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Mit Hilfsmitteln

Aufgaben
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Aufgabe 3: Analysis (innermathematische Aufgabe)

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = x^3 -6\cdot x^2 + 9\cdot x +1$.
Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$.
Mit Hilfsmitteln
Mit Hilfsmitteln
a)  Ermittle auf drei Nachkommastellen genau die Nullstelle der Funktion $f$.
(2P)
b)  Ermittle rechnerisch den lokalen Hochpunkt und den lokalen Tiefpunkt des Graphen von $f$.
(7P)
c)  Zeichne in die Abbildung die Sekante $s$ durch die Punkte $P\,(2 \mid 3)$ und $Q\,(3 \mid 1)$ ein. Ermittle rechnerisch eine Gleichung dieser Sekante $s$.
(6P)
d)  Ein Schüler möchte am Beispiel der Funktion $f$ in einem Referat erklären, wie deren Ableitung $f'(a)$ an einer Stelle $a$ näherungsweise ermittelt werden kann. Dazu hat er eine Tabelle angelegt.
Term $\dfrac{f(2,4)-3}{2,4-2}$ $\dfrac{f(2,3)-3}{2,3-2}$ $\dfrac{f(2,2)-3}{2,2-2}$ $\dfrac{f(2,1)-3}{2,1-2}$
Wert $-2,84$ $-2,91$ $-2,96$ $-2,99$
Gib an, um welche Stelle $a$ es sich hier handelt.
Erkläre, warum die Tabellenwerte sich immer mehr der Ableitung $f'(a)$ annähern.
(4P)
e) Gegeben ist nun zusätzlich die Funktion $g$ mit der Gleichung
$g(x) = x^3 - 9 \cdot x^2 + 24 \cdot x - 18$
.
Ermittle, durch welche Transformationen der Graph der Funktion $g$ aus dem Graphen der Funktion $f$ hervorgeht, und beschreibe deine Vorgehensweise.
(5P)

Aufgabe 4: Analysis (kontextbezogene Aufgabe)

Früher wurden in den Städten auf Hügeln oder kleineren Bergen Wassertürme gebaut. Durch das in den Türmen gespeicherte Wasser konnte ein ausreichender Wasserdruck für die Versorgung der Wohnungen mit Trinkwasser sichergestellt werden.
Im Folgenden soll die Wassermenge im Speicher eines Wasserturms untersucht werden.
Um den nötigen Wasserdruck zu gewährleisten, soll dafür gesorgt werden, dass ständig mindestens $1000\,\text{m}^3$ Wasser (Sollwert) im Speicher des Turmes vorhanden sind. Die maximale Füllmenge beträgt $2000\,\text{m}^3$.
Für einen bestimmten Tag wird die Wassermenge im Speicher des Turmes im Zeitraum von 6:00 Uhr bis 7:30 Uhr für $0 \leq t\leq 1,5$ durch die Funktion $f$ mit der Gleichung
$f(t) = 1000 \cdot t^3 - 1000 \cdot t^2 - 687 \cdot t + 1467$
modelliert. Dabei bezeichnet $t$ die Zeit in Stunden, die seit 6:00 Uhr vergangen ist, und $f(t)$ die Wassermenge im Speicher des Turmes in $\text{m}^3$.
Der Graph der Funktion $f$ ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Mit Hilfsmitteln
Mit Hilfsmitteln
Mit der Funktion $f$ ist es möglich, die folgenden Aufgabenstellungen zu bearbeiten.
a) 
  1. Zeige, dass um 7:00 Uhr nur noch $780\,\text{m}^3$ Wasser im Speicher des Turmes vorhanden sind.
  2. Ermittle näherungsweise die Zeiträume, in denen die Wassermenge über dem Sollwert von $1000\,\text{m}^3$ liegt.
  3. (2 + 4P)
b)  Ermittle rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem die Wassermenge im Speicher des Turmes minimal ist.
Berechne, um wie viele $\text{m}^3$ Wasser der Sollwert zu diesem Zeitpunkt unterschritten wird.
(8P)
c)  Berechne $\dfrac{f(1)-f(0)}{1-0}$ und $f'(1)$ und interpretiere die berechneten Werte im Sachzusammenhang.
(4P)
d)  Gegeben ist nun zusätzlich die Funktion $g$ mit der Gleichung
$g(t) = -1000 \cdot t^3 + 1000 \cdot t^2 + 687 \cdot t + 533$
.
  1. Zeichne den Graphen von $g$ in die Abbildung ein.
  2. Erkläre, welche Bedeutung die Funktionswerte $g(t)$ mit $0 \leq t \leq 1,5$ im Sachzusammenhang haben.
  3. (4 + 2P)
Zugelassene Hilfsmittel:
  • Graphikfähiger Taschenrechner (GTR) oder Computeralgebrasystem (CAS)
  • Mathematische Formelsammlung
  • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung
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Aufgabe 3: Analysis (innermathematische Aufgaben)

a)  $\blacktriangleright$  Nullstellen berechnen
Die Nullstelle einer Funktion ist der Punkt, an dem der Graph der Funktion die x-Achse schneidet. Dies geschieht immer dann, wenn die Funktion den $y$-Wert $0$ annimmt.
Um die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen, musst du den Term der Funktion $f$ mit $0$ gleichsetzen:
$f(x)=…=0$
Diese Gleichung kannst du mit Hilfe des CAS lösen. Speichere dort den Funktionsterm $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$ ab und zeichne die Funktion.
Wähle dann den entsprechenden Befehl zum Bestimmen der Nullstelle deiner Funktion aus.
b)  $\blacktriangleright$  Rechnerisch den lokalen Hoch- und Tiefpunkt ermitteln
Um einen Extrempunkt $(x_E\mid f(x_E))$ eines Graphen einer Funktion $f$ zu bestimmen, musst du Folgendes überprüfen.
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_{\text{E}}) = 0$
  • Hinreichende Bedingung:
    $f''(x_{\text{E}}) < 0$ $\Rightarrow$ Hochpunkt des Graphen von $f$ an der Stelle $x_{\text{E}}$.
    $f''(x_{\text{E}}) > 0$ $\Rightarrow$ Tiefpunkt des Graphen von $f$ an der Stelle $x_{\text{E}}$
Überprüfe, ob die erste Ableitung $f'$ eine Nullstelle besitzt (Notwendiges Kriterium) und welches Vorzeichen die zweite Ableitung $f''$ an der Nullstelle besitzt (Hinreichende Bedingung).
c)  $\blacktriangleright$  Sekante einzeichnen und berechnen
Um die Sekante einzuzeichnen, zeichne die Punkte $P\,(2\mid3)$ und $Q\,(3\mid1)$ in die Abbildung ein und verbinde sie zu einer Geraden.
