Analysis

Aufgabe I 1.1

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{a ; b}$ durch $f_{a ; b}(x)=a x^3-b x$ mit $a, b \in \mathbb{R}^{+}.$

Die Abbildung zeigt den Graphen einer der Funktionen der Schar.

Begründe, dass jeder Graph der Schar symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.

(2 BE)

Weise in Abhängigkeit von $a$ und $b$ nach, dass der Graph von $f_{a ; b}$ einen Tiefpunkt mit der $x$ -Koordinate $\sqrt{\dfrac{b}{3a}}$ hat.

Begründe, dass er zudem einen Hochpunkt besitzt und dass dieser eine kleinere $x$ -Koordinate hat als der Tiefpunkt.

(6 BE)

Es gibt eine Funktion der Schar, die bei $x=3$ eine Nullstelle hat und deren Graph im vierten Quadranten mit der $x$ -Achse ein Flächenstück mit dem Inhalt 40,5 einschließt.

Bestimme die zugehörigen Werte von $a$ und $b.$

(7 BE)

Die Funktion der Schar, deren Graph in der Abbildung dargestellt ist, wird mit $f$ bezeichnet; ihr Funktionsterm ist $f(x)=x^3-4 x.$

Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $A(2 \mid 0),$ die $x$ -Achse und die Gerade $g$ mit der Gleichung $y=-x-2$ schließen ein Dreieck ein.

Berechne seinen Flächeninhalt.

(7 BE)

Begründe, dass die folgende Aussage richtig ist:

Ist $P$ ein beliebiger Punkt auf dem Graphen von $f,$ so liegt der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke von $P$ und dem Koordinatenursprung auf dem Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x)=4 x^3-4 x.$

(4 BE)

Aufgabe I 1.2

Die Leitung eines großen Unternehmens versendet jeden Arbeitstag um 7:00 Uhr eine E-Mail mit tagesaktuellen Informationen an alle Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter. Diese wurden gebeten, nach dem Lesen der E-Mail eine Lesebestätigung zu versenden.

Die folgende Tabelle zeigt für einen bestimmten Tag, wie viele Lesebestätigungen bei der Leitung des Unternehmens bis zum jeweiligen Zeitpunkt bereits eingegangen sind.

Zeitpunkt	Anzahl der bis dahin eingegangenen Lesebestätigungen
$7:30$ Uhr	$252$
$8:00$ Uhr	$899$
$8:30$ Uhr	$1701$
$9:00$ Uhr	$2627$
$9:30$ Uhr	$3503$
$10:00$ Uhr	$4364$
.....
$14:30$ Uhr	$7552$
$15:00$ Uhr	$7572$
.....

Beispielsweise sind von 7:00 Uhr bis 10:00 Uhr 4364 Lesebestätigungen eingegangen.

Ermittle mit Hilfe der Tabelle für den betrachteten Tag, wie viele Lesebestätigungen im Zeitraum von 8:30 Uhr bis 10:00 Uhr im Mittel pro Stunde eingegangen sind.

(3 BE)

Auf der Grundlage der über viele Tage erfassten Lesebestätigungen wurde mit Hilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $u$ mit $u(x)=100 x^3-900 x^2+2300 x$ und $v$ mit $v(x)=20 x^2-520 x+2880$ die Funktion $k$ entwickelt:

$k(x)= \begin{cases}u(x) & \text { für } 0 \leq x\lt 3 \\ v(x) & \text { für } 3 \leq x \leq 8\end{cases}$

Die Funktion $k$ beschreibt modellhaft für einen Zeitraum von acht Stunden eines Arbeitstages die zeitliche Entwicklung der momentanen Änderungsrate der Anzahl der eingegangenen Lesebestätigungen.

Dabei ist $x$ die seit 7:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $k(x)$ die momentane Änderungsrate der Anzahl der seit 7:00 Uhr eingegangenen Lesebestätigungen in der Einheit $\dfrac{1}{\text{h}}.$

Berechne $k(2)$ und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.

(3 BE)

Es gilt $v(x)=20 \cdot(x-18) \cdot(x-8).$

Begründe, dass die Funktion $v$ nicht geeignet ist, die momentane Änderungsrate auch für den Zeitraum nach 15:00 Uhr zu beschreiben.

