Wert berechnen:

Dieser theoretische Wert liegt extrem nah an dem experimentell ermittelten Faktor von Die Gültigkeit der De-Broglie-Gleichung ist somit für diese Quantenobjekte sehr gut bestätigt.

Ein vorgeschalteter Geschwindigkeitsfilter schränkt die Streuung der Molekülgeschwindigkeiten deutlich ein. Weil die Wellenlänge direkt von der Geschwindigkeit abhängt (), reduziert sich folglich auch die Streuung der Wellenlängen im Strahl. Der Teilchenstrahl wird dadurch nahezu monochromatisch.

Durch die einheitlichere Wellenlänge treten die Interferenzmerkmale wesentlich präziser hervor, was die Sichtbarkeit von Nebenmaxima höherer Ordnung in Material 2e ermöglicht.

Der Filter senkt zusätzlich die mittlere Geschwindigkeit der durchgelassenen Teilchen. Eine geringere Geschwindigkeit führt zu einer größeren Wellenlänge, was wiederum den Abstand zwischen den Interferenzmaxima vergrößert. Dies erleichtert die messtechnische Erfassung des Musters erheblich.

Das physikalische Prinzip der Komplementarität lässt sich hervorragend an einem klassischen Doppelspaltexperiment veranschaulichen. Wird ein Strahl von Quantenobjekten auf einen Doppelspalt gerichtet und ausschließlich der finale Auftreffort auf einem Schirm gemessen, so entsteht durch die Superposition der Wellenfunktionen der Quantenobjekte ein klares Interferenzmuster. Die Quantenobjekte zeigen in diesem Fall reine Welleneigenschaften, da keine Information darüber existiert, welchen Spalt sie passiert haben.

Wird jedoch ein Detektor an einem der Spalte platziert, um durch eine Ortsmessung herauszufinden, welchen Weg ein einzelnes Objekt exakt genommen hat, bricht das Interferenzmuster augenblicklich zusammen. Die Weginformation schließt somit die Fähigkeit zur Interferenz aus.

Komplementarität bedeutet in diesem Kontext, dass sich Teilcheneigenschaften (messbarer Weg/Ort) und Welleneigenschaften (Interferenz) gegenseitig ausschließen und niemals gleichzeitig beobachtet werden können.

Um die maximale Geschwindigkeit der herausgelösten Fotoelektronen experimentell zu ermitteln, eignet sich z.B. die sogenannte Gegenfeldmethode.

Eine monochromatische Lichtquelle beleuchtet die Fotozelle (Kathode). Dadurch lösen sich aus der Kathode rausgelöst, die dann zur Anode wandern, wodurch an der Anode ein Stromfluss gemessen werden kann.

Wird nun eine regelbare Gegenspannung so angelegt, dass die Anode negativ und die Kathode positiv gepolt ist, baut sich ein elektrisches Feld auf, welches die Elektronen abbremst. Diese Spannung wird exakt so weit hochgeregelt, bis das empfindliche Amperemeter einen Fotostrom von exakt null anzeigt.

An diesem Punkt reicht die maximale kinetische Energie der schnellsten Elektronen gerade nicht mehr aus, um das Gegenfeld zu überwinden. Über die Energieerhaltung () lässt sich die Geschwindigkeit durch Gleichsetzen mit der kinetischen Energie ermitteln:

Berechnung der fehlenden Werte

Für die Wellenlänge von (bei einer gemessenen Spannung von ) ergibt sich:

Die zugehörige Frequenz des eingestrahlten Lichts folgt direkt aus der Wellengleichung:

Bestimmung der Planck-Konstante aus dem Diagramm

Die ermittelten Werte werden in ein Koordinatensystem eingetragen und eine Ausgleichsgerade durch die Messpunkte gelegt:

Die Steigung der Ausgleichsgeraden entspricht der Planck-Konstante Über das Steigungsdreieck lässt sich der Wert für diese berechnen:

Vergleich mit dem Literaturwert

Der experimentell ermittelte Wert von stimmt hervorragend mit dem Literaturwert von überein. Die relative Abweichung liegt lediglich im Bereich von etwa was für ein Schulexperiment ein extrem präzises Ergebnis darstellt.

Deutung des Diagramms mithilfe der Einstein-Gleichung

Die Einstein-Gleichung lässt sich in die Form einer linearen Funktion umstellen. Das Diagramm visualisiert diese Energiebilanz:

• Die Steigung der Geraden ist universell und entspricht der Planck-Konstante

• Der Hochachsenabschnitt (Schnittpunkt mit der vertikalen Achse im negativen Bereich) stellt die Austrittsenergie dar, also die Energie, die materialabhängig mindestens aufgebracht werden muss, um ein Elektron aus dem Material zu lösen.

• Die Nullstelle der Funktion markiert die Grenzfrequenz. Licht unterhalb dieser Frequenz besitzt pro Photon zu wenig Energie, um den Fotoeffekt bei diesem spezifischen Material überhaupt auszulösen.

Wird ein Kathodenmaterial mit einer höheren Austrittsenergie verwendet, muss ein größerer Anteil der ankommenden Photonenenergie aufgewendet werden, um das Elektron überhaupt erst aus dem Kathodenmaterial zu lösen. Gemäß der Energieerhaltung steht dem Elektron nach dem Austritt somit eine deutlich geringere Restenergie als maximale kinetische Energie zur Verfügung. Aufgrund der geringeren maximalen kinetischen Energie, fallen die maximalen Geschwindigkeiten der Fotoelektronen bei diesem Material entsprechend geringer aus.

Hypothese zur Entstehung eines Sonnenbrands

Sonnenbrand tritt nur auf, wenn die Strahlungsenergie eines einzelnen Photons einen kritischen Mindestwert (Schwellenenergie) überschreitet, um chemische Bindungen in den DNA-Molekülen aufzubrechen. Sichtbares Licht erreicht diese Schwelle nicht.

Physikalische Begründung der Hypothese

Die Begründung stützt sich darauf, dass Licht quantisiert ist. Ein einzelnes Elektron in den Atomen der Haut-DNA absorbiert also stets die Energie genau eines ankommenden Photons.

Da UVB-Strahlung wesentlich kurzwelliger als sichtbares Licht ist, besitzen die UVB-Photonen eine weitaus höhere Photonenenergie. Nur diese energiereichen UVB-Photonen besitzen die notwendige Energie, um die Bindungen in der DNA zu spalten und die Zelle zu schädigen.

Sichtbares Licht besteht aus energieärmeren Photonen. Eine Erhöhung der Intensität bedeutet im Photonenmodell lediglich, dass mehr Photonen auf die Haut treffen. Da sich die Energie des einzelnen Photons dadurch jedoch nicht verändert, bleiben die Photonen des sichtbaren Lichts weiterhin zu energiearm für eine Schädigung der DNA – unabhängig davon, wie intensiv die Strahlung ist.