Wahlteil B1
Für 
mit 
werden die Pyramiden 
mit 
und 
betrachtet (vgl. Abbildung 1).
mit werden die Pyramiden mit und betrachtet (vgl. Abbildung 1).
a)
Begründe, dass das Dreieck 
gleichschenklig ist.
ist 
ist die Länge einer Höhe des Dreiecks
Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks.
gleichschenklig ist.
(1 VP)
Der Mittelpunkt der Strecke ist
ist die Länge einer Höhe des Dreiecks
Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks
.
(1 VP)
Abb. 1
liegt die Seitenfläche in der Ebene 
b)
Ermittle denjenigen Wert von , für den die Größe des Winkels, unter dem die 
-Achse die Ebene 
schneidet, 
beträgt.
, für den die Größe des Winkels, unter dem die -Achse die Ebene schneidet, beträgt.
(2,5 VP)
c)
Zusätzlich zu den Pyramiden wird der in der Abbildung 2 gezeigte Quader betrachtet. Die Punkte 
und 
sind Eckpunkte des Quaders, die Seitenflächen des Quaders sind parallel zu den Koordinatenebenen.
Für
enthält die Seitenfläche der Pyramide den Eckpunkt 
des Quaders. Für kleinere Werte von schneidet die Seitenfläche den Quader in einem Vieleck.
Für einen Wert von verläuft die Seitenfläche durch die Eckpunkte 
und 
des Quaders. Bestimme diesen Wert von 
Teilergebnis: 
und sind Eckpunkte des Quaders, die Seitenflächen des Quaders sind parallel zu den Koordinatenebenen.
Für
enthält die Seitenfläche der Pyramide den Eckpunkt des Quaders. Für kleinere Werte von schneidet die Seitenfläche den Quader in einem Vieleck.
Für einen Wert von
verläuft die Seitenfläche durch die Eckpunkte und des Quaders. Bestimme diesen Wert von
(1,5 VP)
Teilergebnis:
Abb. 2
die Anzahl der Eckpunkte des Vielecks an, in dem die Seitenfläche den Quader schneidet.
(2 VP)
d)
Nun wird die Pyramide 
, d.h. diejenige für , betrachtet. Dieser Pyramide werden Quader einbeschrieben (vgl. Abbildung 3). Die Grundflächen der Quader liegen in der 
-Ebene, haben den Eckpunkt gemeinsam und sind quadratisch. Die Höhe 
der Quader durchläuft alle reellen Werte mit 
Für jeden Wert von liegt der Eckpunkt 
in der Seitenfläche 
der Pyramide.
Ermittle die Koordinaten des Punktes.
, d.h. diejenige für , betrachtet. Dieser Pyramide werden Quader einbeschrieben (vgl. Abbildung 3). Die Grundflächen der Quader liegen in der -Ebene, haben den Eckpunkt gemeinsam und sind quadratisch. Die Höhe der Quader durchläuft alle reellen Werte mit Für jeden Wert von liegt der Eckpunkt in der Seitenfläche der Pyramide.
Ermittle die Koordinaten des Punktes
.
Abb. 3
(2 VP)
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a)
Begründen der Gleichschenkligkeit
Berechnen der Streckenlängen:
Da die beiden Seiten 
und 
des Dreiecks gleich lang sind, ist das Dreieck gleichschenklig.
Flächeninhalt des Dreiecks
Da die beiden Seiten und des Dreiecks gleich lang sind, ist das Dreieck gleichschenklig.
