Prüfungsteil B: Mit Hilfsmitteln

Aufgabe 3

Gegeben ist die ganzrationale Funktion $f$ mit $f(x)=-0,16 \cdot x^3+0,8 \cdot x^2 \, , \, x \in \mathbb{R}.$

(1)

Begründe mit Hilfe des Funktionsterms, dass der Graph von $f$ weder achsensymmetrisch zur $y$ -Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

(2)

Gib $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ an.

(3)

Berechne die Koordinaten der lokalen Extrempunkte und die Art der lokalen Extrempunkte des Graphen von $f.$

(4)

Ermittle die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen von $f.$

(1 + 1 + 5 + 2 Punkte)

(1)

Bei der Lösung einer Aufgabenstellung zur gegebenen Funktion $f$ wurden Berechnungen durchgeführt, die im Folgenden dokumentiert sind:

$\(\begin{array}{rll} & \left. \begin{array}{l} &\bullet& t(x)=m\cdot x+b \\[5pt] &\bullet& m=f$

(i)

Gib eine zu den angegebenen Berechnungen passende Aufgabenstellung an.

(ii)

Erläutere den dargestellten Lösungsweg.

(2)

Der Graph von $t$ mit $t(x)=1,12\cdot x-0,48$ ist eine Gerade.

Berechne den Steigungswinkel $\alpha$ dieser Gerade.

(5 + 2 Punkte)

Für jedes $a \in \mathbb{R}^{+}$ wird durch die Gleichung $f_a(x)=\frac{1}{a} \cdot f(a \cdot x), \, x \in \mathbb{R},$ eine Funktion $f_a$ festgelegt.
Es gilt $f_1(x)=f(x).$ Für $a \neq 1$ geht der Graph von $f_a$ durch Transformationen aus dem Graphen von $f$ hervor.

(1)

Entscheide, ob sich der lokale Hochpunkt des Graphen von $f_a$ bei Vergrößerung von $a$ auf den Ursprung des Koordinatensystems zubewegt oder vom Ursprung des Koordinatensystems wegbewegt.

(2)

In den folgenden Abbildungen 1 bis 3 sind Möglichkeiten für den Weg dargestellt, auf dem sich der lokale Hochpunkt von $f_a$ bewegt, wenn $a$ vergrößert wird.
Genau eine dieser drei Möglichkeiten ist zutreffend.

Drei Diagramme mit unterschiedlichen Funktionsverläufen, beschriftet als Abbildung 1, 2 und 3.

Gib an, in welcher Abbildung die zutreffende Möglichkeit dargestellt ist.

[Tipp: Systematisches Probieren.]

(1 + 1 Punkte)

Aufgabe 4

St. Michaels Mount ist eine Insel an der Küste vor Cornwall (Großbritannien). Durch Ebbe und Flut ändert sich regelmäßig der Wasserstand im Meer. Bei niedrigen Wasserständen ist St. Michaels Mount vom Festland aus über einen Landweg erreichbar. Bei hohen Wasserständen hingegen gibt es keine Landverbindung. $^1$

Eine Insel mit einem Schloss, umgeben von Wasser und Land, mit einigen Menschen auf einem Weg.

Abbildung:

St Michael's Mount - geograph.org.uk - 6443144, CC BY-SA 2.0

Der Wasserstand an einer Messstation bei St. Michaels Mount zwischen 7:00 Uhr und 19:00 Uhr an einem bestimmten Tag kann für $7\leq t\leq 19$ näherungsweise mit der folgenden Funktion $f$ modelliert werden:

$f(t)=-0,0029\cdot t^4+0,146\cdot t^3-2,532\cdot t^2+17,48\cdot t-36,1,$ $\, t \in \mathbb{R}.$

Dabei steht $t$ für die Uhrzeit in Stunden und $f(t)$ für den Wasserstand in Metern $(\text{m}).$
$f(8)$ beschreibt z. B. den Wasserstand um 8:00 Uhr.

Berechne den Wasserstand um 14:30 Uhr.

(2 Punkte)

Die Insel St. Michaels Mount kann über einen gepflasterten Weg erreicht werden, der bei Wasserständen unter $2\;\text{m}$ begehbar ist.