Berechne die Gleichung für die Sekante über die Zwei-Punkt-Formel. Sie lautet:
$\dfrac{y-y_1}{x-x_1}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Setze die beiden bekannten Punkte ein und forme nach $y$ um.
d)  $\blacktriangleright$  Stelle a angeben und erklären, wieso sich der Ableitung angenähert wird
Du kannst die Ableitung auch folgendermaßen schreiben:
$f'(a)=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$
Die Stelle $a$ bzw. $f(a)$ müssten in jedem Term gleich sein, während sich $x$ der zu ableitenden Stelle nähert. Das heißt die Komponenten $x$ und $f(x)$ sind variabel. Vergleicht man diese Formel mit den Termen des Schülers so erkennt man, dass die $3$ als $f(a)$, sowie die $2$ als $a$ in allen Termen vorkommt.
e)  $\blacktriangleright$  Transformationen ermitteln, durch die der Graph $\boldsymbol{g}$ auf dem Graph $\boldsymbol{f}$ hervorgeht
Zeichnest du beide Graphen mit dem CAS, erkennst du, dass der Graph von $g$ denselben Verlauf hat wie der Graph von $f$. Er ist im Vergleich zu $f$ nach unten und nach rechts verschoben.
Um die genaue Verschiebung zu berechnen, werden die Koordinaten der Extrempunkte verglichen.

Aufgabe 4: Analysis (kontextbezogene Aufgabe)

a1)  $\blacktriangleright$  Zeigen, dass um $\boldsymbol{7}$ Uhr nur noch $\boldsymbol{780}$ m$\boldsymbol{^3}$ Wasser im Turm sind
Die Funktion des Verlaufes des Wasserstands ist dir gegeben. Die Messung begann um $6:00$ Uhr. Um $7:00$ Uhr ist $1$ Stunde vergangen, d.h. du musst für $t\, 1$ einsetzen.
a2)  $\blacktriangleright$  Näherungsweise Zeiträume bestimmen
Um die Zeiträume zu bestimmen, in denen der Wasserstand über dem Sollwert von $1\,000\,\text{m}^3$ liegt, zeichne eine horizontale Gerade auf einer Höhe von $1\,000\,\text{m}^3$ durch das Schaubild. Dort, wo die Gerade den Graphen der Funktion schneidet, zeichnest du eine weitere Gerade vom Schnittpunkt abwärts auf die $x$-Achse.
Mit Hilfsmitteln
Mit Hilfsmitteln
Nun kannst du die $x$-Werte ablesen, bei denen der Wasserstand den Sollwert von $1\,000\,\text{m}^3$ genau erreicht.
b)  $\blacktriangleright$  Zeitpunkt des minimalen Standes und Differenz zum Sollwert berechnen
Der Zeitpunkt, zu dem der Wasserstand minimal ist, entspricht dem lokalen Minimum der Funktion.
Um einen Tiefpunkt $(x_E\mid f(x_E))$ eines Graphen einer Funktion $f$ zu bestimmen, musst du Folgendes überprüfen.
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_{\text{E}}) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(x_{\text{E}}) > 0$ $\Rightarrow$ Tiefpunkt des Graphen von $f$ an der Stelle $x_{\text{E}}$
Überprüfe, ob die erste Ableitung $f'$ eine Nullstelle besitzt (Notwendiges Kriterium) und welches Vorzeichen die zweite Ableitung $f''$ an der Nullstelle besitzt (Hinreichende Bedingung).
c)  $\blacktriangleright$  Berechnen und interpretieren
Berechne den Wert für $f(0)$. Der Wert von $f(1)$ wurde bereits in Aufgabenteil a1) ausgerechnet. Er beträgt $780$.
$f(0)=1\,000\cdot0^3-1\,000\cdot0^2-687\cdot0+1\,467=1\,467$
Jetzt kann der in der Aufgabenstellung gegebene Term berechnet werden.
Vergleiche den Term mit der Punkt-Steigungsformel:
$m=\dfrac{y-y_1}{x-x_1}$
d1)  $\blacktriangleright$  Graph zeichnen
Um den Graphen der Funktion $g$ zu zeichnen, ist es hilfreich, wenn du dir die Funktion in deinem CAS anschaust. Du kannst dir über Wertetabellen-Funktion deines CAS eine Wertetabelle anzeigen lassen. Dort kannst du auch die Schrittgröße der $x$-Schritte variieren. Für das Zeichnen der Funktion empfiehlt es sich die $x$-Schritte auf mindestens $0,25$ zu verkleinern.
Zeichne dir mehrere Punkte aus der Wertetabelle in die Abbildung der Funktion $f$ ein. Der Graph der Funktion $g$ verläuft prinzipiell wie der Graph der Funktion $f$ nur an einer horizontalen Linie auf der Höhe von $y=1\,000$ gespiegelt.
d2)  $\blacktriangleright$  Verlauf interpretieren
Betrachtet man den Verlauf der beiden Graphen, erkennt man, dass ihre Funktionswerte durchgehend in der Summe $2\,000$ ergeben. In der Aufgabenstellung ist gegeben, dass der Wasserturm eine maximale Füllmenge von $2\,000\,\text{m}^3$ besitzt.
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Aufgabe 3: Analysis (innermathematische Aufgaben)

a)  $\blacktriangleright$  Nullstellen berechnen
Die Nullstelle einer Funktion ist der Punkt, an dem der Graph der Funktion die x-Achse schneidet. Dies geschieht immer dann, wenn die Funktion den $y$-Wert $0$ annimmt.
Um die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen, musst du den Term der Funktion $f$ mit $0$ gleichsetzen:
$f(x)=…=0$
Diese Gleichung kannst du mit Hilfe des CAS lösen. Speichere dort den Funktionsterm $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$ ab.
Wähle dann unter
menu $\rightarrow$ 3: Algebra $\rightarrow$ 1: Löse
den Befehl zum Bestimmen der Nullstelle deiner Funktion aus.
Mit Hilfsmitteln
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Der CAS liefert dir die Nullstelle $x=-0,103803$. Runde auf die dritte Nachkommastelle zu $x=-0,104$.
b)  $\blacktriangleright$  Rechnerisch den lokalen Hoch- und Tiefpunkt ermitteln
Um einen Extrempunkt $(x_E\mid f(x_E))$ eines Graphen einer Funktion $f$ zu bestimmen, musst du Folgendes überprüfen.