Flächeninhalt des Dreiecks
![\(\begin{array}[t]{rll}
A&=&\dfrac{1}{2}\cdot \mid \overrightarrow{BC} \mid \cdot \mid MD_k\mid & \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2}\cdot \left| \pmatrix{0-4\\4-0\\0-0} \right| \cdot \left| \pmatrix{-2\\-2\\k}\right| & \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{(-4)^2+(-4)^2} \cdot \sqrt{(-2)^2+(-2)^2+k^2} & \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{32} \cdot \sqrt{8+k^2} & \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f2e646fd468daa15b0816ccd6baf64e101611b950912f8e610f1b2f93b796243_light.svg)
b)
Aus der Ebenengleichung kann ein Normalenvektor abgelesen werden: 
Allgemeine Formel:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin (\alpha)&=&\dfrac{\mid g \circ n\mid}{\mid g\mid \cdot \mid n\mid } & \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a1357a36a1fbdfd434c4b6cc796bd3b8d6ca29ca3df4040aae475d89690a4b85_light.svg)
Einsetzen von 
, 
und 
ergibt sich für :
Wegen 
folgt also 
Allgemeine Formel:
Einsetzen von , und ergibt sich für :
Wegen 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin (30^{\circ})&=&\dfrac{\left| \pmatrix{0\\0\\1} \circ \pmatrix{k\\k\\4}\right|}{\left| \pmatrix{0\\0\\1}\right|\cdot \left|\pmatrix{k\\k\\4} \right|} & \\[5pt]
\dfrac{1}{2}&=&\dfrac{0\cdot k + 0\cdot k +1\cdot 4}{1\cdot \sqrt{k^2 + k^2+ 16}} & \\[5pt]
\dfrac{1}{2}&=&\dfrac{ 4}{ \sqrt{2k^2+ 16}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot\sqrt{2k^2+ 16}\\[5pt]
\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{2k^2 16}&=&4 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot2 \\[5pt]
\sqrt{2k^2 + 16}&=& 8 &\quad \scriptsize \mid\; ()^2 \\[5pt]
2k^2+ 16&=& 64 &\quad \scriptsize \mid\; -16\\[5pt]
2k^2 &=& 48 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt]
k^2 &=& 24 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\, }\\[5pt]
k&=& \pm\sqrt{24}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0e7e5bf7191319e0a8c02258a43efed310dc92ae75ad7238074ff0cb918a281d_light.svg)
folgt also
c)
1. Schritt: Bestimmen der Koordinaten von und
Mit Hilfe der Abbildung sowie den Koordinaten von und ergeben sich 
und 
2. Schritt: Koordinaten von in einsetzen
![\(\begin{array}[t]{rll}
k\cdot 1 + k\cdot 0 + 4\cdot 3&=& 4k& \\[5pt]
k+ 12&=& 4k&\quad \scriptsize \mid\; -k\\[5pt]
12&=& 3k&\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt]
4&=&k
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9256b235e86f1b47db2ce87a14a634d8407cd505c86554822554b2bf3796f689_light.svg)
Für verläuft also die Ebene durch den Eckpunkt und somit auch durch 
Bestimmen der Anzahl der geschnittenen Eckpunkte in Abhängigkeit von
vier Eckpunkte
fünf Eckpunkte
drei Eckpunkte
und
Mit Hilfe der Abbildung sowie den Koordinaten von und ergeben sich und
2. Schritt: Koordinaten von in einsetzen
Für verläuft also die Ebene durch den Eckpunkt und somit auch durch
Bestimmen der Anzahl der geschnittenen Eckpunkte in Abhängigkeit von
vier Eckpunkte
fünf Eckpunkte
drei Eckpunkte
d)
Da die Grundfläche des Quaders quadratisch ist, folgt 
Bestimmen von 
durch Einsetzen der Koordinaten von in 
![\(\begin{array}[t]{rll}
6\cdot u + 6\cdot u + 4\cdot h&=& 4\cdot 6& \\[5pt]
12u + 4h &=& 24&\quad \scriptsize \mid\; -4h\\[5pt]
12u&=& 24 - 4h &\quad \scriptsize \mid\; :12\\[5pt]
u&=& 2 -\dfrac{h}{3}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b58307ec912b6ef9fc4cf1c0703ba0afdaa8857dbb47b08e05be9d37371e1b7f_light.svg)
Die Koordinaten des Eckpunkts sind also 
Bestimmen von durch Einsetzen der Koordinaten von in
Die Koordinaten des Eckpunkts sind also