Prüfungsteil B: Mit Hilfsmitteln

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$f(x)=-\frac{1}{16}\cdot x^{3}+\frac{3}{4}\cdot x+\frac{65}{16},$ $\ x\in \mathbb{R} .$

Der Graph der Funktion $f$ ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Abbildung

Gib die exakten Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen von $f$ mit der $y$ -Achse an.

(2 Punkte)

Bestimme rechnerisch die lokalen Extremstellen von $f$ .

(7 Punkte)

Die Sekante $s$ verläuft durch den Tiefpunkt $T \left(-2 \,\bigg \vert \, \dfrac{49}{16} \right)$ und den Hochpunkt $H \left(2 \,\bigg \vert \, \dfrac{81}{16} \right)$ des Graphen von $f$ .

(1)

Zeichne die Sekante $s$ in die Abbildung ein und bestimme rechnerisch die Steigung von $s$ .

(2)

Im Bereich von $x=-2$ bis $x=2$ gibt es Stellen, an denen die Tangente an den Graphen von $f$ eine größere Steigung besitzt als die Sekante $s$ .

Gib eine solche Stelle an und begründe deine Angabe mithilfe einer Rechnung.

(3 + 3 Punkte)

Der Graph von $f$ wird so in Richtung der $y$ -Achse verschoben, dass der verschobene Graph genau zwei Nullstellen besitzt.

Gib alle Möglichkeiten einer solchen Verschiebung an.

(3 Punkte)

Die Funktion $f$ ist die Ableitungsfunktion einer Funktion $g$ .

Entscheide begründet, z.B. mithilfe des Graphen von $f$ , für jede der beiden folgenden Aussagen $(A)$ und $(B),$ ob sie wahr oder falsch ist.

$(A)$ Der Graph von $g$ steigt im gesamten Bereich von $x=-4$ bis $x=0.$
$(B)$ Der Graph von $g$ besitzt an der Stelle $x=5$ einen lokalen Hochpunkt.

(3 + 3 Punkte)

Aufgabe 4

Der US-Amerikaner Carl Lewis gehört zu den erfolgreichsten Leichtathleten der Sportgeschichte. Einen seiner acht Weltmeistertitel hat er bei den Leichtathletik-Weltmeisterschaften 1991 im $100\,\text{m}$ -Lauf gewonnen.

Abbildung 1

In dieser Aufgabe wird eine $70\,\text{m}$ lange Teilstrecke seines Finallaufes betrachtet. Für diese Teilstrecke wird die Momentangeschwindigkeit in Abhängigkeit von der zurückgelegten Strecke durch die Funktion $v$ mit

Funktionsgleichung anzeigen

modelliert.

Dabei ist $x$ die zurückgelegte Strecke in der Einheit $10\,\text{m}$ (d. h. $x=2$ entspricht $20\,\text{m}$ , $x=3$ entspricht $30\,\text{m}$ usw.). $v(x)$ ist die zugehörige Momentangeschwindigkeit in $\,\text{m/s}.$

Für $2\leq x\leq 9$ beschreibt diese Funktion näherungsweise die Momentangeschwindigkeit von Carl Lewis von der $20\,\text{m}$ -Markierung bis zur $90\,\text{m}$ -Markierung.

Der Graph von $v$ ist in der Abbildung 2 dargestellt.

Abbildung 2

Die folgenden Teilaufgaben beziehen sich auf die durch die Funktion $v$ modellierte Momentangeschwindigkeit.

Bestimme die Momentangeschwindigkeit von Carl Lewis an der $50\,\text{m}$ -Markierung auf zwei Nachkommastellen genau.

[Zur Kontrolle: Der auf eine Nachkommastelle gerundete Wert beträgt $11,8\,\text{m/s}$ ].

(2 Punkte)

Carl Lewis hat seine maximale Geschwindigkeit in dem Finallauf zwischen der $20\,\text{m}$ -Markierung und der $90\,\text{m}$ -Markierung erreicht.

Bestimme rechnerisch diese maximale Geschwindigkeit.

(9 Punkte)

(1)

Carl Lewis hat in seinem Finallauf für die $100\,\text{m}$ -Strecke vom Start bis zum Ziel $9,86\,\text{s}$ benötigt.

Weise nach, dass seine Durchschnittsgeschwindigkeit bei diesem Lauf ca. $10,14 \,\text{m/s}$ betragen hat.

(2)

Ermittle mithilfe der Funktion $v,$ nach welcher zurückgelegten Strecke die Momentangeschwindigkeit von Carl Lewis genauso groß wie seine Durchschnittsgeschwindigkeit gewesen ist.