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_{\text{E}}) = 0$
  • Hinreichende Bedingung:
    $f''(x_{\text{E}}) < 0$ $\Rightarrow$ Hochpunkt des Graphen von $f$ an der Stelle $x_{\text{E}}$.
    $f''(x_{\text{E}}) > 0$ $\Rightarrow$ Tiefpunkt des Graphen von $f$ an der Stelle $x_{\text{E}}$
Überprüfe, ob die erste Ableitung $f'$ eine Nullstelle besitzt (Notwendiges Kriterium) und welches Vorzeichen die zweite Ableitung $f''$ an der Nullstelle besitzt (Hinreichende Bedingung).
1. Schritt: Funktion ableiten
Leite die Funktion ab. Dabei leitest du jeden Ausdruck zwischen $+$ und $-$ getrennt ab.
Die Ableitung eines Ausdrucks erhältst du, indem du den Exponenten von $x$ mit dem Ausdruck multiplizierst und ihn danach um $1$ verringerst. Ausdrücke ohne $x$ werden beim Ableiten $0$.
$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$
$f'(x)=3\cdot x^{3-1}-2\cdot6x^{2-1}+1\cdot9x^{1-1}+0=3x^2-12x+9$
2. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Bestimme die Nullstellen der ersten Ableitung mit Hilfe der $pq$-Formel oder der $abc$-Formel.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: $\boldsymbol{pq}$-Formel
Teile durch $3$, um die Funktion in die richtige Form für die $pq$-Formel zu bringen.
$f(x)=\frac{3}{3}x^2-\frac{12}{4}x+\frac{9}{3}=x^2-4x+3$
$ \begin{array}{rcll} -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] -\dfrac{(-4)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-4}{2}\right)^2-3}&=&x_{1/2} \\[5pt] \dfrac{4}{2}\pm\sqrt{4-3}&=&x_{1/2}\\[5pt] 2\pm\sqrt{1}&=&x_{1/2}\\[5pt] 2\pm1&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{Plus verwenden}\\[5pt] 3&=&x_{1}\\[5pt] 2\pm1&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{Minus verwenden}\\[5pt] 1&=&x_{2}\\[5pt] \end{array}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: $\boldsymbol{abc}$-Formel
$ \begin{array}{rcll} \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{-(-12)\pm\sqrt{(12)^2-4\cdot(3)\cdot(9)}}{2\cdot3}&=&x_{1/2} \\[5pt] \dfrac{12\pm\sqrt{144-108}}{6}&=&x_{1/2}\\[5pt] \dfrac{12\pm\sqrt{36}}{6}&=&x_{1/2}\\[5pt] \dfrac{12\pm6}{6}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{Plus verwenden}\\[5pt] \dfrac{18}{6}&=&x_{1}\\[5pt] 3&=&x_{1}\\[5pt] \dfrac{12\pm6}{6}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{Minus verwenden}\\[5pt] \dfrac{6}{6}&=&x_{2}\\[5pt] 1&=&x_{2}\\[5pt] \end{array}$
Damit hast du die beiden potentiellen Extremstellen $x_1=3$ und $x_2=1$ ermittelt und kannst im Folgenden die hinreichende Bedingungn überprüfen.
3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Leite die $1$. Ableitung ab und setze $x_1$ und $x_2$ in die $2$. Ableitung ein.
$f'(x)=3x^2-12x+9$
$f''(x)=2\cdot3x^{2-1}-1\cdot12x^{1-1}+0=6x-12$
Setze $x_1=3$ und $x_2=1$ in die $2$. Ableitung ein.
$f''(3)=6\cdot3-12=18-12=6$
$6>0\, \longrightarrow$ Tiefpunkt bei $x_1=3$
$f''(1)=6\cdot1-12=6-12=-6$
$-6<0\, \longrightarrow$ Hochpunkt bei $x_2=1$
Berechne die $y$-Werte der Punkte, indem du $x_{1/2}$ in den Term der Funktion einsetzt.
$f(3)=3^3-6\cdot3^2+9\cdot3+1=27-6\cdot9+27+1=55-54=1$
$f(1)=1^3-6\cdot1^2+9\cdot1+1=1-6\cdot1+9+1=11-6=5$
Die Funktion hat einen lokalen Hochpunkt bei $H\,(1\mid5)$ und einen lokalen Tiefpunkt bei $T\,(3\mid1)$.
c)  $\blacktriangleright$  Sekante einzeichnen und berechnen
Um die Sekante einzuzeichnen, zeichne die Punkte $P\,(2\mid3)$ und $Q\,(3\mid1)$ in die Abbildung ein und verbinde sie zu einer Geraden.
Mit Hilfsmitteln
Mit Hilfsmitteln
Berechne die Gleichung für die Sekante über die Zwei-Punkt-Formel. Sie lautet:
$\dfrac{y-y_1}{x-x_1}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Setze die beiden bekannten Punkte ein und forme nach $y$ um.
$ \begin{array}{rcll} \dfrac{y-y_1}{x-x_1}&=&\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}& \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{y-1}{x-3}&=&\dfrac{3-1}{2-3}& \scriptsize\mid \cdot(x-3) \\[5pt] y-1&=&\dfrac{2}{-1}\cdot(x-3)&\\[5pt] y-1&=&-2\cdot(x-3)&\scriptsize \mid +1\\[5pt] y&=&-2x+6+1&\\[5pt] y&=&-2x+7\\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der Sekante lautet: $y=-2x+7$
d)  $\blacktriangleright$  Stelle a angeben und erklären, wieso sich der Ableitung angenähert wird
Du kannst die Ableitung auch folgendermaßen schreiben:
$f'(a)=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$
Die Stelle $a$ bzw. $f(a)$ müssten in jedem Term gleich sein, während sich $x$ der zu ableitenden Stelle nähert. Das heißt die Komponenten $x$ und $f(x)$ sind variabel. Vergleicht man diese Formel mit den Termen des Schülers so erkennt man, dass die $3$ als $f(a)$, sowie die $2$ als $a$ in allen Termen vorkommt. Deshalb muss es sich bei der Stelle $a$ um die Zahl $2$ handeln.