(3 BE)

Berechne mit Hilfe der Funktion $k$ die Anzahl der im Zeitraum von 10:00 Uhr bis 15:00 Uhr eines Arbeitstages eingegangenen Lesebestätigungen.

Ermittle, um wie viel Prozent diese auf der Grundlage des Modells berechnete Anzahl von der entsprechenden Anzahl des eingangs betrachteten Tages (vgl. Tabelle) abweicht.

(5 BE)

Aufgabe I 2.1

Zur Untersuchung der Lungenfunktion muss eine Person tief einatmen und anschließend zügig in ein Messgerät ausatmen. Die Änderungsrate des Luftvolumens pro Zeiteinheit beim Ausatmen heißt Atemfluss.

Bei einer Messung wird der Atemfluss für $0 \leq t \leq 2$ näherungsweise durch die Funktion $f$ mit $f(t)=30 \cdot\left(\mathrm e^{-3 t}-\mathrm e^{-6 t}\right)$ beschrieben (t in Sekunden seit Beginn des Ausatmens, $f(t)$ in Liter pro Sekunde).

Abgebildet ist der Graph von $f.$ Für die Ableitungsfunktion $\(f$ von $f$ gilt $\(f$ .

Lungenfunktion Luftvolumen Messung Mathe Abi 2024

Weise nach, dass der maximale Atemfluss 7,5 Liter pro Sekunde beträgt.

(4 BE)

Zeige, dass der Atemfluss zwei Sekunden nach Beginn des Ausatmens weniger als ein Prozent seines maximalen Werts beträgt.

(2 BE)

Bestimme rechnerisch die Länge des Zeitraums, in dem der Atemfluss mindestens 5 Liter pro Sekunde beträgt.

(7 BE)

Formuliere eine Fragestellung im Sachzusammenhang, die auf die Gleichung $\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\;\mathrm dt=\dfrac{1}{4}\cdot \displaystyle\int_{0}^{2}f(t)\;\mathrm dt$ führt.

(3 BE)

Berechne $\displaystyle\int_{0}^{2}f(t)\;\mathrm dt.$

(4 BE)

Bei einer anderen Modellierung wird der Atemfluss ab dem Zeitpunkt $t_1=1,5$ nicht mehr durch die Funktion $f,$ sondern durch die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(1,5 \mid f(1,5))$ beschrieben.

Bei dieser Modellierung gibt es einen Zeitpunkt $t_2>0$ , zu dem der Atemfluss 0 Liter pro Sekunde beträgt.

Bestimme den Wert von $t_2.$

(4 BE)

Bei ärztlichen Untersuchungen werden Atemfluss-Volumen-Diagramme betrachtet. Diese stellen den Atemfluss in Abhängigkeit vom Volumen der ausgeatmeten Luft dar.

Abgebildet ist das Diagramm zu derjenigen Messung, die durch die Funktion $f$ beschrieben wird. Betrachtet wird der Hochpunkt $H\left(x_0 \mid y_0\right)$ der abgebildeten Kurve.

Begründe, dass $y_0$ der in a) genannte maximale Atemfluss ist, und gib einen Term an, mit dem $x_0$ berechnet werden kann.

Atemfluss-Volumen-Diagramm Mathe Abi 2024

(4 BE)

Aufgabe I 2.2

Für jedes a mit $0\lt a \lt 1$ ist eine Funktion $f_a$ mit $f_a(x)=(x-2)^3+a(x-2)+2$ gegeben.

Weise nach, dass jede Funktion $f_a$ streng monoton wachsend ist.

(4 BE)

Die Tangente $t_a$ an den Graphen von $f_a$ im Punkt $P(2 \mid 2),$ die Tangente an den Graphen der Umkehrfunktion $\overline{f_a}$ im Punkt $P$ und die Koordinatenachsen schließen im 1. Quadranten des Koordinatensystems ein Viereck $V_a$ ein.

$Q_a$ ist der Schnittpunkt von $t_{a}$ mit der $y$ -Achse.

