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Hilfsmittelfreier Teil

Aufgaben
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Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung
$f(x)=-x^3+2 \cdot x^2, x \in \mathbb{R}.$
Die Abbildung zeigt den Graphen von $f.$
Hilfsmittelfreier Teil
Abb. 1: Graph von $f$
Hilfsmittelfreier Teil
Abb. 1: Graph von $f$
a)
Bestimme rechnerisch eine Gleichung der Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P(1 \mid 1).$
(4 P)
#tangente
b)
(1)
Gib die Koordinaten eines Punktes $A$ an, in dem der Graph von $f$ die Steigung Null hat.
(2)
Gib die Koordinaten eines Punktes $B(x_B \mid y_B)$ an, so dass die Ableitung von $f$ an der Stelle $x_B$ negativ ist.
(1+1 P)
#steigung#ableitung

Aufgabe 2

In einer Urne befinden sich schwarze $(s)$ und weiße $(w)$ Kugeln, die zusäzlich entweder mit dem Buchstaben $A$ oder dem Buchstaben $B$ beschriftet sind. Aus der Urne wird eine Kugel gezogen. Dieses Zufallsexperiment ist in dem folgenden unvollständig beschrifteten Baumdiagramm dargestellt.
Hilfsmittelfreier Teil
Abb. 2: Baumdiagramm
Hilfsmittelfreier Teil
Abb. 2: Baumdiagramm
a)
Ermittle die fehlenden Wahrscheinlichkeiten und gib diese in den Rechtecken im Baumdiagramm an.
(4 P)
#baumdiagramm
b)
Von der gezogenen Kugel wird zunächst nur bekannt gegeben, dass sie mit dem Buchstaben $A$ beschriftet ist.
Stelle einen Term für die Wahrscheinlichkeit auf, dass es sich um eine schwarze Kugel handelt.
[Eine Berechnung der Wahrscheinlichkeit ist nicht erforderlich.]
(2 P)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2017 – SchulLV.
[2]
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Lösungen
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Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Tangentengleichung bestimmen
Für die Gleichung einer Tangente $t$ an dem Graphen von $f$ im Punkt $P(1 \mid 1)$ gilt:
$t(x)=f'(1) \cdot (x-1) +1$
Für die erste Ableitungsfunktion von der Funktion $f$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -x^3+2 \cdot x^2\\[5pt] f'(x)&=& -3 \cdot x^2+4 \cdot x\\[5pt] \end{array}$
Somit ergibt sich für die Tangentengleichung:
$\begin{array}[t]{rll} t(x)&=& f'(1) \cdot (x-1) +1 \\[5pt] &=& (-3 \cdot 1^2 +4 \cdot 1) \cdot (x-1) +1 \\[5pt] &=& (-3+4) \cdot (x-1) +1 \\[5pt] &=& x-1 +1 \\[5pt] &=& x \end{array}$
$t(x)=x$
Damit lautet die Tangentengleichung $t(x)=x.$
#ableitung
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten angeben
An dem Graphen der Funktion $f$ lässt sich erkennen, dass an dem Punkt $A(0 \mid 0)$ die Steigung des Graphen von $f$ Null ist.
Der Graph von $f$ besitzt an der Stelle $x=2$ eine negative Steigung. Somit lauten die Koordinaten eines Punktes $B(2 \mid 0).$

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten ermitteln
Für die Wahrscheinlichkeiten folgen mit der Gegenwahrscheinlichkeit und den Pfadregeln:
Hilfsmittelfreier Teil
Abb. 1: Baumdiagramm
Hilfsmittelfreier Teil
Abb. 1: Baumdiagramm
#pfadregeln#gegenwahrscheinlichkeit
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Es ist die Wahrscheinlichkeit dafür gesucht, dass die Kugel schwarz ist unter der Voraussetzung, dass sie mit dem Buchstaben $A$ beschriftet ist. Somit ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(s \mid A)$ gesucht.
Mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit folgt:
$P(s \mid A)=\dfrac{P(A \cap s)}{P(A)}$
Für die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ folgt mit dem Satz für die totale Wahrscheinlichkeit:
$P(A)= P(A \cap s)+P(A \cap w)$
Somit ergibt sich für den Term der gesuchten Wahrscheinlichkeiten mit den zuvor bestimmten Wahrscheinlichkeiten:
$\begin{array}[t]{rll} P(s \mid A)&=&\dfrac{P(A \cap s)}{P(A \cap s)+P(A \cap w)}\\[5pt] &=&\dfrac{0,18}{0,18+0,2}\\[5pt] &=&\dfrac{0,18}{0,38}\\[5pt] \end{array}$
$P(s \mid A)= \dfrac{0,18}{0,38}$
Damit lautet der Term für die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(s \mid A)=\dfrac{0,18}{0,38}.$
#satzdertotalenwahrscheinlichkeit#bedingtewahrscheinlichkeit
Bildnachweise [nach oben]
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