Die Terme in der Tabelle geben die Steigung der Kurve näherungsweise an. Sie bilden den Mittelwert der Steigungen zwischen der Stelle $x$, in der Tabelle z.B. $2,4$ und der Stelle $a$, hier z.B. $2$. Verkleinert man den Abstand zwischen den beiden Stellen immer mehr, so nähert man sich immer mehr der tatsächlichen Steigung an der Stelle $a$ an. Die Ableitung an einer Stelle entspricht der Steigung der eigentlichen Funktion an dieser Stelle. Deshalb nähern sich die Tabellenwerte immer mehr der Ableitung $f'(a)$ an.
e)  $\blacktriangleright$  Transformationen ermitteln, durch die der Graph $\boldsymbol{g}$ auf dem Graph $\boldsymbol{f}$ hervorgeht
Zeichnet man beide Graphen mit dem CAS sehen die Graphen so aus:
Mit Hilfsmitteln
Mit Hilfsmitteln
Man kann erkennen, dass der Graph von $g$ den selben Verlauf wie der Graph von $f$ hat. Er ist im Vergleich zu $f$ nach unten und nach rechts verschoben.
Um die genaue Verschiebung zu berechnen, werden die Koordinaten der Extrempunkte verglichen.
Zeichne die Funktion $g(x)=x^3-9x^2+24x-18$ mit deinem CAS. Bestimme den Extremwert der Funktion $g$ über den Befehl:
6. Graph analysieren $\rightarrow$ 3: Maximum
Der CAS liefert für das lokale Maximum den Hochpunkt $H_g\,(2\mid2)$.
Mit Hilfsmitteln
Mit Hilfsmitteln
Vergleiche nun mit dem Hochpunkt des Graphen der Funktion $f$. Diese hat den Hochpunkt $H_f\,(1\mid5)$.
Berechne die Differenz zwischen den $x$- und den $y$-Koordinaten der Punkte.
$x$: $x_f-x_g=1-2=-1$
$y$: $y_f-y_g=5-2=3$
Daraus schließen wir, dass der Graph der Funktion $g$ aus dem Graph der Funktion $f$ hervorgeht, indem man den Graphen um $1$ nach rechts auf der $x$-Achse verschiebt und um $3$ nach unten auf der $y$-Achse.

Aufgabe 4: Analysis (kontextbezogene Aufgabe)

a1)  $\blacktriangleright$  Zeigen, dass um $\boldsymbol{7}$ Uhr nur noch $\boldsymbol{780}$ m$\boldsymbol{^3}$ Wasser im Turm ist
Die Funktion des Verlaufes des Wasserstands ist dir gegeben. Die Messung begann um $6:00$ Uhr. Um $7:00$ Uhr ist $1$ Stunde vergangen, d.h. du musst für $t\, 1$ einsetzen.
Der CAS liefert für $t=1$ den Wert $780$. Eine Stunde nach Messbeginn, also um $7:00$ Uhr beträgt der Wasserstand im Turm $780\,\text{m}^3$.
a2)  $\blacktriangleright$  Näherungsweise Zeiträume bestimmen
Um die Zeiträume zu bestimmen, in denen der Wasserstand über dem Sollwert von $1\,000\,\text{m}^3$ liegt, zeichne eine horizontale Gerade auf einer Höhe von $1\,000\,\text{m}^3$ durch das Schaubild. Dort, wo die Gerade den Graphen der Funktion schneidet, zeichnest du eine weitere Gerade vom Schnittpunkt abwärts auf die $x$-Achse.
Mit Hilfsmitteln
Mit Hilfsmitteln
Nun kannst du die $x$-Werte ablesen, bei denen der Wasserstand den Sollwert von $1\,000\,\text{m}^3$ genau erreicht.
$x_1=0,5\,\text{h}$ und $x_2=1,25\,\text{h}$
Im Schaubild sieht man, dass der Graph der Funktion links von $x_1$ und rechts von $x_2$ über dem Sollwert liegt.
Berechne nun die Zeitpunkte der Stellen $x_1$ und $x_2$.
$x_1=6:00\,\text{Uhr}+0,5\,\text{h}=6:00\,\text{Uhr}+30\,\text{min}=6:30\,\text{Uhr}$
$x_2=6:00\,\text{Uhr}+1,25\,\text{h}=6:00\,\text{Uhr}+1\,\text{m}\,15\,\text{min}=7:15\,\text{Uhr}$
Im Zeitraum zwischen $6:00$ Uhr und $6:30$ Uhr, sowie zwischen $7:15$ Uhr und $7:30$ Uhr liegt der Wasserstand über dem Sollwert von $1\,000\,\text{m}^3$.
b)  $\blacktriangleright$  Zeitpunkt des minimalen Standes und Differenz zum Sollwert berechnen
Der Zeitpunkt, zu dem der Wasserstand minimal ist, entspricht dem lokalen Minimum der Funktion.
Um einen Tiefpunkt $(x_E\mid f(x_E))$ eines Graphen einer Funktion $f$ zu bestimmen, musst du Folgendes überprüfen.
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_{\text{E}}) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(x_{\text{E}}) > 0$ $\Rightarrow$ Tiefpunkt des Graphen von $f$ an der Stelle $x_{\text{E}}$
Überprüfe, ob die erste Ableitung $f'$ eine Nullstelle besitzt (Notwendiges Kriterium) und welches Vorzeichen die zweite Ableitung $f''$ an der Nullstelle besitzt (Hinreichende Bedingung).
1. Schritt: Funktion ableiten
Leite die Funktion ab. Dabei leitest du jeden Ausdruck zwischen $+$ und $-$ getrennt ab.
Die Ableitung eines Ausdrucks erhältst du, indem du den Exponenten von $x$ mit dem Ausdruck multiplizierst und ihn danach um $1$ verringerst. Ausdrücke ohne $x$ werden beim Ableiten $0$.
$f(x)=1\,000\cdot t^3-1\,000\cdot t^2-687\cdot t+1\,467$
$f'(x)=3\cdot1\,000\cdot t^{3-1}-2\cdot1\,000\cdot t^{2-1}-1\cdot687\cdot t^{1-1}=3\,000\cdot t^2-2\,000\cdot t-687$
2. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Bestimme die Nullstellen der ersten Ableitung mit Hilfe der $abc$-Formel.
