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Mit Hilfsmitteln

Aufgaben
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Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung
$f(x)=\frac{1}{4} \cdot x^4-2 \cdot x^2 +2, x \in \mathbb{R}.$
a)
Bestimme (gerundet auf zwei Nachkommastellen) die Nullstellen der Funktion $f.$
(3 P)
#nullstelle
b)
Zeige rechnerisch, dass $x=2$ eine lokale Minimalstelle der Funktion $f$ ist.
(6 P)
#extrempunkt
c)
Ausgehend von der Funktion $f$ ist eine neue Funktion $g$ mit der Gleichung
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& f(x)- \dfrac{3}{2} \cdot x\\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \cdot x^4 - 2 \cdot x^2 - \dfrac{3}{2} \cdot x +2 , x \in \mathbb{R}\\[5pt] \end{array}$
$g(x)=\dotsc $
gegeben. Die Abbildung 1 auf der folgenden Seite zeigt den Graphen von $f$, die Abbildung 2 zeigt den Graphen von $g.$
Nenne zwei Unterschiede der Graphen von $f$ und $g.$
Mit Hilfsmitteln
Abb. 2: Graph von $g$
Mit Hilfsmitteln
Abb. 2: Graph von $g$
d)
Die Gerade $t: y=-\dfrac{3}{2}\cdot x -2$ ist die Tangente an den Graphen von $g$ im Punkt $P(-2 \mid 1).$
[Hinweis: Ein Nachweis, dass $t$ die Tangente an den Graphen von $g$ im Punkt $P$ ist, ist nicht erforderlich.]
(1)
Zeichne die Tangente $t$ in die Abbildung 2 ein.
(2)
Zeige rechnerisch, dass $t$ auch in einem weiteren Punkt $Q$ Tangente an den Graphen von $g$ ist.
(2+6 P)
#tangente
e)
Der Graph von $g$ wird nun um $2$ Einheiten nach rechts verschoben. Der verschobene Graph wird anschließend so weit nach unten verschoben, bis die Gerade $t$ in zwei Punkten Tangente an den neuen Graphen ist.
Gib an, um wie viele Einheiten der nach rechts verschobene Graph dazu nach unten verschoben werden muss, und begründe deine Angabe.
(3 P)

Aufgabe 4

Ausgehend von Daten aus einer Statistik der Vereinten Nationen kann das Durchschnittsalter der Bevölkerung in einem Land $A$ mit Hilfe der Funktion $a$ mit der Gleichung
$a(t)=-0,00011 \cdot t^3 + 0,0186 \cdot t^2 -0,538 \cdot t +24, t \in \mathbb{R},$
$a(t)=\dotsc $
modelliert werden.
Dabei ist $t$ die Zeit in Jahren seit 1950 und $a(t)$ das zugehörige Durchschnittsalter in Jahren.
Mit der Funktion $a$ können Prognosen bis zum Jahr 2030 erstellt werden.
Der Graph von $a$ ist in Abbildung 3 dargestellt.
Mit Hilfsmitteln
Abb. 3: Graph von $a$
Mit Hilfsmitteln
Abb. 3: Graph von $a$
a)
Bestimme das Durchschnittsalter der Bevölkerung für das Jahr 1950 $(t=0)$ und den Prognosewert für das Jahr 2030 $(t=80).$
(4 P)
b)
Ermittle rechnerisch das niedrigste Durchschnittsalter der Bevölkerung im Zeitraum von 1950 bis 2030.
(8 P)
c)
Die Entwicklung des Durchschnittsalters der Bevölkerung im Zeitraum von 2030 bis 2050 soll durch die Tangente an den Graphen von $a$ an der Stelle $t=80$ modelliert werden.
Ermittle in Abbildung 1 rechnerisch näherungsweise das Durchschnittsalter der Bevölkerung für das Jahr 2050.
(3 P)
#tangente
d)
In einem anderen Land $B$ stimmte für das Jahr 1950 $(t=0)$ das Durchschnittsalter der Bevölkerung nahezu mit dem Durchschnittsalter in dem Land $A$ überein. Die Rate, mit der sich das Durchschnittsalter der Bevölkerung in dem Land $B$ ändert, ist in der folgenden Abbildung 4 dargestellt.
