Prüfungsteil B: Mit Hilfsmitteln

Aufgabe 3

Gegeben ist die ganzrationale Funktion $f$ mit $f(x)=-0,16 \cdot x^3+0,8 \cdot x^2 \, , \, x \in \mathbb{R}.$

(1)

Begründe mit Hilfe des Funktionsterms, dass der Graph von $f$ weder achsensymmetrisch zur $y$ -Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

(2)

Gib $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ an.

(3)

Berechne die Koordinaten der lokalen Extrempunkte und die Art der lokalen Extrempunkte des Graphen von $f.$

(4)

Ermittle die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen von $f.$

(1 + 1 + 5 + 2 Punkte)

(1)

Bei der Lösung einer Aufgabenstellung zur gegebenen Funktion $f$ wurden Berechnungen durchgeführt, die im Folgenden dokumentiert sind:

$\(\begin{array}{rll} & \left. \begin{array}{l} &\bullet& t(x)=m\cdot x+b \\[5pt] &\bullet& m=f$

(i)

Gib eine zu den angegebenen Berechnungen passende Aufgabenstellung an.

(ii)

Erläutere den dargestellten Lösungsweg.

(2)

Der Graph von $t$ mit $t(x)=1,12\cdot x-0,48$ ist eine Gerade.

Berechne den Steigungswinkel $\alpha$ dieser Gerade.

(5 + 2 Punkte)

Für jedes $a \in \mathbb{R}^{+}$ wird durch die Gleichung $f_a(x)=\frac{1}{a} \cdot f(a \cdot x), \, x \in \mathbb{R},$ eine Funktion $f_a$ festgelegt.
Es gilt $f_1(x)=f(x).$ Für $a \neq 1$ geht der Graph von $f_a$ durch Transformationen aus dem Graphen von $f$ hervor.

(1)

Entscheide, ob sich der lokale Hochpunkt des Graphen von $f_a$ bei Vergrößerung von $a$ auf den Ursprung des Koordinatensystems zubewegt oder vom Ursprung des Koordinatensystems wegbewegt.

(2)

In den folgenden Abbildungen 1 bis 3 sind Möglichkeiten für den Weg dargestellt, auf dem sich der lokale Hochpunkt von $f_a$ bewegt, wenn $a$ vergrößert wird.
Genau eine dieser drei Möglichkeiten ist zutreffend.

Drei Diagramme mit unterschiedlichen Funktionsverläufen, beschriftet als Abbildung 1, 2 und 3.

Gib an, in welcher Abbildung die zutreffende Möglichkeit dargestellt ist.

[Tipp: Systematisches Probieren.]

(1 + 1 Punkte)

Aufgabe 4

St. Michaels Mount ist eine Insel an der Küste vor Cornwall (Großbritannien). Durch Ebbe und Flut ändert sich regelmäßig der Wasserstand im Meer. Bei niedrigen Wasserständen ist St. Michaels Mount vom Festland aus über einen Landweg erreichbar. Bei hohen Wasserständen hingegen gibt es keine Landverbindung. $^1$

Eine Insel mit einem Schloss, umgeben von Wasser und Land, mit einigen Menschen auf einem Weg.

Abbildung:

St Michael's Mount - geograph.org.uk - 6443144, CC BY-SA 2.0

Der Wasserstand an einer Messstation bei St. Michaels Mount zwischen 7:00 Uhr und 19:00 Uhr an einem bestimmten Tag kann für $7\leq t\leq 19$ näherungsweise mit der folgenden Funktion $f$ modelliert werden:

$f(t)=-0,0029\cdot t^4+0,146\cdot t^3-2,532\cdot t^2+17,48\cdot t-36,1,$ $\, t \in \mathbb{R}.$

Dabei steht $t$ für die Uhrzeit in Stunden und $f(t)$ für den Wasserstand in Metern $(\text{m}).$
$f(8)$ beschreibt z. B. den Wasserstand um 8:00 Uhr.

Berechne den Wasserstand um 14:30 Uhr.

(2 Punkte)

Die Insel St. Michaels Mount kann über einen gepflasterten Weg erreicht werden, der bei Wasserständen unter $2\;\text{m}$ begehbar ist.

Ermittle die Länge des Zeitraums, in dem die Insel zu Fuß erreicht werden kann.

(3 Punkte)

Es gilt: $\frac{f(18)-f(13)}{18-13}\approx 0,81.$

Interpretiere den Wert $0,81$ im Sachzusammenhang.

(2 Punkte)

(1)

Ermittle die Zeitpunkte, zu denen der niedrigste und der höchste Wasserstand vorliegen.

(2)

Berechne, um wie viel Meter sich der niedrigste und der höchste Wasserstand unterscheiden.

(3 + 1 Punkte)

Ermittle rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem das Wasser am schnellsten steigt.