$ \begin{array}{rcll} \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{-(-2\,000)\pm\sqrt{(2\,000)^2-4\cdot(3\,000)\cdot(-687)}}{2\cdot3\,000}&=&x_{1/2} \\[5pt] \dfrac{2\,000\pm\sqrt{4\,000\,000+8\,244\,000}}{6\,000}&=&x_{1/2}\\[5pt] \dfrac{2\,000\pm\sqrt{12\,244\,000}}{6\,000}&=&x_{1/2}\\[5pt] \dfrac{2\,000\pm3\,499}{6\,000}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{Plus verwenden}\\[5pt] \dfrac{5\,499}{6\,000}&=&x_{1}\\[5pt] 0,9165&=&x_{1}\\[5pt] \dfrac{2\,000\pm3\,499}{6\,000}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{Minus verwenden}\\[5pt] \dfrac{-1\,499}{6\,000}&=&x_{2}\\[5pt] -0,2498&=&x_{2}\\[5pt] \end{array}$
Da $x_2$ außerhalb des Definitionsbereiches der Funktion liegt, kann dieser Wert vernachlässigt werden. Von Interesse ist weiterhin nur $x_1=0,9165$.
3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Leite die $1$. Ableitung ab und setze $x_1$ in den Term der $2$. Ableitung ein.
$f'(x)=3\,000\cdot t^2-2\,000\cdot t-687$ $f''(x)=2\cdot3\,000\cdot t^{2-1}-1\cdot2\,000\cdot t^{1-1}-0=6\,000t-2\,000$
Setze $x_1=0,9165$ in die Ableitung ein.
$f''(0,9165)=6\,000\cdot0,9165-2000=5499-2000=3499$
$3499>0\, \longrightarrow$ Tiefpunkt bei $x_1=0,9165$
Berechne den $y$-Wert des Tiefpunkts, indem du $x_1$ in den Term der Funktion einsetzt.
$ \begin{array}{rcll} f(0,9165)&=&1\,000\cdot0,9165^3-1000\cdot0,9165^2-687\cdot0,9165+1467 \\[5pt] &=&1\,000\cdot0,7698-1\,000\cdot0,8400-629,6+1467\\[5pt] &=&769,8-840+837.4\\[5pt] &=&767.2&\\[5pt] \end{array}$
Berechne nun die Differenz zwischen dem Wasserstand zum Zeitpunkt $x_1$ und dem Sollwert.
$1\,000\,\text{m}^3-767,2\,\text{m}^3=232,8\,\text{m}^3$
Zuletzt rechne den Zeitpunkt $x_1$ in eine Uhrzeit um.
$x_1=6:00\,\text{Uhr}+60\,\text{min}\cdot0,9165=6:00\,\text{Uhr}+55\text{min}=6:55\,\text{Uhr}$
Um $6:55$ Uhr ist der Wasserstand im Wasserturm minimal, zu diesem Zeitpunkt liegt er $232,8\,\text{m}^3$ unter dem Sollwert.
c)  $\blacktriangleright$  Berechnen und interpretieren
Berechne den Wert für $f(0)$. Der Wert von $f(1)$ wurde bereits in Aufgabenteil a1) ausgerechnet. Er beträgt $780$.
$f(0)=1\,000\cdot0^3-1\,000\cdot0^2-687\cdot0+1\,467=1\,467$
Jetzt kann der in der Aufgabenstellung gegebene Term berechnet werden.
$\dfrac{f(1)-f(0)}{1-0}=780-1\,467=-687$
Vergleicht man den Term mit der Punkt-Steigungsformel:
$m=\dfrac{y-y_1}{x-x_1}$
So erkennt man, dass damit die Steigung einer Geraden berechnet wurde, die durch die zwei Punkte $P_1\,(0\mid1\,467)$ und $P_2\,(1\mid780)$ verläuft. Die Steigung gibt in dieser Funktion die durschnittliche Geschwindigkeit an, mit der das Wasser in diesem Zeitintervall zu- bzw. abgeflossen ist. Man kann also sagen, dass im Verlauf einer Stunde der Wasserstand um etwa $687\,\text{m}^3$ abnahm.
Um den Wert für $f'(1)$ zu berechnen, setze $x=1$ in die in Aufgabenteil b) bestimmte Ableitung ein.
$f'(1)=3\,000\cdot1^2-2\,000\cdot1-687=313$
Die Ableitung an einer Stelle $a$ gibt die Steigung der Funktion an dieser Stelle an. Die Steigung beschreibt in dieser Funktion die Geschwindigkeit mit der das Wasser zu- bzw. abfließt. Man kann also sagen, dass die momentane Zu- bzw. Abflussgeschwindigkeit zum Zeitpunkt $t=1$ bei $313\frac{\text{m}^3}{h}$ liegt.
d1)  $\blacktriangleright$  Graph zeichnen
Um den Graphen der Funktion $g$ zu zeichnen ist es hilfreich, wenn du dir die Funktion in deinem CAS anschaust. Du kannst dir über den Befehl:
7. Tabelle $\rightarrow$ 1. Tabelle mit geteiltem Bildschirm
eine Wertetabelle anzeigen lassen. Du kannst die Schrittgröße der Tabelle ändern, über den Befehl:
2. Wertetabelle $\rightarrow$ 5. Funktionseinstellung bearbeiten
Für das Zeichnen der Funktion empfiehlt es sich die $x$-Schritte auf mindestens $0,25$ zu verkleinern.
Zeichne dir mehrere Punkte aus der Wertetabelle in die Abbildung der Funktion $f$ ein. Der Graph der Funktion $g$ verläuft prinzipiell wie der Graph der Funktion $f$ nur an einer horizontalen Linie auf der Höhe von $y=1\,000$ gespiegelt.
Mit Hilfsmitteln
Mit Hilfsmitteln
d2)  $\blacktriangleright$  Verlauf interpretieren
Betrachtet man den Verlauf der beiden Graphen erkennt man, dass ihre Funktionswerte durchgehend in der Summe $2\,000$ ergeben. In der Aufgabenstellung ist gegeben, dass der Wasserturm eine maximale Füllmenge von $2\,000\,\text{m}^3$ besitzt. Der Graph der Funktion $f$ stellt die Wassermenge die zu einem Zeitpunkt $t$ im Wasserturm vorhanden ist dar, während der Graph der Funktion $g$ die Größe des freien Raums im Wasserturm zum Zeitpunkt $t$ angibt.
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Aufgabe 3: Analysis (innermathematische Aufgaben)

a)  $\blacktriangleright$  Nullstellen berechnen
Die Nullstelle einer Funktion ist der Punkt, an dem der Graph der Funktion die x-Achse schneidet. Dies geschieht immer dann, wenn die Funktion den $y$-Wert $0$ annimmt.
Um die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen, musst du den Term der Funktion $f$ mit $0$ gleichsetzen:
$f(x)=…=0$
Diese Gleichung kannst du mit Hilfe des CAS lösen. Speichere dort den Funktionsterm $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$ ab und zeichne die Funktion.