Abgebildet sind beispielhaft der Graph von $f_{0,25}$ sowie die Tangente $t_{0,25}.$

Tangente Funktion f Baden Wuerttemberg Mathe Abi 2024

Begründe, dass der Punkt $Q_a$ zwischen dem Ursprung und dem Punkt $(0 \mid 2)$ liegt und dass der Flächeninhalt des Vierecks $V_a$ kleiner als 4 ist.

(5 BE)

Für einen Wert von $a$ hat der Innenwinkel des Vierecks $V_{a}$ bei $P$ die Größe $60^{\circ}.$

Begründe ohne Berechnung des Werts von $a,$ dass der Steigungswinkel der zugehörigen Tangente $t_{a}$ die Größe $15^{\circ}$ hat.

(3 BE)

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Lösung I 1.1

Für jeden Wert von $a$ ist der Funktionsterm von $f_a$ ein Polynom, welches nur ungerade Exponenten von $x$ besitzt und somit symmetrisch zum Koordinatenursprung ist.

1. Schritt: Ableitungen bestimmen

$\(\begin{array}[t]{rll} f_{a;b}$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen überprüfen

$\(\begin{array}[t]{rll} f_{a;b}$

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen

Wegen $a\in \mathbb{R}^+$ gilt:

$\(f_{a;b}$

Der Graph von $f_{a;b}$ besitzt somit einen Tiefpunkt mit der $x$ -Koordinate $\sqrt{\dfrac{b}{3 a}}.$

Begründung

Da der Graph von $f_{a;b}$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist, liegt an der Stelle $x=-\sqrt{\dfrac{b}{3 a}}$ ein Hochpunkt vor.

Wegen $a,b \in \mathbb{R}^+$ gilt:

$-\sqrt{\dfrac{b}{3 a}} \lt 0 \lt \sqrt{\dfrac{b}{3 a}}$

Somit besitzt der Hochpunkt immer eine kleinere $x$ -Koordinate als der Tiefpunkt.

Da die Funktion eine Nullstelle bei $x=3$ hat, muss gelten:

$\begin{array}[t]{rll} f_{a;b}(3)&=& 0 & \\[5pt] a\cdot 3^3-b\cdot 3&=& 0 & \\[5pt] 27a-3b&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +3b\\[5pt] 27a&=& 3b &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] 9a&=& b \end{array}$

Der Graph der Funktion verläuft für $0 \leq x \leq 3$ im vierten Quadranten. Da die mit der $x$ -Achse eingeschlossene Fläche in diesem Intervall unterhalb der $x$ -Achse verläuft, ist der orientierte Flächeninhalt negativ.

Es soll also gelten:

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{0}^{3}f_{a;b}(x)\;\mathrm dx=-40,5$

Die zugehörigen Werte der Parameter folgen also mit $a=2$ und $b=9\cdot 2=18.$

1. Schritt: Tangentengleichung aufstellen

Für die erste Ableitung von $f$ gilt:

$\(f$

Für die Steigung $m$ der in grün eingezeichneten Tangente im Punkt $(2 \mid 0)$ folgt somit:

$\(\begin{array}[t]{rll} m&=& f$

Einsetzen von $m$ und der Koordinaten von $A$ in die allgemeine Tangentengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} t: \quad y&=& m\cdot x+c& \\[5pt] 0&=& 8 \cdot 2+c&\quad \scriptsize \mid\; -16 \\[5pt] -16&=& c \end{array}$

Eine Gleichung der Tangente ist somit gegeben durch $t: y=8x-16.$

Hilfsskizze

2. Schritt: Schnittpunkt berechnen

Gleichsetzen der Tangentengleichung und der Gleichung der Geraden $g$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 8x-16&=& -x-2 &\quad \scriptsize \mid\;+16 \quad \scriptsize \mid\;+x \\[5pt] 9x&=&14 &\quad \scriptsize \mid\;:9\\[5pt] x&=&\dfrac{14}{9} \end{array}$

Einsetzen in $y=-x-2$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& -\dfrac{14}{9}-2 \\[5pt] &=& -\dfrac{32}{9} \end{array}$

Der Schnittpunkt besitzt somit die Koordinaten $S\left(\dfrac{14}{9} \,\bigg \vert \, -\dfrac{32}{9}\right).$

3. Schritt: Flächeninhalt berechnen

Die Dreiecksseite, die auf der $x$ -Achse liegt, entspricht der Grundseite des Dreiecks und besitzt eine Länge von $2-(-2)=4\;[\text{LE}].$

Die $y$ -Koordinate des Schnittpunkts gibt die Höhe $h$ des Dreiecks an.

