Prüfungsteil B: Mit Hilfsmitteln

Aufgabe 3: Analysis

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$f(x)= x^4-8\cdot x^3 +6\cdot x^2 +40\cdot x,$ $x\in \mathbb{R}.$

Der Graph der Funktion $f$ ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Abbildung

Ermittle die in der Abbildung markierte Nullstelle $a$ auf zwei Nachkommastellen genau.

(2 Punkte)

Weise rechnerisch nach, dass $x=2$ eine lokale Maximalstelle der Funktion $f$ ist.

(6 Punkte)

(1)

Zeichne die Sekante $s_1$ durch die Punkte $H_1(2\mid 56)$ und $P_1(4\mid 0)$ des Graphen von $f$ in die Abbildung ein und berechne die Steigung von $s_1.$

(2)

Bestimme rechnerisch eine Gleichung der Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P_1(4\mid 0).$
[Zur Kontrolle: Die Steigung von $t$ ist $m_t=-40.$ ]

(3)

Zeichne die Tangente $t$ in die Abbildung ein.

(4)

Die Steigung einer Sekante $s_2$ durch den Punkt $P_1(4\mid 0)$ und einen weiteren Punkt $P_2$ des Graphen von $f$ soll sich um weniger als $0,1$ von der Steigung der Tangente $t$ unterscheiden.
Ermittle durch systematisches Probieren die Koordinaten eines Punktes $P_2$ so, dass diese Bedingung erfüllt ist.

(3+4+2+3 Punkte)

Der Graph der Funktion $f$ wird nacheinander folgenden Transformationen unterzogen:

Der Graph wird in Richtung der $y$ -Achse so gestaucht, dass der gestauchte Graph den lokalen Hochpunkt $H_2(2\mid 28)$ besitzt.
Im Anschluss wird der gestauchte Graph um drei Einheiten nach rechts verschoben.

Die Funktion, die zum so veränderten Graphen gehört, wird mit $g$ bezeichnet.
Gib eine Gleichung von $g$ an.
[Hinweis: Eine Vereinfachung der Gleichung von $g$ ist nicht erforderlich.]

(4 Punkte)

Aufgabe 4: Analysis

Aufgrund ergiebiger Regenfälle wurde in der zweiten Oktoberhälfte 2016 am Rhein ein Ansteigen des Wassers beobachtet.
Am 20.10.2016 um 0:00 Uhr wurde an der Messstelle in Bonn ein Wasserstand^[1] von $130\,\text{cm}$ gemessen. Das Wasser begann dann zu steigen und nach einiger Zeit zunächst wieder zu sinken.
Eine Schülerin verwendet die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit der Funktionsgleichung

$h(t)= -\frac{80}{27}\cdot t^3 + \frac{40}{3}\cdot t^2 +130$

für $0\leq t\leq 3,5\, ,$ um den Wasserstand des Rheins an der Messstelle in Bonn im Zeitraum vom 20.10.2016, 0:00 Uhr, bis zum 23.10.2016, 12:00 Uhr, zu modellieren.
Dabei entspricht z.B. $t=0$ der Zeit 0:00 Uhr am 20.10.2016, $t=1$ der Zeit 0:00 Uhr am 21.10.2016 und $t=3,5$ der Zeit 12:00 Uhr am 23.10.2016. $h(t)$ ist der Wasserstand des Rheins an der Messstelle in Bonn in $\text{cm}.$

Der Graph von $h$ ist in der Abbildung 2 dargestellt.

Abbildung 2

Mit der Funktion $h$ ist es möglich, die Aufgaben a) bis d) zu bearbeiten.

Berechne den Wasserstand des Rheins an der Messstelle in Bonn am 21.10.2016 um 12:00 Uhr.

(3 Punkte)

Berechne $\dfrac{h(3)-h(1)}{2}$ und interpretiere den berechneten Wert im Sachzusammenhang.

(4 Punkte)

Ermittle rechnerisch den niedrigsten und höchsten Wasserstand im betrachteten Zeitraum.

(9 Punkte)

Bestimme rechnerisch, wie lange der Wasserstand im betrachteten Zeitraum zwischen $140\,\text{cm}$ und $150\,\text{cm}$ lag.

(4 Punkte)

In der folgenden Aufgabe e) wird der Wasserstand in einem über den 23.10.2016 hinausgehenden Zeitraum betrachtet.

