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Pflichtteil

Aufgaben
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Aufgabe 1

Bilde die Ableitung der Funktion $f$ mit $f(x)=x^4\cdot \sin (3x)$.
(2 BE)
#ableitung

Aufgabe 2

Löse die Gleichung $(\cos (x))^2 +2\cos (x)=0$ für $0\leq x\leq 2\pi$.
(2 BE)

Aufgabe 3

a)
Zeige, dass einer der Punkte, in denen $g$ den Graphen von $f$ schneidet, die $x$-Koordinate $\dfrac{1}{2}$ hat.
b)
Bestimme rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f,$ die $x$-Achse und die Gerade $g$ einschließen.
(2,5 BE)
#nullstelle#zentraleraufgabenpool

Aufgabe 4

Die Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion $f.$
a)
Einer der folgenden Graphen $\text{I},$ $\text{II}$ oder $\text{III}$ gehört zur ersten Ableitungsfunktion von $f.$ Gib diesen Graphen an. Begründe, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.
Ableitung 1
Abb. 3: Graph $\text{I}$
Ableitung 1
Abb. 3: Graph $\text{I}$
Ableitung 2
Abb. 4: Graph $\text{II}$
Ableitung 2
Abb. 4: Graph $\text{II}$
Ableitung 3
Abb. 5: Graph $\text{III}$
Ableitung 3
Abb. 5: Graph $\text{III}$
b)
Die Funktion $F$ ist eine Stammfunktion von $f.$
Gib das Monotonieverhalten von $F$ im Intervall $[1;3]$ an. Begründe deine Angabe.
(2,5 BE)
#ableitung#zentraleraufgabenpool#monotonie#stammfunktion

Aufgabe 5

Gegeben sind die Gerade $g: \overrightarrow{x}= \pmatrix{2\\0\\1}+ t\cdot\pmatrix{1\\0\\-3}$ und die Ebene $E:3x_1-2x_2+x_3=14$.
a)
Untersuche die gegenseitige Lage von $g$ und $E$.
b)
Die Gerade $h$ entsteht durch Spiegelung der Gerade $g$ an der Ebene $E$.
Bestimme eine Gleichung von $h$.
(4 BE)

Aufgabe 6

Gegeben ist die Gerade $g: \overrightarrow{x}= \pmatrix{4\\-6\\3}+ t\cdot \pmatrix{1\\-2\\2}.$
a)
Berechne die Koordinaten des Punktes, in dem $g$ die $x_2x_3$-Ebene schneidet.
b)
Bestimme den Abstand des Punktes $P (-3\mid -1 \mid 7)$ von der Geraden $g.$
(4 BE)

Aufgabe 7

In einer Urne sind eine rote, eine weiße und drei schwarze Kugeln. Es wird so lange ohne Zurücklegen gezogen, bis man eine schwarze Kugel zieht.
Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
A: "Man zieht genau zwei Kugeln."
B: "Unter den gezogenen Kugeln befindet sich die rote Kugel."
(3 BE)
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Lösungen
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Aufgabe 1

Unter Anwendung der Produktregel- und Kettenregel folgt:
$f'(x)= 4x^3\cdot \sin(3x)+3x^4\cdot \cos(3x)$
$ f'(x)=… $
#kettenregel#produktregel

Aufgabe 2

$\begin{array}[t]{rll} (\cos(x))^2+2\cos(x) &=& 0 \\[5pt] \cos(x) \cdot \left(\cos(x) +2 \right) &=& 0 \end{array}$
$ \cos(x) \cdot \left(\cos(x) +2 \right) = 0 $
Wegen des Satzes vom Nullprodukt muss mindestens einer der beiden Faktoren Null sein.
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}\quad & \cos(x) &=& 0 \\[5pt] \text{II}\quad & \cos(x) + 2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] & \cos(x) &=& -2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}\quad & \cos(x) &=& 0 \\[5pt] \text{II}\quad & \cos(x) &=& -2 \end{array}$
Die erste Gleichung ist für $x_1= \frac{\pi}{2}$ und $x_2=\frac{3}{2}\pi$ erfüllt.
Da $\cos(x)$ nur Werte zwischen $-1$ und $1$ annehmen kann, gibt es keine Lösung für die zweite Gleichung.
Die Lösungen der Gleichung sind also $x_1= \dfrac{\pi}{2}$ und $x_2=\dfrac{3}{2}\pi.$
#kosinus