Es gilt also:

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot \dfrac{32}{9} \\[5pt] &=& \dfrac{64}{9}\\[5pt] &\approx & 7,11 \;[\text{FE}] \end{array}$

Für einen Punkt $P$ auf dem Graphen von $f$ mit den allgemeinen Koordinaten $(x\mid f(x))$ besitzt der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke von $P$ mit dem Koordinatenursprung die Koordinaten $\left(\dfrac{x}{2} \,\bigg \vert \, \dfrac{f(x)}{2}\right).$

Gleichsetzen von $h\left(\dfrac{x}{2}\right)$ mit $\dfrac{f(x)}{2}$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} h\left(\dfrac{x}{2}\right)&=&\dfrac{f(x)}{2} \\[5pt] 4\cdot\left(\dfrac{x}{2}\right)^3-4\cdot\dfrac{x}{2}&=&\dfrac{x^3-4x}{2} \\[5pt] \dfrac{1}{2}x^3-2x&=&\dfrac{1}{2}x^3-2x \end{array}$

Da die beiden Seiten der Gleichung übereinstimmen, ist die Aussage folglich richtig.

Lösung I 1.2

Die zeitliche Differenz zwischen 8:30 Uhr und 10:00 Uhr beträgt 1,5 Stunden.

Für die im Mittel pro Stunde eingegangenen Lesebestätigungen in diesem Zeitfenster folgt somit:

$\dfrac{4364-1701}{1,5}\approx 1775$

Wert berechnen

$\begin{array}[t]{rll} k(2)&=&u(2) \\[5pt] &=&100\cdot2^3-900\cdot2^2+2300\cdot2 \\[5pt] &=&1800 \end{array}$

Ergebnis interpretieren

Nach dem Modell beträgt die momentane Änderungsrate der Anzahl der seit 7:00 Uhr eingegangenen Lesebestätigungen um 9:00 Uhr $1800\;\frac{1}{\text{h}}.$

Aus dem Funktionsterm von $v$ können die Nullstellen bei $x=8$ und $x=18$ abgelesen werden. An der Stelle $x=8$ liegt folglich ein Vorzeichenwechsel von plus nach minus vor.

Somit würden die Änderungsraten nach 15:00 Uhr negative Werte annehmen, was im Sachzusammenhang keinen Sinn ergibt.

Anzahl der Lesebestätigungen berechnen

10:00 Uhr entspricht 3 Stunden nach 7:00 Uhr und 15:00 Uhr entspricht analog 8 Stunden.

Es gilt also:

$\displaystyle\int_{3}^{8}k(x)\;\mathrm dx \approx 3333$

Rechenweg anzeigen

Prozentuale Abweichung ermitteln

Mit den Werten aus der Tabelle folgt für die gesuchte prozentuale Abweichung:

$\dfrac{3333-(7572-4364)}{7572-4364} \approx 3,9\,\%$

Lösung I 2.1

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Wegen $\mathrm e^{-3t}\gt 0$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

$\begin{array}[t]{rll} 1-2\mathrm e^{-3\cdot t}&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +2\mathrm e^{-3 t} \\[5pt] 1&=& 2\mathrm e^{-3t}&\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] \dfrac{1}{2}&=& \mathrm e^{-3t}&\quad \scriptsize \mid\; \ln(\,) \\[5pt] \ln\left(\dfrac{1}{2}\right)&=& -3t& \\[5pt] -\ln(2)&=& -3t&\quad \scriptsize \mid\; :(-3) \\[5pt] \dfrac{\ln(2)}{3}&=& t \end{array}$

Da aus der Abbildung hervorgeht, dass genau ein Hochpunkt existiert, ist das Überprüfen der hinreichenden Bedingung nicht notwendig.