(5 Punkte)

Die Zeitpunkte, zu denen der höchste bzw. niedrigste Wasserstand gemessen werden, ändern sich von Tag zu Tag.

An einem anderen Tag liegt um 10:00 Uhr ein Wasserstand von $3,8\;\text{m}$ vor. Der Wasserstand zwischen 7:00 und 19:00 Uhr an diesem Tag soll für $7\leq t\leq 19$ mit einer Funktion $g$ mit

$g(t)=f(t-a), \, t \in \mathbb{R}$ und $a \in [0;2]$

modelliert werden.

Berechne den passenden Wert für $a.$

(2 Punkte)

^[1]Der Wasserstand ist die Höhe des Wassers über einem festgelegten Meeresniveau.

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Lösung 3

(1)

Der Graph ist nur dann achsensymmetrisch zur $y$ -Achse, wenn die folgende Gleichung erfüllt ist:
$f(-x)=f(x).$

$\begin{array}[t]{rlll} f(-x)&=&-0,16(-x)^3+0,8(-x)^2 \\[5pt] &=&0,16x^3+0,8x^2 \\[5pt] &\neq&f(x) \end{array}$

Der Graph ist nur dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn die folgende Gleichung erfüllt ist:
$-f(x)= f(-x)$

$\begin{array}[t]{rlll} -f(x)&=&-(-0,16x^3+0,8x^2)\\[5pt] &=&0,16x^3-0,8x^2 \\[5pt] &\neq& f(-x) \end{array}$

Somit ist der Graph von $f$ weder achsensymmetrisch zur $y$ -Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

(2)

Das Glied mit dem größten Exponenten dominiert das Verhalten der gesamten ganzrationalen Funktion für sehr große oder sehr kleine Werte von $x.$
Hier ist das: $-0,16x^3.$

Für $x \to +\infty$ gilt: $x^3\to +\infty$ und wegen des negativen Vorfaktors $-0,16$ strebt der Term nach $-\infty.$

Damit gilt $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$

(3)

Lokale Extrempunkte berechnen

1. Ableitung bilden:
$\(f$

Auflösen von $\(f$ nach $x$ mit dem CAS liefert:

$\begin{array}[t]{rlll} x_1&=&0 \\[5pt] x_2&=&\dfrac{10}{3} \end{array}$

2. Art der Extrempunkte bestimmen

2. Ableitung bilden:
$\(f$

$x$ -Werte in $\(f$ einsetzen:

$\(f$
Bei $x=0$ ist ein lokales Minimum.

$f(0)=-0,16\cdot (0)^3+0,8\cdot (0)^2=0$
Also ist der lokale Tiefpunkt bei $T(0\mid 0).$

$\(f$
Bei $x=\tfrac{10}{3}$ ist ein lokales Maximum.

$f\left(\dfrac{10}{3}\right)=-0,16\cdot \left(\dfrac{10}{3}\right)^3+0,8\cdot \left(\dfrac{10}{3}\right)^2=\dfrac{80}{27}$
Also ist der lokale Hochpunkt bei $H\left(\tfrac{10}{3}\mid \tfrac{80}{27}\right).$

(4)

Eine grafische Analyse liefert den Wendepunkt $W\left(x_w \mid y_w\right)$ des Graphen von $f$ mit $x_w \approx 1,67$ und $y_w \approx 1,48.$

(1)

(i)

Mögliche Aufgabenstellung:
Bestimme die Gleichung der Tangente an dem Graphen von $f$ an der Stelle $x=1$ und berechne die Stellen der weiteren gemeinsamen Punkten dieser Tangente mit dem Graphen von $f.$

(ii)

$t$ ist eine lineare Funktion, deren Graph die gleiche Steigung besitzt wie der Graph von $f$ an der Stelle $1$ (2. Zeile der Dokumentation) und deren Funktionswert an der Stelle $1$ mit dem Funktionswert von $f$ an dieser Stelle übereinstimmt (3. Zeile der Dokumentation). Der Graph von $t$ ist somit die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(1 \mid f(1)).$
Durch Gleichsetzen der Funktionsterme von $f$ und $t$ werden die Stellen berechnet, an denen gemeinsame Punkte der beiden Graphen vorliegen.

(2)

Steigungswinkel $\alpha$ mit $\alpha= \tan^{-1}(m)$ berechnen:

$m=1,12$

$\alpha= \tan^{-1}(1,12)\approx 48^\circ$

Der Steigungswinkel von $\alpha$ beträgt etwa $48^\circ.$

(1)

Bei Vergrößerung von $a$ bewegt sich der lokale Hochpunkt des Graphen von $f_a$ auf den Ursprung des Koordinatensystems zu.