Ermittle die Länge des Zeitraums, in dem die Insel zu Fuß erreicht werden kann.

(3 Punkte)

Es gilt: $\frac{f(18)-f(13)}{18-13}\approx 0,81.$

Interpretiere den Wert $0,81$ im Sachzusammenhang.

(2 Punkte)

(1)

Ermittle die Zeitpunkte, zu denen der niedrigste und der höchste Wasserstand vorliegen.

(2)

Berechne, um wie viel Meter sich der niedrigste und der höchste Wasserstand unterscheiden.

(3 + 1 Punkte)

Ermittle rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem das Wasser am schnellsten steigt.

(5 Punkte)

Die Zeitpunkte, zu denen der höchste bzw. niedrigste Wasserstand gemessen werden, ändern sich von Tag zu Tag.

An einem anderen Tag liegt um 10:00 Uhr ein Wasserstand von $3,8\;\text{m}$ vor. Der Wasserstand zwischen 7:00 und 19:00 Uhr an diesem Tag soll für $7\leq t\leq 19$ mit einer Funktion $g$ mit

$g(t)=f(t-a), \, t \in \mathbb{R}$ und $a \in [0;2]$

modelliert werden.

Berechne den passenden Wert für $a.$

(2 Punkte)

^[1]Der Wasserstand ist die Höhe des Wassers über einem festgelegten Meeresniveau.

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Lösung 3

(1)

Der Graph ist nur dann achsensymmetrisch zur $y$ -Achse, wenn die folgende Gleichung erfüllt ist
$f(-x)=f(x)$

$\begin{array}[t]{rlll} f(-x)&=&-0,16(-x)^3+0,8(-x)^2 \\[5pt] &=&0,16x^3+0,8x^2 \\[5pt] &\neq&f(x) \end{array}$

Der Graph ist nur dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn die folgende Gleichung erfüllt ist:
$-f(x)= f(-x)$

$\begin{array}[t]{rlll} -f(x)&=&-(-0,16x^3+0,8x^2)\\[5pt] &=&0,16x^3-0,8x^2 \\[5pt] &\neq& f(-x) \end{array}$

Somit ist der Graph von $f$ weder achsensymmetrisch zur $y$ -Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

(2)

Bei Polynomen dominiert der höchste Exponent.
Hier ist das: $-0,16x^3.$

Für $x \to +\infty$ gilt: $x^3\to +\infty$ und wegen des negativen Vorfaktors $-0,16$ strebt der Term nach $-\infty.$

$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$

(3)

Lokale Extrempunkte berechnen

1. Ableitung
$\(f$

1. Extremstellen $\(\boldsymbol{(f$ berechnen

$\(\begin{array}[t]{rlll} f$

Mit dem Satz des Nullprodukts folgt $x_1=0.$ Für die zweite Nullstelle gilt:
$\begin{array}[t]{rlll} -0,48x+1,6&=&0 &\mid\;-1,6 \\[5pt] -0,48x&=&-1,6 &\mid\;:(-0,48) \\[5pt] x_2&=&\dfrac{10}{3} \end{array}$

2. Art der Extrempunkte $\(\boldsymbol{(f$ bestimmen

2. Ableitung $\(f$

$x$ -Werte in $\(f$ einsetzen:

$\(f$
Bei $x=0$ ist ein lokales Minimum.
$f(0)=-0,16\cdot (0)^3+0,8\cdot (0)^2=0$
Also ist der lokale Tiefpunkt bei $T(0\mid 0).$

$\(f$
Bei $x=\tfrac{10}{3}$ ist ein lokales Maximum.
$f\left(\dfrac{10}{3}\right)=-0,16\cdot \left(\dfrac{10}{3}\right)^3+0,8\cdot \left(\dfrac{10}{3}\right)^2=\dfrac{80}{27}$
Also ist der lokale Hochpunkt bei $H\left(\tfrac{10}{3}\mid \tfrac{80}{27}\right).$

(4)

Wendepunkt berechnen

Notwendige Bedingung für Wendestellen: $\(f$

$\(\begin{array}[t]{rlll} f$

Wendestelle überprüfen mit der hinreichenden Bedingung: $\(f$

$\(f$

Wendepunkt bestimmen:

$f\left(\frac{5}{3}\right)=-0,16\cdot \left(\frac{5}{3}\right)^3+0,8\cdot (\frac{5}{3})^2=\frac{40}{27}$

Der Wendepunkt ist bei $W\left(\tfrac{5}{3} \bigg\vert \tfrac{40}{27}\right).$

(1)

(i)

Mögliche Aufgabenstellung:
Bestimme die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt mit der $x$ -Koordinate $x=1$ und berechne die weitere Schnittstelle dieser Tangente mit dem Graphen von $f.$

(ii)

Erläuterung des Lösungswegs

1. Steigung der Tangente bestimmen:
$\(m=f$

2. Achsenabschnitt $b$ bestimmen:
$f(1)=-0,16+0,8=0,64$

In $\boldsymbol{t(x)=m\cdot x+b}$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rlll} 1,12\cdot 1+b&=&0,64 &\mid\;-1,12 \\[5pt] b&=&-0,48 \end{array}$

Daraus ergibt sich die Tangentengleichung:
$t(x)=1,12x-0,48$

3. Schnittpunkte zwischen der Tangente und dem Graph: $t(x)=f(x)$
$-0,16x^3+0,8x^2-1,12x+0,48=0$

Umgeformt: $-0,16(x-1)^2(x-3)=0$
$x_1=1$ und $x_2=3$

Die Schnittpunkte zwischen der Tangente und dem Graphen sind bei $x_1=1$ und $x_2=3.$

(2)

Steigungswinkel $\alpha$ mit $\alpha= \arctan(m)$ berechnen:
$m=1,12$
$\alpha= \arctan(1,12)\approx 48^\circ$

Der Steigungswinkel von $\alpha$ beträgt etwa $48^\circ.$

(1)

Bewegung des lokalen Hochpunkts

Der ursprüngliche Hochpunkt der Funktion $f$ ist $H\left(\tfrac{10}{3}\bigg \vert \tfrac{80}{27}\right).$

Die Transformation $f_a(x) = \tfrac{1}{a} \cdot f(a \cdot x)$ beschreibt eine zentrische Streckung des Graphen von $f(x)$ vom Ursprung aus. Der Streckfaktor für diese Veränderung ist $k = \tfrac{1}{a}.$ Das bedeutet, dass jeder Punkt $(x_H, y_H)$ auf dem Graphen von $f$ zu einem neuen Punkt $\((x$ auf dem Graphen von $f_a$ wird, indem seine Koordinaten mit dem Faktor $\tfrac{1}{a}$ multipliziert werden:

$\bullet$ Die neue $x$ -Koordinate ist: $\(x$

$\bullet$ Die neue $y$ -Koordinate ist: $\(y$

Wenn $a$ vergrößert wird, wird der Faktor $\tfrac{1}{a}$ kleiner.

Da sich sowohl die $x$ - als auch die $y$ -Koordinate des Hochpunkts bei Vergrößerung von $a$ dem Wert $0$ nähern, bewegt sich der lokale Hochpunkt auf den Ursprung des Koordinatensystems zu.

(2)

Zutreffende Abbildung

Da die $x$ - und $y$ -Koordinaten beide proportional zu $\frac{1}{a}$ sind, ist das Verhältnis $\frac{y_{\text{neu}}}{x_{\text{neu}}}$ konstant.

$\frac{y_{\text{neu}}}{x_{\text{neu}}} = \frac{80/(27a)}{10/(3a)} = \frac{80}{27} \cdot \frac{3}{10} = \frac{8}{9} = \text{konstant}$

Die Bewegung erfolgt daher entlang einer Geraden direkt zum Ursprung.
Die zutreffende Möglichkeit ist in Abbildung 2 dargestellt.

Lösung 4

Berechnung des Wasserstandes um 14:30

$t=14,5$ in $f(t)$ einsetzen:

Rechenweg anzeigen

$f(14,5) \approx 1,91$

Der Wasserstand um 14:30 Uhr beträgt etwa $1,9$ Meter.