2. Schritt: $\boldsymbol{y}$ -Koordinate berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f\left(\dfrac{\ln(2)}{3}\right)&=& 30 \cdot \left( \mathrm{e}^{-3 \cdot \frac{\ln(2)}{3}} - \mathrm{e}^{-6 \cdot \frac{\ln(2)}{3}} \right)& \\[5pt] &=& 30 \cdot \left( \mathrm{e}^{-\ln(2)} - \mathrm{e}^{-2 \ln(2)} \right)& \\[5pt] &=& 30 \cdot \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} \right) & \\[5pt] &=& 30 \cdot \dfrac{1}{4}& \\[5pt] &=& 7,5 & \\[5pt] \end{array}$

Somit beträgt der maximale Atemfluss 7,5 Liter pro Sekunde.

Zwei Sekunden nach Beginn des Ausatmens gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(2)&=& 30\cdot (\mathrm e^{-3\cdot 2}-\mathrm e^{-6\cdot 2}) &\\[5pt] &=& 30 \cdot (\mathrm e^{-6}-\mathrm e^{-12})&\\[5pt] &\approx & 0,074 \end{array}$

Ein Prozent des maximalen Werts entspricht $0,01\cdot 7,5=0,075$ Liter pro Sekunde.

Zwei Sekunden nach Beginn des Ausatmens beträgt der Atemfluss folglich weniger als ein Prozent seines maximalen Werts.

Zu den Zeitpunkten, an denen der Atemfluss genau 5 Liter pro Sekunde beträgt, gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=& 5 &\\[5pt] 30\cdot (\mathrm e^{-3t}-\mathrm e^{-6t})&=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; :30 \\[5pt] \mathrm e^{-3t}-\mathrm e^{-6t}&=& \dfrac{1}{6} & \\[5pt] \mathrm e^{-3t}-\left(\mathrm e^{-3t}\right)^2&=& \dfrac{1}{6} &\quad \scriptsize \mid\; - \dfrac{1}{6} \\[5pt] - \left(\mathrm e^{-3t}\right)^2+ \mathrm e^{-3t}- \dfrac{1}{6} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] \left(\mathrm e^{-3t}\right)^2- \mathrm e^{-3t}+ \dfrac{1}{6} &=& 0 \end{array}$

Substitution mit $x=\mathrm e^{-3t}$ ergibt:

$x^2-x+\dfrac{1}{6}=0$

Mit der abc-Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=& \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot \dfrac{1}{6}}}{2\cdot 1} \\[5pt] x_{1;2}&=& \dfrac{1\pm\sqrt{\dfrac{1}{3}}}{2}&\\[5pt] x_1&\approx& 0,789&\\[5pt] x_2&\approx& 0,211&\\[5pt] \end{array}$

Alternativ ergibt sich mit der pq-Formel:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=& -\dfrac{(-1)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-1)}{2}\right)^2-\dfrac{1}{6}} \\[5pt] x_{1;2}&=& \dfrac{1}{2}\pm \sqrt{\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}}&\\[5pt] x_1&=& 0,789 &\\[5pt] x_2&=& 0,211&\\[5pt] \end{array}$

Rücksubstitution liefert nun:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& \mathrm e^{-3t_1} & \\[5pt] 0,789&=& \mathrm e^{-3t_1} &\quad \scriptsize \mid\; \ln(\,) \\[5pt] \ln(0,789) &=& -3t_1 & \quad \scriptsize \mid\;:(-3) \\[5pt] \dfrac{\ln(0,789)}{-3} &=& t_1 \\[5pt] 0,079&\approx& t_1 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} x_2&=& \mathrm e^{-3t_2} & \\[5pt] 0,211&=& \mathrm e^{-3t_2} &\quad \scriptsize \mid\; \ln(\,) \\[5pt] \ln(0,211) &=& -3t_2 & \quad \scriptsize \mid\;:(-3) \\[5pt] \dfrac{\ln(0,211)}{-3} &=& t_2 \\[5pt] 0,519&\approx& t_2 \end{array}$

Die Länge des Zeitraums, in dem der Atemfluss mindestens 5 Liter pro Sekunde beträgt, beträgt somit $0,519 -0,079=0,44$ Sekunden.