(2)

Zutreffende Abbildung bestimmen

Da die $x$ - und $y$ -Koordinaten beide proportional zu $\dfrac{1}{a}$ sind, ist das Verhältnis $\(\dfrac{y$ konstant:

$\(\dfrac{y$

Die Bewegung erfolgt daher entlang einer Geraden direkt zum Ursprung.
Die zutreffende Möglichkeit ist in Abbildung 2 dargestellt.

Lösung 4

Berechnung des Wasserstandes um 14:30

$t=14,5$ in $f(t)$ einsetzen:

Rechenweg anzeigen

$f(14,5) \approx 1,91$

Der Wasserstand um 14:30 Uhr beträgt etwa $1,91$ Meter.

Dauer, in der die Insel zu Fuß erreichbar ist

Die Insel ist zu Fuß erreichbar, wenn gilt:
$f(t)\lt2$

Zeitpunkte $t_1$ und $t_2$ finden, für die $f(t) = 2$ gilt:

$\begin{array}[t]{llll} -0,0029 \cdot t^4 + 0,146 \cdot t^3 - 2,532 \cdot t^2 + 17,48 \cdot t - 36,1 = 2 &\mid\; -2 \\ -0,0029 \cdot t^4 + 0,146 \cdot t^3 - 2,532 \cdot t^2 + 17,48 \cdot t - 38,1 = 0 \end{array}$

Der CAS liefert vier Lösungen. Im Intervall $[7, 19]$ liegen:
$t_1\approx 10,56$ Stunden und $t_2\approx 14,61$ Stunden.

Also ist die Insel erreichbar für $10,56\lt t \lt14,61.$

Berechnung der Länge des Zeitraums $\Delta t:$

$\Delta t = t_2 - t_1 \approx 14,61 - 10,56= 4,05\;\text{ Stunden}$

Umrechnung der $0,05$ Stunden in Minuten:
$0,05 \cdot 60 \;\text{ Minuten} = 3 \;\text{ Minuten}$

St. Michaels Mount kann in einem Zeitraum von ungefähr $4$ Stunden und $3$ Minuten zu Fuß erreicht werden.

Interpretation des Wertes $\boldsymbol{0,81}$

Gegeben ist:
$\dfrac{f(18)-f(13)}{18-13}\approx 0,81.$

Das ist die durchschnittliche Änderungsrate des Wasserstands im Zeitraum von 13:00 Uhr bis 18:00 Uhr.
Da der Wert positiv ist, steigt der Wasserstand durchschnittlich.
Im Zeitraum von 13:00 Uhr bis 18:00 Uhr nimmt der Wasserstand durchschnittlich um $0,81\;\text{m}$ pro Stunde zu.

(1)

Höchsten und niedrigsten Wasserstand berechnen

Bestimmung der Extremstellen

1. Ableitung $\(f$ bilden:

$\(f$

$\(f$ setzen:

$\(f$

Der CAS liefert folgende Lösungen, die im Intervall $[7,19]$ liegen:
$t_1\approx 12,6$
$t_2\approx18,8$

2. Ableitung $\(f$ bilden:

$\(f$

$t_1$ und $t_2$ in 2. Ableitung einsetzen:

$\(f$
$\(f$

Berechnung der zugehörigen Funktionswerte sowie der Randwerte:

$f(7) \approx 5,31$
$f(12,6)\approx1,13$
$f(18,8)\approx5,47$
$f(19) \approx 5,45$

Der niedrigste Wert ist bei $t\approx12,6,$ der höchste Wert bei $t \approx 18,8.$

Umrechnung der $0,6$ und $0,8$ Stunden in Minuten:

$0,6 \cdot 60 \;\text{ Minuten} = 36 \;\text{ Minuten}$
$0,8 \cdot 60 \;\text{ Minuten} = 48 \;\text{ Minuten}$

Der niedrigste Wasserstand mit etwa $1,13\;\text{m}$ liegt um ca. 12:36 Uhr vor. Der höchste Wasserstand mit etwa $5,47\;\text{m}$ liegt um ca. 18:48 Uhr vor.

(2)

Unterschied zwischen höchstem und niedrigstem Wasserstand bestimmen

$\Delta f = f_{\text{max}} - f_{\text{min}} \approx 5,47 \text{ m} - 1,13 \;\text{ m} = 4,34 \;\text{ m}$

Der niedrigste und der höchste Wasserstand unterscheiden sich um etwa $4,34$ Meter.

Zeitpunkt des schnellsten Wasseranstiegs berechnen

Der Zeitpunkt, zu dem der Wasserstand am schnellsten zunimmt, ist durch die absolute Maximalstelle der Ableitungsfunktion $\(f$ gegeben. Diese kann eine Nullstelle von $\(f$ oder eine Randstelle sein.

$\(f$ setzen: