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Aufgaben
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Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=\frac{1}{2}\cdot x^3 + x^2 -x +2,$ $x\in \mathbb{R}.$
a)
Berechne $f'(2).$
(3 BE)
b)
In der Abbildung sind zwei Graphen $A$ und $B$ abgebildet, einer davon ist der Graph der Funktion $f.$ Für die Ableitung der Funktion $f$ an der Stelle $0$ gilt: $f'(0)=-1.$
Entscheide mit Hilfe dieser Eigenschaft begründet, welcher der beiden Graphen der Graph von $f$ ist.
(3 BE)

Aufgabe 2

In einem Land sind $20\,\%$ der Bevölkerung mindestens 65 Jahre alt. Diese Personen werden im Folgenden Senioren genannt. $10\,\%$ der Bevölkerung des Landes sind Senioren, die das Internet nutzen. Insgesamt sind $85\,\%$ der Bevölkerung des Landes Internetnutzer.
a)
Stelle den oben beschriebenen Sachverhalt dar, indem du alle Prozentsätze in der folgenden Tabelle angibst.
Nicht-SeniorenSeniorenSumme
Nutzer
Nicht-Nutzer
Summe $100\,\%$
(4 BE)
b)
Eine Person nutzt das Internet.
Stelle einen Term für die Wahrscheinlichkeit auf, dass die Person ein Senior ist.
Hinweis: Eine Berechnung der Wahrscheinlichkeit ist nicht erforderlich.
(2 BE)
#wahrscheinlichkeit
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Wert berechnen
Mit den Ableitungsregeln kannst du zunächst den Funktionsterm der ersten Ableitung $f'$ von $f$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& \frac{1}{2}\cdot x^3 +x^2 -x +2 \\[10pt] f'(x)&=& \frac{1}{2}\cdot 3\cdot x^2 +2\cdot x^1 -1 \\[5pt] &=& \frac{3}{2}x^2+2x-1 \\[5pt] \end{array}$
$ f'(x)=\frac{3}{2}x^2+2x-1 $
Einsetzen liefert dann:
$\begin{array}[t]{rll} f'(2)&=& \frac{3}{2}\cdot 2^2+2\cdot 2-1 \\[5pt] &=& 9 \end{array}$
$ f'(2)=9 $
b)
$\blacktriangleright$  Graph zuordnen
In der Aufgabenstellung ist angegeben, dass $f'(0)=-1$ gilt. $f'$ beschreibt die Steigung des Graphen von $f.$ An der Stelle $x=0$ schneidet der Graph von $f$ die $y$-Achse.
An der Stelle, an der der Graph von $f$ die $y$-Achse schneidet, muss er also fallen, da die Steigung dort negativ ist.
Diese Bedingung erfüllt nur Graph $B.$ Graph $B$ ist also der Graph von $f.$
#ableitung

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Tabelle ausfüllen
Füge zunächst die Informationen ein, die du der Aufgabenstellung direkt entnehmen kannst und bestimme die übrigen Werte über die Summenspalten und -zeilen.
Nicht-SeniorenSeniorenSumme
Nutzer $75\,\%$ $10\,\%$$85\,\%$
Nicht-Nutzer $5\,\%$$10\,\%$$15\,\%$
Summe $80\,\%$$20\,\%$$100\,\%$
b)
$\blacktriangleright$  Term aufstellen
Bezeichne die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit $p.$ Dann erhältst du mit der Pfadmultiplikationsregel folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} 0,85\cdot p&=& 0,10&\quad \scriptsize \mid\;:0,85 \\[5pt] p&=& \frac{0,10}{0,85} \end{array}$
Ein Term, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person, die das Internet nutzt, ein Senior ist, lautet $\frac{0,10}{0,85}.$
#pfadregeln
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