Dauer, in der die Insel zu Fuß erreichbar ist

Die Insel ist zu Fuß erreichbar, wenn gilt:
$f(t)\lt2$

Zeitpunkte $t_1$ und $t_2$ finden, für die $f(t) \lt 2$ gilt:

$-0,0029 \cdot t^4 + 0,146 \cdot t^3 - 2,532 \cdot t^2 + 17,48 \cdot t - 36,1 = 2$

$-0,0029 \cdot t^4 + 0,146 \cdot t^3 - 2,532 \cdot t^2 + 17,48 \cdot t - 38,1 = 0$

Der Taschenrechner liefert:
$t_1\approx 10,78$ Stunden und $t_2\approx 16,88$ Stunden

Die Insel ist zu Fuß erreichbar, wenn $t_1 \leq t \leq t_2,$ da das Intervall $f(t)\lt 2$ in diesem Bereich liegt.

Berechnung des Zeitraums $\Delta t:$

$\Delta t = t_2 - t_1 \approx 16,878 - 10,775 = 6,103 \;\text{ Stunden}$

Umrechnung der $0,103$ Stunden in Minuten:
$0,103 \cdot 60 \;\text{ Minuten} \approx 6,18 \;\text{ Minuten}$

Die Insel ist zu Fuß erreichbar für eine Zeitdauer von etwa $6$ Stunden und $6$ Minuten.

Interpretation des Wertes $\boldsymbol{0,81}$

Der Ausdruck $\frac{f(18) - f(13)}{18 - 13}$ stellt den Differenzenquotienten der Funktion $f(t)$ im Intervall $[13, 18]$ dar.
Der Differenzenquotient entspricht der mittleren Änderungsrate (oder der mittleren Steigung) der Funktion über dieses Intervall.

Der Wert $0,81$ bedeutet, dass der Wasserstand zwischen 13:00 Uhr und 18:00 Uhr im Durchschnitt um etwa $0,81$ Meter pro Stunde gestiegen ist. Es handelt sich um die mittlere Steiggeschwindigkeit des Wassers in diesem Zeitraum.

(1)

Höchster und niedrigster Wasserstand

Der niedrigste und höchste Wasserstand liegen an den Extrempunkten der Funktion $f(t)$ im Intervall $7 \le t \le 19.$

Bestimmung der Zeitpunkte

1. Ableitung $\(f$

$\(f$

$\(f$ setzen:

$\(f$

Der Taschenrechner liefert:
$t_1 \approx 5,23$ (liegt außerhalb des Intervalls $[7, 19],$ irrelevant $) \, t_2 \approx 11,26$ (lokales Minimum) $\, t_3 \approx 20,38$ (liegt außerhalb des Intervalls $[7, 19],$ irrelevant).

Wasserstände berechnen:

Rechenweg anzeigen

$\mathbf{f(11,26) \approx 0,42 \text{ m} \quad (\text{Minimum})}$

Rechenweg anzeigen

$\mathbf{f(7) \approx 7,54 \text{ m}}$

Rechenweg anzeigen

$\mathbf{f(19) \approx 7,94 \text{ m} \quad (\text{Maximum})}$

Der Wasserstand ist um 11:16 Uhr am niedrigsten und um 19:00 Uhr am höchsten.

(2)

Unterschied zwischen höchstem und niedrigstem Wasserstand

$\Delta f = f_{\text{max}} - f_{\text{min}} \approx 7,935 \text{ m} - 0,422 \;\text{ m} = 7,513 \;\text{ m}$

Der niedrigste und der höchste Wasserstand unterscheiden sich um etwa $7,51$ Meter.

Zeitpunkt des schnellsten Wasseranstiegs

1. Ableitung bilden (Steiggeschwindigkeit)

$\(f$

2. Ableitung $\(\boldsymbol{f$ bilden (Änderung der Steiggeschwindigkeit):

$\(f$

Nullsetzen der 2. Ableitung ( $\(f$ ):

Der Taschenrechner liefert die Lösung:
$t_1\approx 8,99$ Stunden (Lokales Maximum von $\(f$ )und $t_2\approx 16,18$ Stunden (Lokales Minimum von $\(f$ )

Vergleich der Steiggeschwindigkeiten
Die maximale Steiggeschwindigkeit kann an der lokalen Wendestelle $t_1 \approx 8,99$ oder an den Randpunkten $t=7$ und $t=19$ liegen. Wir setzen diese Werte in $\(f$ ein: