Prüfungsteil A: Ohne Hilfsmittel

Aufgabe 1: Analysis

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=\dfrac{1}{3} \cdot x^3 -5 \cdot x^2 + 16 \cdot x -2.$

Untersuche die Funktion $f$ rechnerisch auf lokale Minimal- und Maximalstellen.

(6 Punkte)

Aufgabe 2: Stochastik

Beim Spiel „Die wilde 8“ wird das Glücksrad mit den beiden Zahlen 0 und 8 (siehe Abbildung) zweimal gedreht.

Abbildung

Erstelle für dieses Zufallsexperiment ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm mit allen Pfadwahrscheinlichkeiten.

(2 Punkte)

Die beiden Zahlen in den Feldern, auf die jeweils der Pfeil zeigt, werden addiert.

(1)

Berechne die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass sich

die Summe 0 ergibt,
die Summe 8 ergibt,
die Summe 16 ergibt.

(2)

Der Spieleinsatz für das zweimalige Drehen des Glücksrades beim Spiel „Die wilde 8“ beträgt 8 €.

Bei der Summe 0 gibt es keine Auszahlung, der Spieleinsatz ist verloren.
Bei der Summe 8 wird der Spieleinsatz zurückgezahlt.
Bei der Summe 16 wird der zehnfache Spieleinsatz ausgezahlt.

Der Spielleiter behauptet, das Spiel sei „fair“. Das heißt, dass ein Spieler auf lange Sicht weder Gewinn noch Verlust macht.

Untersuche, ob es sich wirklich um ein faires Spiel handelt.

(2+2 Punkte)

Lösung 1

1. Schritt: $\boldsymbol{f(x)}$ ableiten

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Rechenweg anzeigen

$x_1=2;\, x_2=8$

3. Schritt: Vorzeichenwechselkriterium anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

An der Stelle $x=2$ liegt ein Vorzeichenwechsel von + zu - vor. Es handelt sich also um eine Maximumstelle.

An der Stelle $x=8$ liegt ein Vorzeichenwechsel von - zu + vor. Es handelt sich also um eine Minimalstelle

Lösung 2

Jeder Kreissektor hat die Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{4},$ folglich gilt $P(0)= \dfrac{3}{4}$ und $P(8)= \dfrac{1}{4}.$

(1)

$\begin{array}[t]{rll} P(\,\text{Summe}=0)&=&P(0) \cdot P(0) &\quad \\[5pt] &=&\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{3}{4} &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{9}{16} \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit für die Summe 0 liegt bei $\dfrac{9}{16}.$

$\begin{array}[t]{rll} P(\,\text{Summe}=8)&=&P(0,8) + P(8,0) &\quad \\[5pt] &=& \left (\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{4}\right) + \left (\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{3}{4} \right)&\quad \\[5pt] &=&\dfrac{3}{16} + \dfrac{3}{16} &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{6}{16} \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit für die Summe 8 liegt bei $\dfrac{6}{16}.$

$\begin{array}[t]{rll} P(\,\text{Summe}=16)&=&P(8) \cdot P(8) &\quad \\[5pt] &=&\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{1}{16} \end{array}$