Analysis

Aufgabe I 1.1

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x) = \frac{1}{3} x^3-a x+2 a$ mit $a \in \mathbb{R}.$
Abbildung 1 zeigt einen Graphen der Schar.

Der abgebildete Graph verläuft durch den Punkt $(0\mid4).$
Begründe, dass es sich um den Graphen von $f_2$ handelt.

(2 BE)

Zeige rechnerisch, dass jeder Graph der Schar genau einen Wendepunkt besitzt, und gib dessen Koordinaten an.

(5 BE)

Bestimme denjenigen Wert von $a,$ für den $\displaystyle\int_{0}^{2}f_a(x)\;\mathrm dx=0$ gilt.

(4 BE)

Abb. 1

Betrachtet wird im Folgenden die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)= \dfrac{1}{3} x^3-2 x+4.$

Die Funktion $f$ entspricht der Funktion $f_2$ der Schar, Abbildung 1 zeigt somit den Graphen $G_f$ von $f.$ Dieser ist symmetrisch bezüglich des Punkts $(0 \mid 4).$ Die Tangente an $G_f$ im Punkt $P(3 \mid f(3))$ wird mit $t$ bezeichnet; $y=7x-14$ ist eine Gleichung von $t.$

Zeige rechnerisch anhand geeigneter Termumformungen, dass $f(x)-(7 x-14)$ $=\frac{1}{3} \cdot(x-3)^2 \cdot(x+6)$ für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt.
Begründe mithilfe dieses Zusammenhangs, dass $t$ und $G_f$ neben $P$ genau einen weiteren gemeinsamen Punkt besitzen.

(6 BE)

Betrachtet wird die Gleichung $\displaystyle\int_{k}^{k+1}f(x)\;\mathrm dx=4$ mit $k \in \mathbb{R}.$
Für $-1,5 \leq k \leq 1,5$ besitzt diese Gleichung genau eine Lösung. Untersuche mithilfe von Abbildung 1, wie viele Lösungen diese Gleichung für $k \geq 1,5$ besitzt.

(4 BE)

Aufgabe I 1.2

Die Länge einer Fahrstrecke, die ein Elektroauto mit vollständig geladener Batterie ohne erneutes Aufladen unter bestimmten Bedingungen zurücklegen kann, wird als Nennreichweite des Elektroautos bezeichnet und ist für jedes Elektroauto ein fester Wert. Die tatsächliche Reichweite hängt von vielen Faktoren ab; im Folgenden wird ausschließlich die Abhängigkeit von der Außentemperatur betrachtet.

Diese Abhängigkeit kann für eine Vielzahl von Elektroautos modellhaft im Intervall $[-12;36]$ durch eine Funktion $r$ beschrieben werden. Dabei ist $x$ die Außentemperatur in $^{\circ}\mathrm{C}$ und $r(x)$ der Quotient aus der tatsächlichen Reichweite eines Elektroautos und dessen Nennreichweite.
Abbildung 2 zeigt den Graphen der Funktion $r.$

Hat also $r$ beispielsweise für eine bestimmte Außentemperatur den Wert $0,6,$ so beträgt die tatsächliche Reichweite eines Elektroautos bei dieser Außentemperatur $60\,\%$ seiner Nennreichweite.

Abb. 2

Im Folgenden werden nur Temperaturen im Bereich von $-12\;^{\circ} \mathrm{C}$ bis $36\;^{\circ}\mathrm{C}$ sowie Elektroautos betrachtet, bei denen der durch die Funktion $r$ beschriebene Zusammenhang gilt.

Gib anhand von Abbildung 2 die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $r$ an.
Beschreibe die Bedeutung des Hochpunkts und seiner Koordinaten im Sachzusammenhang.

