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Aufgaben
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1

Analysis

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=\frac{1}{3} \cdot x^3 -5 \cdot x^2 + 16 \cdot x -2$.
Untersuche die Funktion f rechnerisch auf lokale Minimal´- und Maximalstellen.
(6P)
#extrempunkt
2

Stochastik

(1)
Berechne die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass sich
  1. die Summe 0 ergibt,
  2. die Summe 8 ergibt,
  3. die Summe 16 ergibt.
(2)
Der Spieleinsatz für das zweimalige Drehen des Glücksrades beim Spiel
„Die wilde 8“ beträgt $8\;€$
  1. Bei der Summe 0 gibt es keine Auszahlung, der Spieleinsatz ist verloren.
  2. Bei der Summe 8 wird der Spieleinsatz zurückgezahlt.
  3. Bei der Summe 16 wird der zehnfache Spieleinsatz ausgezahlt.
  4. Der Spielleiter behauptet, das Spiel sei „fair“. Das heißt, dass ein
    Spieler auf lange Sicht weder Gewinn noch Verlust macht.
(2+2P)
#pfadregeln#zufallsexperiment#wahrscheinlichkeit#baumdiagramm
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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1.
$\blacktriangleright$ Lokale Minimal- und Maximalstellen bestimmen
Du hast die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=\frac{1}{3} \cdot x^3 -5 \cdot x^2 + 16 \cdot x -2$ gegeben, die du auf lokale Minimal- und Maximalstellen untersuchen sollst. Damit es sich bei einer Stelle $x_e$ um eine Extremstelle handelt, müssen zwei Kriterien erfüllt sein:
  1. Notwendiges Kriterium: $f'(x_e)=0$
  2. Hinreichendes Kriterium: Vorzeichenwechselkriterium
    • Findet an der Stelle $x_e$ ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung von positiv zu negativ statt, besitzt der Graph von $f$ an der Stelle $x_e$ einen Hochpunkt.
    • Findet an der Stelle $x_e$ ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung von negativ zu positiv statt, besitzt der Graph von $f$ an der Stelle $x_e$ einen Tiefpunkt.
Bilde dafür zuerst die erste Ableitungsfunktion von $f$. Wende danach das notwendige Kriterium an, berechne also die Nullstellen von $f'(x)$. Überprüfe zum Schluss das hinreichende Kriterium, durch das du erfährst, ob es sich um eine Minimal- oder eine Maximalstelle handelt.
2.
a)
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm erstellen
Um das Baumdiagramm zu erstellen, musst du dir erst einmal überlegen, was für Möglichkeiten es bei zweimaliger Drehung des Glücksrads gibt. Auf dem Glücksrad mit vier gleich großen Feldern ist dreimal die $0$ und einmal die $8$. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Pfeil auf eine $0$ zeigt beträgt also $\frac{3}{4}$ und die Wahrscheinlichkeit, dass der Pfeil auf die $8$ zeigt beträgt $\frac{1}{4}$. Bei jeder Drehung kann das Rad entweder bei $0$ oder bei $8$ anhalten, gedreht wird zweimal. Das sind alle Angaben, die du brauchst, um das Baumdiagramm zu erstellen.
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten für Summen berechnen
Um auf die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Summe $0$ ergibt, zu kommen, musst du dir überlegen, welchem Pfad du folgen musst, um die Summe $0$ zu bekommen. Die einzige Möglichkeit, die Summe $0$ zu bekommen ist, bei beiden Drehungen die $0$ angezeigt zu bekommen. Also musst du dem linken Pfad folgen. Mit der Pfadmultiplikationsregel, die besagt, dass du die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades mulitplizieren musst, um auf die Gesamtwahrscheinlichkeit des Pfades zu kommen, kannst du die Wahrscheinlichkeit dafür ausrechnen.
Die Summe $8$ ergibt sich entweder, wenn du zuerst eine $0$ und dann eine $8$ angezeigt bekommst, oder zuerst eine $8$ und dann eine $0$. Du musst also neben der Pfadmultiplikationsregel die Pfadadditionsregel anwenden, die besagt, dass die Wahrscheinlichkeiten mehrerer Pfade addiert werden können.