Wähle dann unter
Analysis $\rightarrow$ G-Solve $\rightarrow$ Root
den Befehl zum Bestimmen der Nullstelle deiner Funktion aus.
Mit Hilfsmitteln
Mit Hilfsmitteln
Der CAS liefert dir die Nullstelle $x=-0,103803$. Runde auf die dritte Nachkommastelle zu $x=-0,104$.
b)  $\blacktriangleright$  Rechnerisch den lokalen Hoch- und Tiefpunkt ermitteln
Um einen Extrempunkt $(x_E\mid f(x_E))$ eines Graphen einer Funktion $f$ zu bestimmen, musst du Folgendes überprüfen.
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_{\text{E}}) = 0$
  • Hinreichende Bedingung:
    $f''(x_{\text{E}}) < 0$ $\Rightarrow$ Hochpunkt des Graphen von $f$ an der Stelle $x_{\text{E}}$.
    $f''(x_{\text{E}}) > 0$ $\Rightarrow$ Tiefpunkt des Graphen von $f$ an der Stelle $x_{\text{E}}$
Überprüfe, ob die erste Ableitung $f'$ eine Nullstelle besitzt (Notwendiges Kriterium) und welches Vorzeichen die zweite Ableitung $f''$ an der Nullstelle besitzt (Hinreichende Bedingung).
1. Schritt: Funktion ableiten
Leite die Funktion ab. Dabei leitest du jeden Ausdruck zwischen $+$ und $-$ getrennt ab.
Die Ableitung eines Ausdrucks erhältst du, indem du den Exponenten von $x$ mit dem Ausdruck multiplizierst und ihn danach um $1$ verringerst. Ausdrücke ohne $x$ werden beim Ableiten $0$.
$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$
$f'(x)=3\cdot x^{3-1}-2\cdot6x^{2-1}+1\cdot9x^{1-1}+0=3x^2-12x+9$
2. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Bestimme die Nullstellen der ersten Ableitung mit Hilfe der $pq$-Formel oder der $abc$-Formel.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: $\boldsymbol{pq}$-Formel
Teile durch $3$, um die Funktion in die richtige Form für die $pq$-Formel zu bringen.
$f(x)=\frac{3}{3}x^2-\frac{12}{4}x+\frac{9}{3}=x^2-4x+3$
$ \begin{array}{rcll} -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] -\dfrac{(-4)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-4}{2}\right)^2-3}&=&x_{1/2} \\[5pt] \dfrac{4}{2}\pm\sqrt{4-3}&=&x_{1/2}\\[5pt] 2\pm\sqrt{1}&=&x_{1/2}\\[5pt] 2\pm1&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{Plus verwenden}\\[5pt] 3&=&x_{1}\\[5pt] 2\pm1&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{Minus verwenden}\\[5pt] 1&=&x_{2}\\[5pt] \end{array}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: $\boldsymbol{abc}$-Formel
$ \begin{array}{rcll} \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{-(-12)\pm\sqrt{(12)^2-4\cdot(3)\cdot(9)}}{2\cdot3}&=&x_{1/2} \\[5pt] \dfrac{12\pm\sqrt{144-108}}{6}&=&x_{1/2}\\[5pt] \dfrac{12\pm\sqrt{36}}{6}&=&x_{1/2}\\[5pt] \dfrac{12\pm6}{6}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{Plus verwenden}\\[5pt] \dfrac{18}{6}&=&x_{1}\\[5pt] 3&=&x_{1}\\[5pt] \dfrac{12\pm6}{6}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{Minus verwenden}\\[5pt] \dfrac{6}{6}&=&x_{2}\\[5pt] 1&=&x_{2}\\[5pt] \end{array}$
Damit hast du die beiden potentiellen Extremstellen $x_1=3$ und $x_2=1$ ermittelt und kannst im Folgenden die hinreichende Bedingungn überprüfen.
3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Leite die $1$. Ableitung ab und setze $x_1$ und $x_2$ in die $2$. Ableitung ein.
$f'(x)=3x^2-12x+9$
$f''(x)=2\cdot3x^{2-1}-1\cdot12x^{1-1}+0=6x-12$
Setze $x_1=3$ und $x_2=1$ in die $2$. Ableitung ein.
$f''(3)=6\cdot3-12=18-12=6$
$6>0\, \longrightarrow$ Tiefpunkt bei $x_1=3$
$f''(1)=6\cdot1-12=6-12=-6$
$-6<0\, \longrightarrow$ Hochpunkt bei $x_2=1$
Berechne die $y$-Werte der Punkte, indem du $x_{1/2}$ in den Term der Funktion einsetzt.
$f(3)=3^3-6\cdot3^2+9\cdot3+1=27-6\cdot9+27+1=55-54=1$
$f(1)=1^3-6\cdot1^2+9\cdot1+1=1-6\cdot1+9+1=11-6=5$
Die Funktion hat einen lokalen Hochpunkt bei $H\,(1\mid5)$ und einen lokalen Tiefpunkt bei $T\,(3\mid1)$.
c)  $\blacktriangleright$  Sekante einzeichnen und berechnen
Um die Sekante einzuzeichnen, zeichne die Punkte $P\,(2\mid3)$ und $Q\,(3\mid1)$ in die Abbildung ein und verbinde sie zu einer Geraden.
Mit Hilfsmitteln
Mit Hilfsmitteln
Berechne die Gleichung für die Sekante über die Zwei-Punkt-Formel. Sie lautet:
$\dfrac{y-y_1}{x-x_1}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Setze die beiden bekannten Punkte ein und forme nach $y$ um.
$ \begin{array}{rcll} \dfrac{y-y_1}{x-x_1}&=&\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}& \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{y-1}{x-3}&=&\dfrac{3-1}{2-3}& \scriptsize\mid \cdot(x-3) \\[5pt] y-1&=&\dfrac{2}{-1}\cdot(x-3)&\\[5pt] y-1&=&-2\cdot(x-3)&\scriptsize \mid +1\\[5pt] y&=&-2x+6+1&\\[5pt] y&=&-2x+7\\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der Sekante lautet: $y=-2x+7$
d)  $\blacktriangleright$  Stelle a angeben und erklären, wieso sich der Ableitung angenähert wird
Du kannst die Ableitung auch folgendermaßen schreiben:
$f'(a)=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$
Die Stelle $a$ bzw. $f(a)$ müssten in jedem Term gleich sein, während sich $x$ der zu ableitenden Stelle nähert. Das heißt die Komponenten $x$ und $f(x)$ sind variabel. Vergleicht man diese Formel mit den Termen des Schülers so erkennt man, dass die $3$ als $f(a)$, sowie die $2$ als $a$ in allen Termen vorkommt. Deshalb muss es sich bei der Stelle $a$ um die Zahl $2$ handeln.