Mit Hilfsmitteln
Abb. 4: Änderungsrate des Durchschnittsalters der Bevölkerung
Mit Hilfsmitteln
Abb. 4: Änderungsrate des Durchschnittsalters der BEvölkerung
(1)
Beurteile die folgende Aussage:
Das Durchschnittsalter der Bevölkerung in dem Land $B$ wächst von 1950 bis 2030 durchgängig.
(2)
Zeichne den Graphen der Ableitungsfunktion $a'$ in die Abbildung 4 ein und gib die Bedeutung von $a'(t)$ im Sachzusammenhang an.
(3)
Beurteile die folgende Aussage:
Im Jahr 2020 wächst das Durchschnittsalter der Bevölkerung in dem Land $A$ schneller als in dem Land $B.$
(2+5+2 P)
#ableitung
Bildnachweise [nach oben]
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Aufgabe 3

a)
Mit Hilfsmitteln
Abb. 1: menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 1: Nullstelle
Mit Hilfsmitteln
Abb. 1: menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 1: Nullstelle
b)
$\blacktriangleright$  Lokale Minimalstelle nachweisen
Für die Ableitungsfunktion der Funktion $f$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& \dfrac{1}{4} \cdot x^4 -2 \cdot x^2 +2 \\[5pt] f'(x)&=& x^3 -4 \cdot x \\[5pt] \end{array}$
Mit dem notwendigen Kriterium $f'(x)=0$ für eine lokale Extremstelle folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& 0 \\[5pt] x^3 -4 \cdot x &=& 0 \\[5pt] x \cdot (x^2 -4 ) &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Mit dem Satz vom Nullprodukt gilt:
$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x^2-4 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] x^2 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] x_2 &=& 2 \\[5pt] x_3 &=& -2 \\[5pt] \end{array}$
Hierbei gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f'(1)&=& 1^3 -4 \cdot 1 \\[5pt] &=& -3 \quad < 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'(3)&=& 3^3 -4 \cdot 3 \\[5pt] &=& 15 \quad > 0 \end{array}$
Somit besitzt der Graph der Ableitungsfunktion an der Stelle $x=2$ einen Vorzeichenwechsel von negativen zu positiven Funktionswerten. Damit ist das hinreichende Kriterium für eine lokale Minimalstelle erfüllt und dadurch besitzt der Graph der Funktion $f$ an der Stelle $x=2$ eine lokale Minimalstelle.
c)
$\blacktriangleright$  Unterschiede nennen
Der Graph der Funktion $f$ ist achsensymmetrisch, wobei der Graph der Funktion $g$ keine Symmetrie aufweist.
Außerdem besitzt der Graph der Funktion $f$ vier und der Graph der Funktion $g$ insgesamt drei Nullstellen.
d)
$\blacktriangleright$  Tangente einzeichnen
Für die Tangente $t$ folgt:
Mit Hilfsmitteln
Abb. 2: Tangente $t$
Mit Hilfsmitteln
Abb. 2: Tangente $t$
$\blacktriangleright$  Zweite Tangente nachweisen
Für die gemeinsamen Punkte der Tangente $t$ und dem Graphen der Funktion $g$ folgt durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen:
$\begin{array}[t]{rll} t(x)&=& g(x) \\[5pt] -\dfrac{3}{2} \cdot x -2&=& \dfrac{1}{4} \cdot x^4 -2 \cdot x^2 - \dfrac{3}{2} \cdot x +2 &\quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{3}{2} \cdot x +2\\[5pt] 0&=& \dfrac{1}{4} \cdot x^4 -2 \cdot x^2 +4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Substitution: }z=x^2\\[5pt] 0&=& \dfrac{1}{4} \cdot z^2 -2 \cdot z +4 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 4\\[5pt] 0&=& z^2 -8 \cdot z +16 &\quad \scriptsize \mid\; pq-\text{Formel}\\[5pt] z_{1,2}&=& 4 \pm \sqrt{(-4)^2-16} \\[5pt] &=& 4 \pm \sqrt{16-16} \\[5pt] z&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Resubstitution: }z=x^2\\[5pt] x^2&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] x_{1,2}&=& \pm \sqrt{4} \\[5pt] x_1&=& 2\\[5pt] x_2&=& -2\\[5pt] \end{array}$
$x_{1,2}=\dotsc$
Dadurch besitzen die Tangente $t$ und der Graph der Funktion $g$ an den Stellen $x_1=2$ und $x_2=-2$ einen gemeinsamen Punkt.