Die Summe $16$ ergibt sich, wenn du dem rechten Pfad folgst, also zweimal eine $8$ angezeigt bekommst. Dafür benutzt du wieder die Pfadmulitplikationsregel.
(2)
$\blacktriangleright$  Spiel auf Fairness untersuchen
Um das Glücksrad drehen zu dürfen, musst du $8€$ Einsatz bezahlen. Wenn du die Summe $0$ rausbekommst, ist dein Spieleinsatz verloren, wenn du die Summe $8$ rausbekommst, erhältst du deinen Einsatz zurück und wenn du die Summe $16$ herausbekommst, bekommst du den zehnfachen Spieleinsatz ausgezahlt, also $80€$.
Damit das Spiel fair ist, sollte die erwartete Auszahlung, also der Betrag der ausgezahlt wird ohne Abzug des Einsatzes, im Schnitt $8\,€$ betragen.
$E(X)=x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + … + x_n \cdot P(X=x_n)$
$E(X)=x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + … + x_n \cdot P(X=x_n)$
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1.
$\blacktriangleright$ Lokale Minimal- und Maximalstellen bestimmen
Du hast die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=\frac{1}{3} \cdot x^3 -5 \cdot x^2 + 16 \cdot x -2$ gegeben, die du auf lokale Minimal- und Maximalstellen untersuchen sollst. Damit es sich bei einer Stelle $x_e$ um eine Extremstelle handelt, müssen zwei Kriterien erfüllt sein:
  1. Notwendiges Kriterium: $f'(x_e)=0$
  2. Hinreichendes Kriterium: Vorzeichenwechselkriterium
    • Findet an der Stelle $x_e$ ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung von positiv zu negativ statt, besitzt der Graph von $f$ an der Stelle $x_e$ einen Hochpunkt.
    • Findet an der Stelle $x_e$ ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung von negativ zu positiv statt, besitzt der Graph von $f$ an der Stelle $x_e$ einen Tiefpunkt.
Bilde dafür zuerst die erste Ableitungsfunktion von $f$. Wende danach das notwendige Kriterium an, berechne also die Nullstellen von $f'(x)$. Überprüfe zum Schluss das hinreichende Kriterium, durch das du erfährst, ob es sich um eine Minimal- oder eine Maximalstelle handelt.
1. Schritt: Die erste Ableitung bilden
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& \frac{1}{3} \cdot x^3 -5 \cdot x^2 + 16 \cdot x -2&\quad \scriptsize \\[5pt] f'(x)&=& x^2 - 10 \cdot x + 16&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Nullstellen von $f'(x)$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] x^2 - 10 \cdot x + 16 &=&0 \end{array}$
Um diese Gleichung zu lösen benutzt du die $abc$-Formel:
$x_{1/2}=-\dfrac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
$x_{1/2}=-\dfrac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=& -\dfrac{-10}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{-10}{2}\right)^2-16}\\[5pt] x_{1/2}&=& 5\pm \sqrt{9} \\[5pt] x_1&=& 5+3=8 \\[5pt] x_2&=& 5-3=2 \\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: Minima oder Maxima?
$f'(7,9)\approx -0,59$
$f'(8,1)\approx 0,61$
$f'(1,9)\approx 0,61$
$f'(2,1)\approx -0,59$
Somit weißt du, dass die Funktion $f$ bei $x=8$ eine Minmalstelle und bei $x=2$ eine Maximalstelle hat.
#ableitung#abc-formel#nullstelle
2.
a)
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm erstellen
Um das Baumdiagramm zu erstellen, musst du dir erst einmal überlegen, was für Möglichkeiten es bei zweimaliger Drehung des Glücksrads gibt. Auf dem Glücksrad mit vier gleich großen Feldern ist dreimal die $0$ und einmal die $8$. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Pfeil auf eine $0$ zeigt beträgt also $\frac{3}{4}$ und die Wahrscheinlichkeit, dass der Pfeil auf die $8$ zeigt beträgt $\frac{1}{4}$. Bei jeder Drehung kann das Rad entweder bei $0$ oder bei $8$ anhalten, gedreht wird zweimal. Das sind alle Angaben, die du brauchst, um das Baumdiagramm zu erstellen.