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Schnittstelle zeigen
Damit sich der Graph von $f$ und $g$ an der Stelle $x$ schneiden, muss $f(x) = -3$ gelten:
$\begin{array}[t]{rll} -3 &=& f(x) \\[5pt] -3 &=& 1-\frac{1}{x^2} &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -4 &=& -\frac{1}{x^2} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \left(-x^2\right) \\[5pt] 4x^2&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] x^2 &=& \frac{1}{4} \\[5pt] x_1 &=& -\frac{1}{2} \\[5pt] x_2 &=& \frac{1}{2} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& -\frac{1}{2} \\[5pt] x_2 &=& \frac{1}{2} \end{array}$
Der Graph von $f$ und die Gerade $g$ schneiden sich also in zwei Punkten, einer von ihnen besitzt die $x$-Koordinate $\frac{1}{2}.$
b)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt rechnerisch bestimmen
Anhand der Skizze in Abbildung 1 kannst du die betrachtete Fläche in drei Teilstücke aufteilen. Wegen der Symmetrie des Graphen von $f$ zur $y$-Achse sind die beiden grünen Flächen gleichgroß.
Fläche
Abb. 1: Skizze
Fläche
Abb. 1: Skizze
Sowohl die Nullstellen von $f$ als auch die Schnittstellen von $f$ und $g$ sind dir bekannt. Du kannst also den Inhalt $A_1$ der rechten grünen Fläche mit einem Integral über $f$ in den Grenzen $a=0,5$ und $b=1$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A_1 &=& \left|\displaystyle\int_{0,5}^{1}f(x)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left|\displaystyle\int_{0,5}^{1}\left(1-\frac{1}{x^2} \right)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left| \left[x+\frac{1}{x} \right]_{0,5}^1 \right| \\[5pt] &=& 1+\frac{1}{1} - \left(0,5+\frac{1}{0,5} \right)\\[5pt] &=& 0,5 \end{array}$
$ A_1 = 0,5 $
Bei der schraffierten Fläche handelt es sich um ein Rechteck mit den Seitenlängen $1$ und $3.$ Der zugehörige Flächeninhalt ist also:
$\begin{array}[t]{rll} A_2 &=& 1\cdot 3 \\[5pt] &=& 3 \end{array}$
Der gesamte Flächeninhalt ergibt sich zu:
$A = 2\cdot A_1 +A_2 = 2\cdot 0,5 + 3 = 4$
Die Fläche, die der Graph von $f,$ die Gerade $g$ und die $x$-Achse einschließen, besitzt einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten.
#integral

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Graphen zuordnen
Die erste Ableitungsfunktion beschreibt die Steigung des Graphen der Ausgangsfunktion $f.$
Gehe also nacheinander die Graphen $\text{I}$ bis $\text{III}$ durch und überprüfe, ob markante Funktionswerte zu der Steigung des Graphen von $f$ passen.
  • Graph $\text{I}$ schneidet die $x$-Achse an den Stellen $x_1 = -2$ und $x_2 = 2.$ Der Graph von $f$ muss an diesen Stellen also die Steigung $0$ haben. Dies trifft zu, da der Graph von $f$ an diesen Stellen offensichtlich Extrempunkte besitzt.
    Weiterhin kannst du ablesen, dass Graph $\text{I}$ die $y$-Achse ca. im Punkt $(0\mid -0,8)$ schneidet. An der Stelle $x=0$ muss der Graph von $f$ also die Steigung $-0,8$ besitzen. Zeichnest du eine Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=0$ in Abbildung 2 ein, so kannst du abschätzen, dass diese in etwa die Steigung $-0,8$ besitzt.
    Du kannst also davon ausgehen, dass diese beiden Bedingungen dafür sprechen, dass Graph $\text{I}$ zur Ableitungsfunktion von $f$ gehört.
  • Graph $\text{II}$ schneidet die $x$-Achse an den Stellen $x_1 \approx -3,5$ und $x_2\approx 3,5.$ An diesen Stellen müsste der Graph von $f$ also die Steigung $0$ haben. Dies ist aber nicht der Fall. Graph $\text{II}$ kann also nicht zur Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ gehören.
  • Graph $\text{III}$ besitzt zwar die gleichen Schnittpunkte mit der $x$-Achse wie Graph $\text{I}$ und passt in diesem Kriterium daher zur gesuchten Ableitungsfunktion, schneidet die $y$-Achse aber im Punkt $(0\mid -2).$ Der Graph von $f$ müsste daher an der Stelle $x=0$ die Steigung $-2$ besitzen. Oben haben wir aber bereits abgelesen, dass die Steigung an dieser Stelle ca. $-0,8$ beträgt. Graph $\text{III}$ kann daher nicht zur gesuchten Ableitungsfunktion von $f$ gehören.
Graph $\text{I}$ gehört zur ersten Ableitungsfunktion von $f.$
b)
$\blacktriangleright$  Monotonieverhalten angeben
Im Intervall $[1;3]$ liegt der Graph von $f$ unterhalb der $x$-Achse. $f$ besitzt daher negative Funktionswerte auf dem gesamten Intervall. Da $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, ist $f$ die erste Ableitungsfunktion von $F$ und beschreibt demnach die Steigung des Graphen von $F.$
Da die Funktionswerte von $f$ auf dem Intervall $[1;3]$ negativ sind, ist die Steigung des Graphen von $F$ auf diesem Intervlal negativ. Die Funktion $F$ fällt also streng monoton auf dem Intervall $[1;3].$