Für eine Tangente an der Stelle $x=2$ muss außerdem gelten, dass die Steigung der Tangente gleich der Steigung des Graphen von $g$ an der Stelle $x_2=2$ ist. Für die Ableitungsfunktion der Funktion $g$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& \dfrac{1}{4} \cdot x^4 -2 \cdot x^2 - \dfrac{3}{2} \cdot x +2 \\[5pt] g'(x)&=& x^3 -4 \cdot x - \dfrac{3}{2} \\[5pt] \end{array}$
$ g'(x)=\dotsc$
Damit folgt für $g'(2)$:
$\begin{array}[t]{rll} g'(2)&=& 2^3 -4 \cdot 2 - \dfrac{3}{2} \\[5pt] &=& - \dfrac{3}{2} \\[5pt] \end{array}$
Somit gilt, dass die Steigung des Graphen der Funktion $g$ an der Stelle $x_2=2$ gleich der Steigung der Tangenten ist und deshalb ist die Tangente $t$ in dem Punkt $Q(2 \mid g(2))$ auch eine Tangente an den Graphen der Funktion $g.$
e)
$\blacktriangleright$  Verschiebung angeben
Die Steigung der Tangente ist durch $-\dfrac{3}{2}$ gegeben. Da der Graph der Funktion $g$ um $2$ Einheiten nach rechts verschoben wird, muss er um $3$ Einheiten nach unten verschoben werden, damit die Verschiebung entlang der Tangente verläuft.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Durchschnittsalter bestimmen
Für $a(0)$ gilt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} a(0)&=& -0,00011 \cdot 0^3 +0,0186 \cdot 0^2 -0,538 \cdot 0 +24 \\[5pt] &=& 24 \end{array}$
$a(0)=24 $
Somit beträgt das Durchschnittsalter der Bevölkerung für das Jahr 1950 genau $24$ Jahre.
$\blacktriangleright$  Prognosewert bestimmen
Für $a(80)$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} a(80)&=& -0,00011 \cdot (80)^3 +0,0186 \cdot (80)^2 -0,538 \cdot 80 +24 \\[5pt] &\approx& 43,68 \end{array}$
$a(80) \approx 43,68 $
Der Prognosewert für das Jahr 2030 beträgt ungefähr $43,68$ Jahre.
b)
$\blacktriangleright$  Niedrigstes Durchschnittsalter bestimmen
Es ist das lokale Minimum des Graphen von $a$ gesucht. Für die Ableitungsfunktion der Funktion $a$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} a(t)&=& -0,00011 \cdot t^3 +0,0186 \cdot t^2 -0,538 \cdot t +24 \\[5pt] a'(t)&=& -0,00033 \cdot t^2 +0,0372 \cdot t -0,538 \\[5pt] \end{array}$
$a'(t)= \dotsc $
Mit der notwendigen Bedingung $a'(t)=0$ für eine lokale Extremstelle folgt:
$\begin{array}[t]{rll} a'(t)&=& 0\\[5pt] -0,00033 \cdot t^2 +0,0372 \cdot t -0,538 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,00033) \\[5pt] t^2 -112,73 \cdot t +1630,30 &\approx& 0 &\quad \scriptsize \mid\; pq-\text{Formel}\\[5pt] t_{1,2}&\approx& 56,37 \pm \sqrt{(-56,37)^2 -16,30} \\[5pt] &\approx& 56,37 \pm \sqrt{(-56,37)^2 -1630,30} \\[5pt] t_1&\approx& 95,71 \\[5pt] t_2&\approx& 17,03 \\[5pt] \end{array}$
$t_{1,2}=\dotsc $
Hierbei gilt, dass $t_1 \approx 95,71$ nicht in dem Intervall $[0;80]$ liegt und somit keine Lösung für das Problem sein kann.