Die Terme in der Tabelle geben die Steigung der Kurve näherungsweise an. Sie bilden den Mittelwert der Steigungen zwischen der Stelle $x$, in der Tabelle z.B. $2,4$ und der Stelle $a$, hier z.B. $2$. Verkleinert man den Abstand zwischen den beiden Stellen immer mehr, so nähert man sich immer mehr der tatsächlichen Steigung an der Stelle $a$ an. Die Ableitung an einer Stelle entspricht der Steigung der eigentlichen Funktion an dieser Stelle. Deshalb nähern sich die Tabellenwerte immer mehr der Ableitung $f'(a)$ an.
e)  $\blacktriangleright$  Transformationen ermitteln, durch die der Graph $\boldsymbol{g}$ auf dem Graph $\boldsymbol{f}$ hervorgeht
Zeichnet man beide Graphen mit dem CAS sehen die Graphen so aus:
Mit Hilfsmitteln
Mit Hilfsmitteln
Man kann erkennen, dass der Graph von $g$ den selben Verlauf wie der Graph von $f$ hat. Er ist im Vergleich zu $f$ nach unten und nach rechts verschoben.
Um die genaue Verschiebung zu berechnen, werden die Koordinaten der Extrempunkte verglichen.
Zeichne die Funktion $g(x)=x^3-9x^2+24x-18$ mit deinem CAS. Bestimme den Extremwert der Funktion $g$ über den Befehl:
Analysis $\rightarrow$ G-Solve $\rightarrow$ Max
Der CAS liefert für das lokale Maximum den Hochpunkt $H_g\,(2\mid2)$.
Mit Hilfsmitteln
Mit Hilfsmitteln
Vergleiche nun mit dem Hochpunkt des Graphen der Funktion $f$. Diese hat den Hochpunkt $H_f\,(1\mid5)$.
Berechne die Differenz zwischen den $x$- und den $y$-Koordinaten der Punkte.
$x$: $x_f-x_g=1-2=-1$
$y$: $y_f-y_g=5-2=3$
Daraus schließen wir, dass der Graph der Funktion $g$ aus dem Graph der Funktion $f$ hervorgeht, indem man den Graphen um $1$ nach rechts auf der $x$-Achse verschiebt und um $3$ nach unten auf der $y$-Achse.

Aufgabe 4: Analysis (kontextbezogene Aufgabe)

a1)  $\blacktriangleright$  Zeigen, dass um $\boldsymbol{7}$ Uhr nur noch $\boldsymbol{780}$ m$\boldsymbol{^3}$ Wasser im Turm ist
Die Funktion des Verlaufes des Wasserstands ist dir gegeben. Die Messung begann um $6:00$ Uhr. Um $7:00$ Uhr ist $1$ Stunde vergangen, d.h. du musst für $t\, 1$ einsetzen.
Der CAS liefert für $t=1$ den Wert $780$. Eine Stunde nach Messbeginn, also um $7:00$ Uhr beträgt der Wasserstand im Turm $780\,\text{m}^3$.
a2)  $\blacktriangleright$  Näherungsweise Zeiträume bestimmen
Um die Zeiträume zu bestimmen, in denen der Wasserstand über dem Sollwert von $1\,000\,\text{m}^3$ liegt, zeichne eine horizontale Gerade auf einer Höhe von $1\,000\,\text{m}^3$ durch das Schaubild. Dort, wo die Gerade den Graphen der Funktion schneidet, zeichnest du eine weitere Gerade vom Schnittpunkt abwärts auf die $x$-Achse.
Mit Hilfsmitteln
Mit Hilfsmitteln
Nun kannst du die $x$-Werte ablesen, bei denen der Wasserstand den Sollwert von $1\,000\,\text{m}^3$ genau erreicht.
$x_1=0,5\,\text{h}$ und $x_2=1,25\,\text{h}$
Im Schaubild sieht man, dass der Graph der Funktion links von $x_1$ und rechts von $x_2$ über dem Sollwert liegt.
Berechne nun die Zeitpunkte der Stellen $x_1$ und $x_2$.
$x_1=6:00\,\text{Uhr}+0,5\,\text{h}=6:00\,\text{Uhr}+30\,\text{min}=6:30\,\text{Uhr}$
$x_2=6:00\,\text{Uhr}+1,25\,\text{h}=6:00\,\text{Uhr}+1\,\text{m}\,15\,\text{min}=7:15\,\text{Uhr}$
Im Zeitraum zwischen $6:00$ Uhr und $6:30$ Uhr, sowie zwischen $7:15$ Uhr und $7:30$ Uhr liegt der Wasserstand über dem Sollwert von $1\,000\,\text{m}^3$.
b)  $\blacktriangleright$  Zeitpunkt des minimalen Standes und Differenz zum Sollwert berechnen
Der Zeitpunkt, zu dem der Wasserstand minimal ist, entspricht dem lokalen Minimum der Funktion.
Um einen Tiefpunkt $(x_E\mid f(x_E))$ eines Graphen einer Funktion $f$ zu bestimmen, musst du Folgendes überprüfen.
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_{\text{E}}) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(x_{\text{E}}) > 0$ $\Rightarrow$ Tiefpunkt des Graphen von $f$ an der Stelle $x_{\text{E}}$
Überprüfe, ob die erste Ableitung $f'$ eine Nullstelle besitzt (Notwendiges Kriterium) und welches Vorzeichen die zweite Ableitung $f''$ an der Nullstelle besitzt (Hinreichende Bedingung).
1. Schritt: Funktion ableiten
Leite die Funktion ab. Dabei leitest du jeden Ausdruck zwischen $+$ und $-$ getrennt ab.
Die Ableitung eines Ausdrucks erhältst du, indem du den Exponenten von $x$ mit dem Ausdruck multiplizierst und ihn danach um $1$ verringerst. Ausdrücke ohne $x$ werden beim Ableiten $0$.