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Gegenseitige Lage untersuchen
Die Punkte auf $g$ besitzen die Koordinaten $G(2+t\mid 0 \mid 1-3t).$ Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} E:\, 3x_1 -2x_2 +x_3 &=& 14 \\[5pt] 3\cdot (2+t) -2\cdot 0 + (1-3t)&=& 14 \\[5pt] 6+3t +1-3t &=& 14 \\[5pt] 7 &=& 14 \end{array}$
$ … 4= 14 $
Dies ist ein Widerspruch. Die Gerade $g$ und die Ebene $E$ haben somit keine gemeinsamen Punkte und verlaufen parallel zueinander.
b)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung bestimmen
$h$ verläuft parallel zu $g.$ Du kannst also den Richtungsvektor von $g$ als Richtungsvektor von $h$ verwenden.
Spiegle den Stützpunkt $P(2\mid 0\mid 1)$ von $g$ an der Ebene, um einen Stützpunkt $P'$ für $h$ zu erhalten.
1. Schritt: Hilfsgerade aufstellen
Bestimme eine Hilfsgerade $k,$ die senkrecht zu $E$ verläuft und durch den Stützpunkt $P$ von $g$ verläuft. Verwende als Richtungsvektor beispielsweise einen Normalenvektor von $E$ und als Stützpunkt $P.$
$k:\, \overrightarrow{x}= \pmatrix{2\\0\\1} + r\cdot \pmatrix{3\\-2\\1}$
2. Schritt: Schnittpunkt bestimmen
Die Koordinaten der Punkte auf der Hilfsgeraden lauten $K(2+3r\mid -2r \mid 1+r).$ Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} E:\, 3x_1 -2x_2+x_3 &=& 14 &\quad \scriptsize \mid\; K(2+3r\mid -2r \mid 1+r) \\[5pt] 3\cdot (2+3r) -2\cdot (-2r) + 1+r &=& 14 \\[5pt] 6 +9r +4r +1+r &=& 14 \\[5pt] 7 +14r &=& 14 &\quad \scriptsize \mid\; -7 \\[5pt] 14r &=& 7 &\quad \scriptsize \mid\;:14 \\[5pt] r &=& \frac{1}{2} \end{array}$
$ r = \frac{1}{2} $
Einsetzen in die Geradengleichung:
$\overrightarrow{OS} = \pmatrix{2\\0\\1} + \frac{1}{2}\cdot \pmatrix{3\\-2\\1} = \pmatrix{3,5\\-1\\1,5} $
$ \overrightarrow{OS} = \pmatrix{3,5\\-1\\1,5} $
3. Schritt: Koordinaten eines Punkts von $k$ bestimmen
Für den gespiegelten Punkt $P'$ gilt:
$\overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OP} + 2\cdot \overrightarrow{PS} = \pmatrix{2\\0\\1} + 2\cdot \pmatrix{1,5\\-1\\0,5} = \pmatrix{5\\-2\\2} $
$ \overrightarrow{OP'} = \pmatrix{5\\-2\\2}$
Eine Gleichung der gespiegelten Gerade lautet:
$h:\, \overrightarrow{x}=\pmatrix{5\\-2\\2} + t\cdot \pmatrix{1\\0\\-3} $
#ebenengleichung#geradengleichung