Außerdem gilt:
$\begin{array}[t]{rll} a'(0)&=& -0,00033 \cdot 0^2 +0,0372 \cdot 0 -0,538 \\[5pt] &=& -0,538 \quad < 0 \end{array}$
$a'(0)=-0,538$
$\begin{array}[t]{rll} a'(40)&=& -0,00033 \cdot 40^2 +0,0372 \cdot 40 -0,538 \\[5pt] &\approx & 0,42 \quad > 0 \end{array}$
$a'(40) \approx 0,42 $
Somit besitzt der Graph der Funktion $a'$ an der Stelle $t_2 \approx 17,03$ einen Vorzeichenwechsel von negativen zu positiven Funktionswerten und damit ist das hinreichende Kriterium für eine lokale Minimalstelle erfüllt.
Der Graph der Funktion $a$ besitzt damit an der Stelle $t_2 \approx 17,03$ eine lokale Minimalstelle und es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} a(17,03)&\approx & -0,00011 \cdot 17,03^3 +0,0186 \cdot 17,03^2 -0,538 \cdot 17,03 +24\\[5pt] &\approx& 19,69 \end{array}$
$a(17,03) \approx 19,69$
Somit beträgt das niedrigste Durchschnittsalter der Bevölkerung im Zeitraum von 1950 bis 2030 ungefähr $19,69$ Jahre.
c)
$\blacktriangleright$  Durchschnittsalter bestimmen
Durch Einzeichnen der Tangente folgt:
Mit Hilfsmitteln
Abb. 3: Tangente
Mit Hilfsmitteln
Abb. 3: Tangente
Anhand der Zeichnung beträgt das Durchschnittsalter der Bevölkerung im Jahr 2050$(t=100)$ ungefähr $50$ Jahre.
d)
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
Die Aussage (1) ist falsch, da die Änderungsrate des Durchschnittsalters der Bevölkerung auch negative Funktionswerte annimmt und somit das Durchschnittsalter der Bevölkerung abnimmt.
$\blacktriangleright$  Graph einzeichnen
Für den Graphen der Ableitungsfunktion $a'$ folgt:
Mit Hilfsmitteln
Abb. 4: Graph der Ableitungsfunktion $a'$
Mit Hilfsmitteln
Abb. 4: Graph der Ableitungsfunktion $a'$
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
Die Aussage $(3)$ ist wahr, da die Änderungsrate des Durchschnittsalters der Bevölkerung im Jahr 2020$(t=70)$ für das Land $A$ größer ist, als für das Land $B.$
Bildnachweise [nach oben]
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Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Nullstellen bestimmen
Für die Nullstellen der Funktion $f$ folgt mit dem Grafik-Modus des CAS:
Mit Hilfsmitteln
Abb. 1: Nullstellen
Mit Hilfsmitteln
Abb. 1: Nullstellen
b)
$\blacktriangleright$  Lokale Minimalstelle nachweisen
Für die Ableitungsfunktion der Funktion $f$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& \dfrac{1}{4} \cdot x^4 -2 \cdot x^2 +2 \\[5pt] f'(x)&=& x^3 -4 \cdot x \\[5pt] \end{array}$
Mit dem notwendigen Kriterium $f'(x)=0$ für eine lokale Extremstelle folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& 0 \\[5pt] x^3 -4 \cdot x &=& 0 \\[5pt] x \cdot (x^2 -4 ) &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Mit dem Satz vom Nullprodukt gilt:
$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x^2-4 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] x^2 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] x_2 &=& 2 \\[5pt] x_3 &=& -2 \\[5pt] \end{array}$
Hierbei gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f'(1)&=& 1^3 -4 \cdot 1 \\[5pt] &=& -3 \quad < 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'(3)&=& 3^3 -4 \cdot 3 \\[5pt] &=& 15 \quad > 0 \end{array}$
Somit besitzt der Graph der Ableitungsfunktion an der Stelle $x=2$ einen Vorzeichenwechsel von negativen zu positiven Funktionswerten. Damit ist das hinreichende Kriterium für eine lokale Minimalstelle erfüllt und dadurch besitzt der Graph der Funktion $f$ an der Stelle $x=2$ eine lokale Minimalstelle.
#notwendigeskriteriumfürextrema#hinreichendeskriteriumfürextrema
c)
$\blacktriangleright$  Unterschiede nennen
Der Graph der Funktion $f$ ist achsensymmetrisch, wobei der Graph der Funktion $g$ keine Symmetrie aufweist.