In der folgenden Abbildung 3 ist der Wasserstand im Zeitraum vom 20.10.2016, 0:00 Uhr $(t=0),$ bis zum 23.10.2016, 12:00 Uhr $(t=3,5),$ in einem erweiterten Koordinatensystem dargestellt.
Die Abbildung 4 zeigt die momentane Änderungsrate des Wasserstandes im verlängerten Zeitraum vom 20.10.2016, 0:00 Uhr, bis zum 28.10.2016, 12:00 Uhr $(t=8,5).$

Abbildung 3

Abbildung 4

Skizziere, passend zu der in Abbildung 4 gegebenen momentanen Änderungsrate, in Abbildung 3 den weiteren Verlauf des Wasserstandes bis zum 28.10.2016, 12:00 Uhr.

(4 Punkte)

^[1] Der Wasserstand ist die Höhe des Wassers an einer Messstelle (Pegel) und entspricht nicht der Wassertiefe des Flusses.

Lösung 3

Die Gleichung $f(x)=0$ kann mit dem solve-Befehl des CAS gelöst werden. Bei $a$ handelt es sich um die Lösung, die zwischen $-2$ und $-1$ liegt.

Mit dem CAS ergibt sich: $a\approx -1,74$

1. Notwendiges Kriterium für lokale Extremstelle überprüfen

Für eine lokale Maximalstelle $x$ von $f$ muss das notwendige Kriterium $\(f$ erfüllt sein.

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Einsetzen von $x=2$ ergibt:

$\(f$

2. Vorzeichenwechselkriterium überprüfen

Um sicherzugehen, dass es sich um eine Maximalstelle und nicht um eine Minimalstelle handelt, muss das Vorzeichenwechselkriterium überprüft werden:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Der Graph von $f$ hat also unmittelbar vor der Stelle $x=2$ eine positive Steigung und unmittelbar danach eine negative. Der Graph steigt also zunächst und fällt nach der Stelle $x=2.$ Daher handelt es sich bei $x=2$ um eine lokale Maximalstelle.

(1)

Prüfungsteil B: Mit Hilfsmitteln Koordinatensystem Sekante

$H_1$ und $P_1$ in den Differenzenquotienten einsetzen, um die Steigung $m_1$ zu berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} m_1&=& \dfrac{y_{P_1} -y_{H_1}}{x_{P_1} -x_{H_1}} \\[5pt] &=& \dfrac{0-56}{4-2} \\[5pt] &=& -28 \end{array}$

Die Steigung von $s_1$ ist $m_1= -28.$

(2)

Gleichung einer Tangente $t: y = m_t\cdot x +b_t.$

$\(\begin{array}[t]{rll} m_t&=& f$

Es gilt: $t: y = -40\cdot x +b_t$

Punkt $P_1$ in Tangentengleichung einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} t:y&=& -40\cdot x +b_t \quad \scriptsize \mid\; P_1(4\mid 0)\\[5pt] 0&=& -40\cdot 4 +b_t \\[5pt] 0&=& -160 + b_t \quad \scriptsize \mid\; +160 \\[5pt] 160&=& b_t \end{array}$

Eine Gleichung der Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P_1$ lautet also:

$t:\; y = -40\cdot x +160$

(3)

Prüfungsteil B: Mit Hilfsmitteln Koordinatensystem Tangente

(4)

Je näher $P_2$ an $P_1$ liegt, desto näher kommt die Steigung der Sekante durch $P_1$ und $P_2$ an die Steigung der Tangente in $P_1.$

Beispielsweise kann mit der Stelle $x_P = 3,9$ gestartet werden:

$f(3,9) = 4,0521$

Die Steigung der Sekante in diesem Fall:

$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{0 - 4,0521}{4-3.9}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& -40,521 \end{array}$

Da die Steigung noch zu groß ist, handelt es sich um einen Wert zwischen $x=3,9$ und $x=4,$ beispielsweise $x = 3,99:$

$f(3,99)\approx 0,4006$

Die Steigung der Sekante in diesem Fall:

$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{0-0,4006}{4-3,99}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& -40,06 \end{array}$

Hier ist die Abweichung zu $m_t=-40$ weniger als 0,1.
Ein Punkt, der die Bedingung erfüllt, ist also $P_2(3,99 \mid 0,4006).$

1. Schritt: Gleichung des gestauchten Graphen bestimmen

Eine Stauchung oder Streckung in $y$ -Richtung erfolgt durch einen Faktor $a\in \mathbb{R}.$ Die Gleichung der Funktion $g_1$ zum gestauchten Graphen von $f$ lautet also:

$g_1 (x)= a\cdot f(x).$

$a$ bestimmen, sodass $g_1(2)=28$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} 28&=& g_1(2) &\quad \scriptsize \\[5pt] 28&=& a\cdot f(2) \\[5pt] 28&=& a\cdot 56 \quad \scriptsize \mid\; :56\\[5pt] \dfrac{1}{2}&=& a \end{array}$

Eine Gleichung zum gestauchten Graphen lautet also

$\begin{array}[t]{rll} g_1(x)&=& \dfrac{1}{2}\cdot f(x)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot (x^4-8x^3+6x^2+40x ) \end{array}$

2. Schritt: Gleichung des verschobenen Graphen angeben

Der Graph von $g$ entsteht nun durch Verschiebung um $3$ Einheiten in $x$ -Richtung:

Vollständiges Ergebnis anzeigen

$g(x)=\dfrac{1}{2}\cdot f(x-3)$

Lösung 4

Der Wasserstand am 21.10.2016 um 12:00 Uhr wird durch $h(1,5)$ beschrieben:

$\begin{array}[t]{rll} h(1,5)&=& -\dfrac{80}{27}\cdot 1,5^3 +\dfrac{40}{3}\cdot 1,5 ^2 +130 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 150 \end{array}$

Am 21.10.2016 um 12:00 Uhr betrug der Wasserstand des Rheins an der Messstelle in Bonn $150\,\text{cm}.$

Rechenweg anzeigen

$\dfrac{h(3) -h(1)}{2}= \dfrac{400}{27} \approx 14,8$

Der Wert ist der Differenzenquotient aus den beiden Punkten $(1\mid h(1))$ und $(3\mid h(3))$ und entspricht daher der Steigung der Sekante durch diese beiden Punkte.
Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass der Wasserstand des Rheins an der Messtelle in Bonn zwischen dem $21.10.2016$ um 0:00 Uhr und dem 23.10.2016 um 0:00 Uhr um durchschnittlich $14,8\,\text{cm}$ pro Tag gestiegen ist.

1. Schritt: Notwendiges Kriterium für lokale Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} h(t)&=& -\dfrac{80}{27}\cdot t^3 +\dfrac{40}{3}\cdot t^2 +130 \\[5pt] h$

Als Lösung der Gleichung $\(h$ liefert der solve-Befehl des CAS die Nullstellen $t_1=0$ und $t_2=3.$

2. Schritt: Vorzeichenwechselkriterium überprüfen

$\(\begin{array}[t]{rll} h$

An der Stelle $t_2=3$ liegt eine lokale Maximalstelle vor. Da $t_1=0$ am Rand des Definitionsbereich liegt, muss diese Stelle separat überprüft werden.

3. Schritt: Funktionswerte vergleichen

Betrachtet wird der Bereich $0\leq t\leq 3,5.$ Den höchsten und den niedrigsten Funktionswert kann $h$ entweder in den beiden möglichen lokalen Extremstellen oder in den Intervallrändern annehmen.

Funktionswerte in diesen Stellen vergleichen:

$\begin{array}[t]{rll} h(0)&=& -\dfrac{80}{27}\cdot 0^3 +\dfrac{40}{3}\cdot 0^2 +130 \\[5pt] &=& 130 \\[10pt] h(3)&=& -\dfrac{80}{27}\cdot 3^3 +\dfrac{40}{3}\cdot 3^2 +130 \\[5pt] &=& 170 \\[10pt] h(3,5)&=& -\dfrac{80}{27}\cdot 3,5^3 +\dfrac{40}{3}\cdot 3,5^2 +130 \\[5pt] &\approx& 166,3 \end{array}$

Da zwischen den Rändern des Definitionsbereichs nur ein lokales Maximum liegt, muss das globale Minimum der Funktion auf dem Rand liegen. Der höchste Wasserstand im betrachteten Zeitraum ist $170\,\text{cm},$ der niedrigste ist $130\,\text{cm}.$

Es müssen die Stellen im betrachteten Bereich berechnet werden, für die $h(t)= 140$ bzw. $h(t)= 150$ gilt. Dazu kannst der solve-Befehl des CAS verwendet werden.

Es ergeben sich folgende Lösungen im betrachteten Bereich:

$\begin{array}[t]{rll} h(0,98)&\approx& 140 \\[5pt] h(1,5)&=& 150 \end{array}$

$(1,5-0,98)\cdot 24\,\text{h} \approx 12,5 \,\text{h}$

Der Wasserstand lag also ca. einen halben Tag zwischen $140\,\text{cm}$ und $150\,\text{cm}.$