(4 BE)

Die Nennreichweite eines Elektroautos $A$ beträgt $320\;\text{km},$ die Nennreichweite eines Elektroautos $B$ beträgt $500\;\text{km}.$
Bestimme mithilfe von Abbildung 2 eine Außentemperatur, bei der das Elektroauto $A$ dieselbe tatsächliche Reichweite besitzt wie das Elektroauto $B$ bei einer Außentemperatur von $0\;^{\circ}\text{C}.$

(5 BE)

Aufgabe I 2.1

In einem Tierpark soll ein Tier mit Hilfe einer Diät abnehmen. Die Masse dieses Tieres wird für $t \geq 0$ durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(t)=36 \cdot \mathrm e^{-0,05 t}+80$ beschrieben ( $t$ in Wochen nach Beginn der Diät, $f(t)$ in Kilogramm).

Bestimme die Masse des Tieres sechs Wochen nach Beginn der Diät.

(1 BE)

Gib die Masse an, die das Tier auf lange Sicht erreicht.

(1 BE)

Ermittle den Zeitpunkt, zu dem das Tier $25\,\%$ seiner Masse seit Beginn der Diät verloren hat.

(4 BE)

Bestimme die momentane Abnahme der Masse des Tieres zum Zeitpunkt $t_1=8.$

(3 BE)

Für alle $t \geq 0$ gilt $\(f$ und $\(f$ Gib die Bedeutung dieser Aussage im Sachzusammenhang an.

(2 BE)

Für die Funktion $h$ gilt $h(f(t))=t$ für $t \in \mathbb{R}.$

Bestimme einen Term der Funktion $h.$

(3 BE)

Für zwei reelle Zahlen $v$ und $w$ gilt $h(v)=w.$ Interpretiere diese Gleichung im Sachzusammenhang.

(2 BE)

Aufgabe I 2.2

Für jedes $a\gt0$ ist eine Funktion $g_a$ gegeben durch $g_a(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{a \cdot x}$ mit maximalem Definitionsbereich. $G_a$ ist der Graph von $g_a.$

Gib eine Gleichung der senkrechten Asymptote von $G_a$ an.

(1 BE)

Zeige, dass für alle $a\gt0$ gilt: $\displaystyle\int_{1}^{\mathrm e}g_a(x)\;\mathrm dx\lt1-\frac{1}{\mathrm e}$

(4 BE)

Jeder Graph $G_a$ besitzt genau einen Punkt $P_a$ mit waagerechter Tangente.

Weise nach, dass $P_a$ die $x$ -Koordinate $2a$ besitzt.

(3 BE)

Für jeden Wert von $a$ gilt:

$N_a$ ist der Schnittpunkt von $G_a$ mit der $x$ -Achse.
Der Kreis $K_a$ hat den Mittelpunkt $P_a$ und verläuft durch $N_a.$

Bestimme denjenigen Wert von $a,$ für den $K_a$ die $y$ -Achse berührt.

(6 BE)

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Lösung I 1.1

$\begin{array}[t]{rlll} f_a(0)&=&4 \\[5pt] \dfrac{1}{3}\cdot0^3-a\cdot0+2a&=&4 \\[5pt] 2a&=&4 &\mid\;:2\\[5pt] a&=&2 \end{array}$

Somit handelt es sich um den Graphen von $f_2.$

Für die ersten drei Ableitungen von $f_a$ gilt:

$\(\begin{array}[t]{rlll} f_a$

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Wendestellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rlll} f_a$

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Wendestellen überprüfen

Da $\(f$ konstant den Wert $2$ annimmt, gilt stets $\(f$ und die hinreichende Bedingung ist erfüllt.
Somit besitzen alle Graphen der Schar $f_a$ genau einen Wendepunkt.

3. Schritt: Koordinaten angeben

$\begin{array}[t]{rlll} f_a(0)&=&\dfrac{1}{3}\cdot0^3-a\cdot0+2a \\[5pt] &=&2a \end{array}$

Die Koordinaten des Wendepunkts jedes Graphen der Schar $f_a$ sind somit durch $(0\mid2a)$ gegeben.