Außerdem besitzt der Graph der Funktion $f$ vier und der Graph der Funktion $g$ insgesamt drei Nullstellen.
#nullstelle#symmetrie
d)
$\blacktriangleright$  Tangente einzeichnen
Für die Tangente $t$ folgt:
Mit Hilfsmitteln
Abb. 2: Tangente $t$
Mit Hilfsmitteln
Abb. 2: Tangente $t$
$\blacktriangleright$  Zweite Tangente nachweisen
Für die gemeinsamen Punkte der Tangente $t$ und dem Graphen der Funktion $g$ folgt durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen:
$\begin{array}[t]{rll} t(x)&=& g(x) \\[5pt] -\dfrac{3}{2} \cdot x -2&=& \dfrac{1}{4} \cdot x^4 -2 \cdot x^2 - \dfrac{3}{2} \cdot x +2 &\quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{3}{2} \cdot x +2\\[5pt] 0&=& \dfrac{1}{4} \cdot x^4 -2 \cdot x^2 +4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Substitution: }z=x^2\\[5pt] 0&=& \dfrac{1}{4} \cdot z^2 -2 \cdot z +4 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 4\\[5pt] 0&=& z^2 -8 \cdot z +16 &\quad \scriptsize \mid\; pq-\text{Formel}\\[5pt] z_{1,2}&=& 4 \pm \sqrt{(-4)^2-16} \\[5pt] &=& 4 \pm \sqrt{16-16} \\[5pt] z&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Resubstitution: }z=x^2\\[5pt] x^2&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] x_{1,2}&=& \pm \sqrt{4} \\[5pt] x_1&=& 2\\[5pt] x_2&=& -2\\[5pt] \end{array}$
$x_{1,2}=\dotsc$
Dadurch besitzen die Tangente $t$ und der Graph der Funktion $g$ an den Stellen $x_1=2$ und $x_2=-2$ einen gemeinsamen Punkt.
Für eine Tangente an der Stelle $x=2$ muss außerdem gelten, dass die Steigung der Tangente gleich der Steigung des Graphen von $g$ an der Stelle $x_2=2$ ist. Für die Ableitungsfunktion der Funktion $g$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& \dfrac{1}{4} \cdot x^4 -2 \cdot x^2 - \dfrac{3}{2} \cdot x +2 \\[5pt] g'(x)&=& x^3 -4 \cdot x - \dfrac{3}{2} \\[5pt] \end{array}$
$ g'(x)=\dotsc$
Damit folgt für $g'(2)$:
$\begin{array}[t]{rll} g'(2)&=& 2^3 -4 \cdot 2 - \dfrac{3}{2} \\[5pt] &=& - \dfrac{3}{2} \\[5pt] \end{array}$
Somit gilt, dass die Steigung des Graphen der Funktion $g$ an der Stelle $x_2=2$ gleich der Steigung der Tangenten ist und deshalb ist die Tangente $t$ in dem Punkt $Q(2 \mid g(2))$ auch eine Tangente an den Graphen der Funktion $g.$
e)
$\blacktriangleright$  Verschiebung angeben
Die Steigung der Tangente ist durch $-\dfrac{3}{2}$ gegeben. Da der Graph der Funktion $g$ um $2$ Einheiten nach rechts verschoben wird, muss er um $3$ Einheiten nach unten verschoben werden, damit die Verschiebung entlang der Tangente verläuft.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Durchschnittsalter bestimmen
Für $a(0)$ gilt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} a(0)&=& -0,00011 \cdot 0^3 +0,0186 \cdot 0^2 -0,538 \cdot 0 +24 \\[5pt] &=& 24 \end{array}$
$a(0)=24 $
Somit beträgt das Durchschnittsalter der Bevölkerung für das Jahr 1950 genau $24$ Jahre.
$\blacktriangleright$  Prognosewert bestimmen
Für $a(80)$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} a(80)&=& -0,00011 \cdot (80)^3 +0,0186 \cdot (80)^2 -0,538 \cdot 80 +24 \\[5pt] &\approx& 43,68 \end{array}$
$a(80) \approx 43,68 $
Der Prognosewert für das Jahr 2030 beträgt ungefähr $43,68$ Jahre.