Abb. 1: Baumdiagramm
Abb. 1: Baumdiagramm
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten für Summen berechnen
Um auf die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Summe $0$ ergibt, zu kommen, musst du dir überlegen, welchem Pfad du folgen musst, um die Summe $0$ zu bekommen. Die einzige Möglichkeit, die Summe $0$ zu bekommen ist, bei beiden Drehungen die $0$ angezeigt zu bekommen. Also musst du dem linken Pfad folgen. Mit der Pfadmultiplikationsregel, die besagt, dass du die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades mulitplizieren musst, um auf die Gesamtwahrscheinlichkeit des Pfades zu kommen, kannst du die Wahrscheinlichkeit dafür ausrechnen.
$\begin{array}[t]{rll} P\,(Summe=0)&=&P(0) \cdot P(0) &\quad \\[5pt] &=&\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{3}{4} &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{9}{16} \end{array}$
Die Summe $8$ ergibt sich entweder, wenn du zuerst eine $0$ und dann eine $8$ angezeigt bekommst, oder zuerst eine $8$ und dann eine $0$. Du musst also neben der Pfadmultiplikationsregel die Pfadadditionsregel anwenden, die besagt, dass die Wahrscheinlichkeiten mehrerer Pfade addiert werden können.
$\begin{array}[t]{rll} P\,(Summe=8)&=&P(0-8) + P(8-0) &\quad \\[5pt] &=& \left (\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{4}\right) + \left (\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{3}{4} \right)&\quad \\[5pt] &=&\dfrac{3}{16} + \dfrac{3}{16} &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{6}{16} \end{array}$
$ P\,(Summe=8) = \dfrac{6}{16} $
Die Summe $16$ ergibt sich, wenn du dem rechten Pfad folgst, also zweimal eine $8$ angezeigt bekommst. Dafür benutzt du wieder die Pfadmulitplikationsregel.
$\begin{array}[t]{rll} P\,(Summe=16)&=&P(8) \cdot P(8) &\quad \\[5pt] &=&\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{1}{16} \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Summe $0$ ergibt, beträgt $\dfrac{9}{16}$, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Summe $8$ ergibt, beträgt $\dfrac{6}{16}$ und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Summe $16$ ergibt, beträgt $\dfrac{1}{16}$.
(2)
$\blacktriangleright$  Spiel auf Fairness untersuchen
Um das Glücksrad drehen zu dürfen, musst du $8€$ Einsatz bezahlen. Wenn du die Summe $0$ rausbekommst, ist dein Spieleinsatz verloren, wenn du die Summe $8$ rausbekommst, erhältst du deinen Einsatz zurück und wenn du die Summe $16$ herausbekommst, bekommst du den zehnfachen Spieleinsatz ausgezahlt, also $80€$.
Damit das Spiel fair ist, sollte die erwartete Auszahlung, also der Betrag der ausgezahlt wird ohne Abzug des Einsatzes, im Schnitt $8\,€$ betragen.
$E(X)=x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + … + x_n \cdot P(X=x_n)$
$E(X)=x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + … + x_n \cdot P(X=x_n)$
Für das Spiel "Die wilde 8" musst du folgende Werte in die Formel für den Erwartungswert eingeben:
$\begin{array}[t]{rll} E(A)&=&\left (\dfrac{9}{16} \cdot 0 \right) + \left (\dfrac{6}{16} \cdot 8 \right) + \left (\dfrac{1}{16} \cdot 80 \right) \\[5pt] &=& \dfrac{6}{2}+5\\[5pt] &=&8\\[5pt] \end{array}$
$ E(X)=x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P… $
$ E(X)=x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P… $
Bei jedem Spiel müssen $8\,€$ Einsatz gezahlt werden. Im Schnitt werden pro Spiel aber auch $8\,€$ ausgezahlt. Damit kommt man sowohl als Spieler als auch als Betreiber auf lange Sicht weder mit Verlust noch mit Gewinn aus dem Spiel. Das Spiel ist also fair.
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