Rechenweg anzeigen

$a = -\dfrac{2}{3}$

Rechenweg anzeigen

$f(x)-(7x-14) = \dfrac{1}{3}x^3-9x+18$

Zudem gilt:

Rechenweg anzeigen

$\dfrac{1}{3}\cdot(x-3)^2\cdot(x+6) = \dfrac{1}{3}x^3-9x+18$

Damit gilt die Gleichheit aus der Aufgabenstellung. Der Graph $G_f$ und $t$ besitzen nur an den Stellen $x=3$ und $x=-6$ gemeinsame Punkte, denn für diese Werte wird die rechte Seite der Gleichung nach dem Satz des Nullprodukts Null und somit auch die linke Seite $f(x)-t(x).$ Da die $x$ -Koordinate von $P$ durch $x=3$ gegeben ist, existiert somit genau ein weiterer gemeinsamer Punkt.

Für $k=1,5$ ergibt sich:

Der Wert der Integrals für $k=1,5$ ist kleiner als $4\;\text{FE},$ da die markierte Fläche ca. $11$ Kästchen beträgt, und somit deutlich weniger, als die zu $4\;\text{FE}$ äquivalenten $16.$
Da der Graph von $f$ für $k\geq1,5$ allerdings streng monoton steigt, wird auch der Wert des Integrals für steigendes $k$ immer größer. Somit existiert genau ein Wert $k\geq1,5,$ der die in der Aufgabenstellung angegebene Gleichung löst.

Lösung I 1.2

Koordinaten des Hochpunkts angeben

$H(22\mid1,2)$

Bedeutung im Sachzusammenhang beschreiben

Die größte tatsächliche Reichweite des Elektroautos wird bei einer Außentemperatur von $22\;^\circ\text{C}$ erreicht und beträgt das $1,2$ -fache der angegebenen Nennreichweite.

Die tatsächliche Reichweite des Elektroautos $B$ ist durch den Achsenabschnitt des Graphen in Abbildung 2 multipliziert mit der Nennreichweite gegeben und beträgt somit ca. $0,7\cdot500=350\;\text{km}.$ Somit folgt:

$\begin{array}[t]{rlll} r(x)\cdot320&=&350 &\mid\;:320 \\[5pt] r(x)&\approx&1,1 \end{array}$

Mit Hilfe der Abbildung folgt, dass $r(x)=1,1$ z.B. bei $x\approx14$ gilt. Eine mögliche Außentemperatur ist somit durch ca. $14\;^\circ\text{C}$ gegeben.

Aufgabe I 2.1

$\begin{array}[t]{rlll} f(6)&=&36 \cdot \mathrm{e}^{-0,05\cdot6}+80 \\[5pt] &=&36 \cdot \mathrm{e}^{-0,3}+80 \\[5pt] &\approx&106,67 \end{array}$

Die Masse des Tieres beträgt sechs Wochen nach Beginn der Diät somit ca. $106,67\;\text{kg}.$

Da $\lim\limits_{t\to\infty}\mathrm e^{-0,05t}=0$ gilt, folgt, dass sich die Masse des Tieres auf lange Sicht immer weiter einem Gewicht von $80\;\text{kg}$ annähert.

Rechenweg anzeigen

$t\approx32,75$

Der Zeitpunkt, zudem das Tier $25\,\%$ seiner Masse seit der Beginn der Diät verloren hat, wird somit gegen Ende von Woche $33$ erreicht.

Die momentane Abnahme der Masse des Tieres wird durch die Ableitung von $f$ beschrieben. Diese ergibt sich wie folgt:

$\(\begin{array}[t]{rlll} f$

Einsetzen von $t_1=8$ liefert:

$\(\begin{array}[t]{rlll} f$

Die gesuchte momentane Abnahme der Masse ist ca. $1,21\;\text{kg}$ pro Woche.

Das Tier verliert zu jedem Zeitpunkt an Masse, je mehr Zeit vergeht desto langsamer nimmt es jedoch ab.

Auflösen von $f(t)=y$ nach t liefert:

Rechenweg anzeigen

$t=-20\cdot\ln\left(\dfrac{y-80}{36}\right)$

Somit folgt $h(x)=-20\cdot\ln\left(\frac{x-80}{36}\right).$

Die Masse des Tieres beträgt $w$ Wochen nach Beginn der Diät $v\;\text{kg}.$

Aufgabe I 2.2

Der Graph $G_a$ besitzt an seinen Polstellen eine senkrechte Asymptote. Durch Betrachtung der Nenner in der Funktionsgleichung von $g_a$ folgt, dass $g_a$ bei $x=0$ eine Polstelle von $g_a$ besitzt. Die gesuchte Gleichung der senkrechten Asymptoten ist somit durch $x=0$ gegeben.

