Pflichtaufgaben

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{4} x^3-3 x.$

Es gilt $\(f$ Zeige, dass $2$ eine Extremstelle von $f$ ist.

(2 BE)

Einer der abgebildeten Graphen I und II ist der Graph einer Stammfunktion von $f.$ Gib diesen Graphen an und begründe deine Angabe.

(3 BE)

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x)=3 \cdot \cos (x).$

Gib den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{0}^{\pi}f(x)\;\mathrm dx$ an.

(1 BE)

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ ist gegeben durch $g(x)=a \cdot f(x)+b \cdot x$ mit reellen Zahlen $a$ und $b$ . Die Punkte $(0 \mid-3)$ und $\left(\frac{\pi}{2} \left\lvert\, \frac{3}{4} \pi\right.\right)$ liegen auf dem Graphen von $g.$
Ermittle $a$ und $b.$

(4 BE)

Die Abbildung zeigt einen Würfel $ABCDEFGH$ der Kantenlänge $4$ in einem Koordinatensystem. Drei Seitenflächen dieses Würfels liegen in Koordinatenebenen. Die Ebene $K$ enthält die Punkte $A(0\mid0\mid 0), B(4\mid0\mid 0)$ und den Mittelpunkt der Kante $\overline{FG}.$

Die Ebene $K$ teilt den Würfel in zwei Teilkörper. Berechne das Volumen des kleineren Teilkörpers.

(2 BE)

Eine zweite Ebene $L$ enthält die Punkte $E$ und $F$ sowie den Mittelpunkt der Kante $\overline{BC}.$ Zeichne die Schnittfigur dieser Ebene mit dem Würfel in die Abbildung ein und gib eine Gleichung der Schnittgerade der Ebenen $K$ und $L$ an.

(3 BE)

Bei einem Spiel wird ein Würfel zweimal geworfen. Die Seiten des Würfels sind mit den Zahlen von 1 bis 6 durchnummeriert.

Begründe, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, bei keinem der beiden Würfe die Zahl 3 zu erzielen, $\frac{25}{36}$ beträgt.

(2 BE)

Der Einsatz bei diesem Spiel beträgt 2 Euro. Je nachdem, wie oft dabei die Zahl 3 erzielt wird, werden folgende Auszahlungen getätigt:

Anzahl der Würfe, bei denen die Zahl 3 erzielt wird	Auszahlung in Euro
$0$	$0$
$1$	$5$
$2$	$x$

Bei wiederholter Durchführung des Spiels ist zu erwarten, dass sich auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgleichen. Ermittle den Wert von $x.$

(3 BE)

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Für die erste Ableitung von $f$ gilt:

$\(\begin{array}[t]{rlll} f$

Einsetzen von $x=2$ liefert:

$\(\begin{array}[t]{rlll} f$

Somit ist die notwendige Bendingung für Extremstellen in $x=2$ erfüllt. Da die hinreichende Bedingung für Extremstellen bereits in der Aufgabenstellung gegeben ist, folgt somit, dass $2$ eine Extremstelle von $f$ ist.

Da $f$ bei $x=2$ eine Extremstelle besitzt, hat jede Stammfunktion von $f$ bei $x=2$ eine Wendestelle. Aus der Abbildung folgt somit, dass Graph II der Graph einer Stammfunktion von $f$ ist.

Die Abbildung zeigt, dass der Graph von $f$ zwischen $0$ und $\pi$ gleichgroße Flächen unterhalb sowie oberhalb der $x$ -Achse mit dieser einschließt. Somit gilt:

$\displaystyle\int_{0}^{\pi}f(x)\;\mathrm dx=0$

$\begin{array}[t]{rlll} g(0)&=&-3 \\[5pt] a\cdot f(0)+b\cdot0&=&-3 \\[5pt] 3a&=&-3 &\mid\;:3 \\[5pt] a&=&-1 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rlll} g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)&=&\dfrac{3}{4}\pi \\[5pt] -f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+b\cdot\dfrac{\pi}{2}&=&\dfrac{3}{4}\pi \\[5pt] \dfrac{\pi}{2}b&=&\dfrac{3}{4}\pi &\mid\;\cdot\frac{2}{\pi} \\[5pt] b&=&\dfrac{3}{2} \end{array}$

Da die Ebene $K$ die Kante $\overline{AB}$ und die zu dieser Kante parallelverlaufende Verbindungsstrecke zwischen den Mittelpunkten der Kanten $\overline{FG}$ und $\overline{EH}$ enthält (siehe Abbildung), halbiert sie eine Hälfte des Würfels $ABCDEFGH.$ Das Volumen des kleineren Teilkörpers macht somit insgesamt ein Viertel des Gesamtvolumens aus.

Aus den Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ lässt sich direkt ablesen, dass die Länge der Kanten des Würfels $4\;\text{LE}$ beträgt. Damit folgt für das gesuchte Volumen des kleineren Teilkörpers:

$\dfrac{1}{4}\cdot4^3=16\;\text{VE}$

Schnittfigur einzeichnen

Gleichung der Schnittgeraden angeben

Anhand der Schnittfigur der Ebene $L$ mit dem Würfel lässt sich erkennen, dass die Schnittgerade der beiden Ebenen parallel zur $x_1$ -Achse verläuft und auf halber Höhe des Würfels liegt, d.h. alle Punkte der Geraden besitzen $x_3$ -Koordinate $2.$ Anhand der Ähnlichkeit der beiden Ebenen folgt zudem, dass die $x_2$ -Koordinate der Punkte auf der Geraden konstant $1$ beträgt. Somit folgt als Geradengleichung der Schnittgeraden:

$g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\1\\2}+t\cdot\pmatrix{1\\0\\0}$

Die Wahrscheinlichkeit, bei einem einzelnen Wurf keine 3 zu würfeln, beträgt $\frac{5}{6}.$ Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit in beiden Würfen keine 3 zu erzielen $\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{25}{36}.$

Die Wahrscheinlichkeit, in beiden Würfen eine 3 zu erzielen, beträgt $\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}.$ Zusammen mit der Wahrscheinlichkeit aus Teilaufgabe 4.1 ergibt sich somit $1-\frac{26}{36}=\frac{10}{36}$ als Wahrscheinlichkeit für genau eine 3 in zwei Würfen.
Die erwartete Auszahlung pro Spiel soll gleich dem Einsatz, d.h. $2\,\text{€},$ sein. Somit folgt für $x:$

$\begin{array}[t]{rlll} \frac{25}{36}\cdot0+\frac{10}{36}\cdot5+\frac{1}{36}\cdot x&=&2 \\[5pt] \frac{50}{36}+\frac{1}{36}x&=&2 &\mid\;-\frac{50}{36} \\[5pt] \frac{1}{36}x&=&\frac{22}{36} &\mid\;\cdot36 \\[5pt] x&=&22 \end{array}$

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