Zu welchem Zeitpunkt beträgt das Volumen der ausgeatmeten Luft ein Viertel des Volumens der während der ersten zwei Sekunden ausgeatmeten Luft?

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{0}^{2}f(t)\;\mathrm dt \approx 4,975$

1. Schritt: Tangentengleichung aufstellen

$y$ -Koordinate berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} f(1,5)&=& 30 \cdot\left(\mathrm{e}^{-3\cdot 1,5}-\mathrm{e}^{-6 \cdot 1,5}\right) & \\[5pt] &\approx& 0,33 \end{array}$

Für die Steigung $m$ der Tangente gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} m&=& f$

Einsetzen in die allgemeine Tangentengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& m\cdot t+c&\\[5pt] 0,33&=& -0,98 \cdot 1,5+c&\\[5pt] 0,33&=& -1,47 +c& \quad \scriptsize \mid +1,47 \\[5pt] 1,8&=& c \end{array}$

Eine Gleichung der Tangente ist somit gegeben durch $y=-0,98t+1,8$

2. Schritt: Zeitpunkt berechnen

Zu dem Zeitpunkt, an dem der Atemfluss 0 Liter pro Sekunde beträgt, gilt:

$\begin{array}[t]{rll} 0&=& -0,98t+1,8&\quad \scriptsize \mid\; -1,8 \\[5pt] -1,8&=& -0,98t&\quad \scriptsize \mid\; :(-0,98)\\[5pt] 1,84&\approx& t \end{array}$

Der Wert von $t_2$ folgt also mit $t_2\approx 1,84.$

Begründung

Der maximale Atemfluss beträgt 7,5 Liter pro Sekunde, unabhängig davon, ob der Atemfluss in Abhängigkeit von der Zeit oder vom ausgeatmeten Volumen dargestellt wird.

Term angeben

$\displaystyle\int_{0}^{t_0}f(t)\;\mathrm dt$

Lösung I 2.2

Ableitung bestimmen:

$\(\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& (x-2)^3+a(x-2)+2& \\[5pt] &=& (x-2)^3+ax-2a+2& \\[5pt] f$

Aufgrund des geraden Exponenten gilt $3\cdot (x-2)^2\geq 0.$

Mit $0\lt a \lt 1$ folgt direkt $\(f$

Somit ist jede Funktion $f_a$ streng monoton wachsend.

Lage des Punkts begründen

Für die Steigung $a$ der Tangente $t_a$ gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Die $y$ -Achse hat einen Abstand von zwei Längeneinheiten in negative $x$ -Richtung zum Punkt $P.$

Der Schnittpunkt von $t_a$ mit der $y$ -Achse besitzt somit die $y$ -Koordinate $y_P-2a=2-2a.$

Wegen $0\lt a\lt 1$ gilt für die $y$ -Koordinate des Schnittpunkts:

$0\lt 2-2a \lt 2$

$Q_a$ liegt folglich oberhalb des Ursprungs und unterhalb des Punkts $(0 \mid 2).$

Flächeninhalt begründen

Aus Symmetriegründen schneidet die Tangente an den Graphen von $\overline{f_a}$ die $x$ -Achse zwischen dem Ursprung und dem Punkt $(2 \mid 0).$

Mit den Punkten $A(0\mid 2)$ und $B(2 \mid 0)$ besitzt das Quadrat $OAPB$ einen Flächeninhalt von 4 Flächeneinheiten.

Da die Tangenten die Koordinatenachsen zwischen den Werten 0 und 2 schneiden, liegt das Viereck $V_a$ innerhalb des Quadrats $OAPB$ und besitzt somit einen kleineren Flächeninhalt als 4.

Die Innenwinkelsumme eines Vierecks beträgt $360^\circ.$ Aus Symmetriegründen gilt für den Winkel $\alpha$ im Eckpunkt $Q_a:$

$\alpha=\dfrac{360^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}}{2}=105^{\circ}$

Daraus folgt die Größe des Steigungswinkels der Tangente $t_a$ mit $105^{\circ}-90^{\circ}=15^{\circ}.$

Steigungswinkel Umkehrfunktion Mathe Abi 2024

Hilfsskizze

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