$\begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_{1}^{\mathrm e}g_a(x)\;\mathrm dx&=&\displaystyle\int_{1}^{\mathrm e}\left(\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{a \cdot x}\right) \\[5pt] &=&\left[-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{a} \cdot \ln (x)\right]_1^\mathrm{e} \\[5pt] &=&-\dfrac{1}{\mathrm e}-\dfrac{1}{a}-(-1-0) \\[5pt] &=&1-\dfrac{1}{\mathrm e}-\dfrac{1}{a} \end{array}$

Da $a\gt0$ gilt, ist der Term $-\frac{1}{a}\lt0$ für alle $a$ und somit gilt:

$\displaystyle\int_{1}^{\mathrm e}g_a(x)\;\mathrm dx\lt1-\dfrac{1}{e}$

Der Graph $G_a$ besitzt genau dort eine waagerechte Tangente, wo $\(g_a$ gilt. Umschreiben von $g_a(x)$ liefert:

$\begin{array}[t]{rlll} g_a(x)&=&\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{a \cdot x} \\[5pt] &=&x^{-2}-\dfrac{1}{a}x^{-1} \end{array}$

Für die Ableitung von $g_a$ ergibt sich somit:

$\(\begin{array}[t]{rlll} g_a$

Einsetzen von $x=2a$ liefert:

$\(\begin{array}[t]{rlll} g_a$

Da $P_a$ der einzige Punkt mit waagerechter Tangente ist, folgt somit, dass die $x$ -Koordinate von $P_a$ durch $x=2a$ gegeben ist.

Nullsetzen von $g_a(x)$ liefert:

$\begin{array}[t]{rlll} g_a(x)&=&0 \\[5pt] \dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{a \cdot x}&=&0 &\mid\; -\frac{1}{x^2}\\[5pt] -\dfrac{1}{a \cdot x}&=&-\dfrac{1}{x^2} &\mid\;\cdot(-x^2) \\[5pt] \dfrac{x}{a}&=&1 &\mid\;\cdot a \\[5pt] x&=&a \end{array}$

Damit folgt also $N_a(a\mid0).$ Da nach Teilaufgabe c) die $x$ -Koordinate von $P_a$ durch $2a$ gegeben ist, folgt für die $y$ -Koordinate von $P_a:$

$\begin{array}[t]{rlll} g_a(2a)&=&\dfrac{1}{(2a)^2}-\dfrac{1}{a \cdot 2a} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{4a^2}-\dfrac{2}{4a^2} \\[5pt] &=&-\dfrac{1}{4a^2} \end{array}$

Der Radius $r$ des Kreises $K_a$ ist durch den Abstand von $N_a$ und $P_a$ gegeben, somit folgt:

$\begin{array}[t]{rlll} r&=&\sqrt{(a-2a)^2+\left(-\dfrac{1}{4a^2}\right)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{a^2+\dfrac{1}{16a^4}} \end{array}$

Da der Kreis den Mittelpunkt $P_a$ besitzt, muss $r=2a$ gelten, damit $K_a$ die $y$ -Achse berührt. Es folgt:

$\begin{array}[t]{rlll} r&=&2a \\[5pt] \sqrt{a^2+\dfrac{1}{16a^4}}&=&2a &\mid\;^2 \\[5pt] a^2+\dfrac{1}{16a^4}&=&4a^2 &\mid\;-a^2 \\[5pt] \dfrac{1}{16a^4}&=&3a^2 &\mid\;\cdot16a^4 \\[5pt] 1&=&48a^6 &\mid\;:48 \\[5pt] \dfrac{1}{48}&=&a^6 &\mid\;\sqrt[6]{\;} \\[5pt] \pm\sqrt[6]{\dfrac{1}{48}}&=&a \end{array}$

Da $a\gt0$ gilt, folgt somit $a=\sqrt[6]{\frac{1}{48}}$ als der gesuchte Wert.

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