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Damit die Gerade $g$ die $x_2x_3$-Ebene schneiden kann, muss $x_1=0$ sein. Für die $x_1$-Koordinate von $g$ gilt $x_1 = 4+t.$
$\begin{array}[t]{rll} 4+t &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-4 \\[5pt] t &=& -4 \end{array}$
$ t= -4 $
Einsetzen:
$\pmatrix{4\\-6\\3} -4 \cdot \pmatrix{1\\-2\\2} = \pmatrix{0 \\ 2 \\ -5}$
$ … = \pmatrix{0 \\ 2 \\ -5} $
Der Schnittpunkt von $g$ mit der $x_2x_3$-Ebene ist $S(0\mid 2\mid -5).$
b)
$\blacktriangleright$  Abstand des Punkts bestimmen
1. Schritt: Aufstellen einer Hilfsebene
Bestimme eine Hilfsebene $H,$ die senkrecht zu $g$ verläuft und den Punkt $P$ enthält. Verwende als Normalenvektor den Richtungsvektor von $g$ und führe anschließend eine Punktprobe mit $P$ durch:
$\begin{array}[t]{rll} H: \, x_1 -2x_2 +2x_3 &=& d &\quad \scriptsize \mid\; P(-3\mid -1\mid 7) \\[5pt] -3 -2\cdot (-1) +2\cdot 7 &=& d \\[5pt] 13 &=& d \end{array}$
$ d = 13 $
$H:\, x_1 -2x_2 +2x_3 = 13$
2. Schritt: Schnittpunkt von $H$ und $g$ bestimmen
Die Koordinaten der Punkte auf $g$ lauten $G(4+t \mid -6 -2t \mid 3+2t).$ Einsetzen in die Ebenengleichung von $H$ lautet:
$\begin{array}[t]{rll} H: \, x_1 -2x_2 +2x_3 &=& 13 &\quad \scriptsize \mid\; G(4+t \mid -6 -2t \mid 3+2t) \\[5pt] 4+t - 2\cdot (-6-2t) +2\cdot (3+2t) &=& 13 \\[5pt] 4+t +12+4t +6 +4t &=& 13 \\[5pt] 22 +9t &=& 13 &\quad \scriptsize \mid\;-22 \\[5pt] 9t &=& -9 &\quad \scriptsize \mid\; :9 \\[5pt] t&=& -1 \end{array}$
$ t=-1 $
Einsetzen in die Geradengleichung liefert:
$\overrightarrow{OS} = \pmatrix{4\\-6\\3} -1\cdot \pmatrix{1\\-2\\2} = \pmatrix{3\\-4\\1}$
$ \overrightarrow{OS} = \pmatrix{3\\-4\\1}$
3. Schritt: Abstand berechnen
$d(P,g) = \left|\overrightarrow{PS} \right| = \left|\pmatrix{6\\-3\\-6} \right| = \sqrt{6^2 +(-3)^2 +(-6)^2} = 9$
$ d(P,g) = 9 $
Der Punkt $P$ hat von der Geraden $g$ einen Abstand von $9$ Längeneinheiten.
#vektorbetrag

Aufgabe 7

$\begin{array}[t]{rll} P(A) &=& \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} \\[5pt] &=& \frac{6}{20} \\[5pt] &=& \frac{3}{10} \\[5pt] &=& 0,3 \\[5pt] &=& 30\,\% \\[10pt] P(B) &=& \frac{1}{5} + \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{4} \\[5pt] &=& \frac{5}{20} \\[5pt] &=& \frac{1}{4} \\[5pt] &=& 0,25 \\[5pt] &=& 25\,\% \\[5pt] \end{array}$
#wahrscheinlichkeit
Bildnachweise [nach oben]
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