$f(x)=1\,000\cdot t^3-1\,000\cdot t^2-687\cdot t+1\,467$
$f'(x)=3\cdot1\,000\cdot t^{3-1}-2\cdot1\,000\cdot t^{2-1}-1\cdot687\cdot t^{1-1}=3\,000\cdot t^2-2\,000\cdot t-687$
2. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Bestimme die Nullstellen der ersten Ableitung mit Hilfe der $abc$-Formel.
$ \begin{array}{rcll} \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{-(-2\,000)\pm\sqrt{(2\,000)^2-4\cdot(3\,000)\cdot(-687)}}{2\cdot3\,000}&=&x_{1/2} \\[5pt] \dfrac{2\,000\pm\sqrt{4\,000\,000+8\,244\,000}}{6\,000}&=&x_{1/2}\\[5pt] \dfrac{2\,000\pm\sqrt{12\,244\,000}}{6\,000}&=&x_{1/2}\\[5pt] \dfrac{2\,000\pm3\,499}{6\,000}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{Plus verwenden}\\[5pt] \dfrac{5\,499}{6\,000}&=&x_{1}\\[5pt] 0,9165&=&x_{1}\\[5pt] \dfrac{2\,000\pm3\,499}{6\,000}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{Minus verwenden}\\[5pt] \dfrac{-1\,499}{6\,000}&=&x_{2}\\[5pt] -0,2498&=&x_{2}\\[5pt] \end{array}$
Da $x_2$ außerhalb des Definitionsbereiches der Funktion liegt, kann dieser Wert vernachlässigt werden. Von Interesse ist weiterhin nur $x_1=0,9165$.
3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Leite die $1$. Ableitung ab und setze $x_1$ in den Term der $2$. Ableitung ein.
$f'(x)=3\,000\cdot t^2-2\,000\cdot t-687$ $f''(x)=2\cdot3\,000\cdot t^{2-1}-1\cdot2\,000\cdot t^{1-1}-0=6\,000t-2\,000$
Setze $x_1=0,9165$ in die Ableitung ein.
$f''(0,9165)=6\,000\cdot0,9165-2000=5499-2000=3499$
$3499>0\, \longrightarrow$ Tiefpunkt bei $x_1=0,9165$
Berechne den $y$-Wert des Tiefpunkts, indem du $x_1$ in den Term der Funktion einsetzt.
$ \begin{array}{rcll} f(0,9165)&=&1\,000\cdot0,9165^3-1000\cdot0,9165^2-687\cdot0,9165+1467 \\[5pt] &=&1\,000\cdot0,7698-1\,000\cdot0,8400-629,6+1467\\[5pt] &=&769,8-840+837.4\\[5pt] &=&767.2&\\[5pt] \end{array}$
Berechne nun die Differenz zwischen dem Wasserstand zum Zeitpunkt $x_1$ und dem Sollwert.
$1\,000\,\text{m}^3-767,2\,\text{m}^3=232,8\,\text{m}^3$
Zuletzt rechne den Zeitpunkt $x_1$ in eine Uhrzeit um.
$x_1=6:00\,\text{Uhr}+60\,\text{min}\cdot0,9165=6:00\,\text{Uhr}+55\text{min}=6:55\,\text{Uhr}$
Um $6:55$ Uhr ist der Wasserstand im Wasserturm minimal, zu diesem Zeitpunkt liegt er $232,8\,\text{m}^3$ unter dem Sollwert.
c)  $\blacktriangleright$  Berechnen und interpretieren
Berechne den Wert für $f(0)$. Der Wert von $f(1)$ wurde bereits in Aufgabenteil a1) ausgerechnet. Er beträgt $780$.
$f(0)=1\,000\cdot0^3-1\,000\cdot0^2-687\cdot0+1\,467=1\,467$
Jetzt kann der in der Aufgabenstellung gegebene Term berechnet werden.
$\dfrac{f(1)-f(0)}{1-0}=780-1\,467=-687$
Vergleicht man den Term mit der Punkt-Steigungsformel:
$m=\dfrac{y-y_1}{x-x_1}$
So erkennt man, dass damit die Steigung einer Geraden berechnet wurde, die durch die zwei Punkte $P_1\,(0\mid1\,467)$ und $P_2\,(1\mid780)$ verläuft. Die Steigung gibt in dieser Funktion die durschnittliche Geschwindigkeit an, mit der das Wasser in diesem Zeitintervall zu- bzw. abgeflossen ist. Man kann also sagen, dass im Verlauf einer Stunde der Wasserstand um etwa $687\,\text{m}^3$ abnahm.
Um den Wert für $f'(1)$ zu berechnen, setze $x=1$ in die in Aufgabenteil b) bestimmte Ableitung ein.
$f'(1)=3\,000\cdot1^2-2\,000\cdot1-687=313$
Die Ableitung an einer Stelle $a$ gibt die Steigung der Funktion an dieser Stelle an. Die Steigung beschreibt in dieser Funktion die Geschwindigkeit mit der das Wasser zu- bzw. abfließt. Man kann also sagen, dass die momentane Zu- bzw. Abflussgeschwindigkeit zum Zeitpunkt $t=1$ bei $313\frac{\text{m}^3}{h}$ liegt.
d1)  $\blacktriangleright$  Graph zeichnen
Um den Graphen der Funktion $g$ zu zeichnen ist es hilfreich, wenn du dir die Funktion in deinem CAS anschaust. Du kannst dir über Wertetabellen-Funktion deines CAS eine Wertetabelle anzeigen lassen. Dort kannst du auch die Schrittgröße der $x$-Schritte variieren. Für das Zeichnen der Funktion empfiehlt es sich die $x$-Schritte auf mindestens $0,25$ zu verkleinern.
Zeichne dir mehrere Punkte aus der Wertetabelle in die Abbildung der Funktion $f$ ein. Der Graph der Funktion $g$ verläuft prinzipiell wie der Graph der Funktion $f$ nur an einer horizontalen Linie auf der Höhe von $y=1\,000$ gespiegelt.
Mit Hilfsmitteln
Mit Hilfsmitteln
d2)  $\blacktriangleright$  Verlauf interpretieren
Betrachtet man den Verlauf der beiden Graphen erkennt man, dass ihre Funktionswerte durchgehend in der Summe $2\,000$ ergeben. In der Aufgabenstellung ist gegeben, dass der Wasserturm eine maximale Füllmenge von $2\,000\,\text{m}^3$ besitzt. Der Graph der Funktion $f$ stellt die Wassermenge die zu einem Zeitpunkt $t$ im Wasserturm vorhanden ist dar, während der Graph der Funktion $g$ die Größe des freien Raums im Wasserturm zum Zeitpunkt $t$ angibt.
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