#funktionswert
b)
$\blacktriangleright$  Niedrigstes Durchschnittsalter bestimmen
Es ist das lokale Minimum des Graphen von $a$ gesucht. Für die Ableitungsfunktion der Funktion $a$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} a(t)&=& -0,00011 \cdot t^3 +0,0186 \cdot t^2 -0,538 \cdot t +24 \\[5pt] a'(t)&=& -0,00033 \cdot t^2 +0,0372 \cdot t -0,538 \\[5pt] \end{array}$
$a'(t)= \dotsc $
Mit der notwendigen Bedingung $a'(t)=0$ für eine lokale Extremstelle folgt:
$\begin{array}[t]{rll} a'(t)&=& 0\\[5pt] -0,00033 \cdot t^2 +0,0372 \cdot t -0,538 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,00033) \\[5pt] t^2 -112,73 \cdot t +1630,30 &\approx& 0 &\quad \scriptsize \mid\; pq-\text{Formel}\\[5pt] t_{1,2}&\approx& 56,37 \pm \sqrt{(-56,37)^2 -16,30} \\[5pt] &\approx& 56,37 \pm \sqrt{(-56,37)^2 -1630,30} \\[5pt] t_1&\approx& 95,71 \\[5pt] t_2&\approx& 17,03 \\[5pt] \end{array}$
$t_{1,2}=\dotsc $
Hierbei gilt, dass $t_1 \approx 95,71$ nicht in dem Intervall $[0;80]$ liegt und somit keine Lösung für das Problem sein kann.
Außerdem gilt:
$\begin{array}[t]{rll} a'(0)&=& -0,00033 \cdot 0^2 +0,0372 \cdot 0 -0,538 \\[5pt] &=& -0,538 \quad < 0 \end{array}$
$a'(0)=-0,538$
$\begin{array}[t]{rll} a'(40)&=& -0,00033 \cdot 40^2 +0,0372 \cdot 40 -0,538 \\[5pt] &\approx & 0,42 \quad > 0 \end{array}$
$a'(40) \approx 0,42 $
Somit besitzt der Graph der Funktion $a'$ an der Stelle $t_2 \approx 17,03$ einen Vorzeichenwechsel von negativen zu positiven Funktionswerten und damit ist das hinreichende Kriterium für eine lokale Minimalstelle erfüllt.
Der Graph der Funktion $a$ besitzt damit an der Stelle $t_2 \approx 17,03$ eine lokale Minimalstelle und es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} a(17,03)&\approx & -0,00011 \cdot 17,03^3 +0,0186 \cdot 17,03^2 -0,538 \cdot 17,03 +24\\[5pt] &\approx& 19,69 \end{array}$
$a(17,03) \approx 19,69$
Somit beträgt das niedrigste Durchschnittsalter der Bevölkerung im Zeitraum von 1950 bis 2030 ungefähr $19,69$ Jahre.
#hinreichendeskriteriumfürextrema#notwendigeskriteriumfürextrema
c)
$\blacktriangleright$  Durchschnittsalter bestimmen
Durch Einzeichnen der Tangente folgt:
Mit Hilfsmitteln
Abb. 3: Tangente
Mit Hilfsmitteln
Abb. 3: Tangente
Anhand der Zeichnung beträgt das Durchschnittsalter der Bevölkerung im Jahr 2050$(t=100)$ ungefähr $50$ Jahre.
d)
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
Die Aussage (1) ist falsch, da die Änderungsrate des Durchschnittsalters der Bevölkerung auch negative Funktionswerte annimmt und somit das Durchschnittsalter der Bevölkerung abnimmt.
$\blacktriangleright$  Graph einzeichnen
Für den Graphen der Ableitungsfunktion $a'$ folgt:
Mit Hilfsmitteln
Abb. 4: Graph der Ableitungsfunktion $a'$
Mit Hilfsmitteln
Abb. 4: Graph der Ableitungsfunktion $a'$
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
Die Aussage $(3)$ ist wahr, da die Änderungsrate des Durchschnittsalters der Bevölkerung im Jahr 2020$(t=70)$ für das Land $A$ größer ist, als für das Land $B.$
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