(2 + 3 Punkte)

In der Abbildung 3 siehst du das Zeit-Weg-Diagramm einer Bewegung.

Abbildung 3

Die $t$ -Werte geben die Zeit in Sekunden und die $y$ -Werte die in dieser Zeit zurückgelegte Strecke in $\text{m}$ an.

Zusätzlich ist die Tangente an den Graphen an der Stelle $t=8$ dargestellt.

(1)

Bestimme näherungsweise die Steigung dieser Tangente.

(2)

Entscheide begründet, ob es sich bei dem Diagramm aus Abbildung 3 um das Zeit-Weg-Diagramm des Finallaufes von Carl Lewis handeln kann.

(2 + 2 Punkte)

Die Funktion $v$ soll zu einer Funktion $v_{neu}$ transformiert werden, so dass eine Strecke von $20$ Metern nicht mehr durch $x=2,$ sondern durch $x=20,$ eine Strecke von $30$ Metern nicht durch $x=3,$ sondern durch $x=30$ usw. festgelegt wird.
$v_{neu}(x)$ ist wieder die zugehörige Momentangeschwindigkeit von Carl Lewis in $\,\text{m/s}.$

(1)

Gib an, durch welche Transformation der Graph der Funktion $v$ in den Graphen der Funktion $v_{neu}$ überführt wird.

(2)

Die Funktion $v_{neu}$ wird durch eine der folgenden Gleichungen beschrieben.

Gib an, welche der Gleichungen die Funktion $v_{neu}$ beschreibt.

$(A)$ $v_{neu}(x)=10\cdot v(x)$

$(B)$ $v_{neu}(x)=v(10\cdot x)$

$(C)$ $v_{neu}(x)=v(0,1\cdot x)$

$(D)$ $v_{neu}(x)=v(x-10)$

(2 + 2 Punkte)

Lösung 3

$f(0)=-\dfrac{1}{16}\cdot 0^{3}+\dfrac{3}{4}\cdot 0+\dfrac{65}{16}$ $=\dfrac{65}{16}$

Der Graph der Funktion $f$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $\left(0\mid\dfrac{65}{16}\right).$

1. Notwendiges Kriterium für lokale Extremstellen

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

2. Vorzeichenwechselkriterium überprüfen

$\(f$

Es liegt also sowohl an der Stelle $x=-2$ als auch an der Stelle $x=2$ ein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte von $\(f$ vor. Beide Stellen sind daher Extremstellen der Funktion $f.$

(1)

ZK am Ende der EF NRW 2019, Koordinatensystem, Graph, Sekante

Für die Steigung $m_{s}$ der Sekante $s$ gilt: $m_{s}=\displaystyle \frac{\frac{81}{16}-\frac{49}{16}}{2-(-2)}=\frac{1}{2}.$

(2)

$x=0$ ist ein Beispiel für eine Stelle, an der die Tangente eine größere Steigung besitzt als die Sekante $s$ , da gilt: $\(f$

Möglichkeit 1: Verschiebung des Graphen von $f$ um $\displaystyle \frac{49}{16}$ Einheiten nach unten.

Möglichkeit 2: Verschiebung des Graphen von $f$ um $\displaystyle \frac{81}{16}$ Einheiten nach unten.

Die Aussage (A) ist wahr, denn im genannten Bereich sind alle Funktionswerte von $f$ positiv.

Die Aussage (B) ist ebenfalls wahr, da an der Stelle $x=5$ ein Vorzeichenwechsel von positiven zu negativen Funktionswerten von $f$ vorliegt.

Lösung 4

$v(5)\approx 11,78.$

Nach $50\,\text{m}$ hat die Momentangeschwindigkeit von Carl Lewis ca. $11,78\,\dfrac{\,\text{m}}{\,\text{s}}$ betragen.

1. Notwendiges Kriterium für lokale Extremstellen

Rechenweg anzeigen

$\(\begin{array}[t]{rll} v$

2. Vorzeichenwechselkriterium überprüfen

$\(v$

Daher liegt an der Stelle $x_{1}$ ein Vorzeichenwechsel von positiven zu negativen Funktionswerten von $\(v$ und damit ein lokales Maximum von $v$ vor. Wegen $v(2)\approx 9,59; v(x_{1})\approx 12,08$ und $v(9)\approx 11,77$ liegt bei $x_{1}$ auch das absolute Maximum von $v$ im Intervall $[2;9]$ vor.

Nach ca. $76\,\text{m}$ hat Carl Lewis mit etwa $12\,\dfrac{\,\text{m}}{\,\text{s}}$ seine maximale Geschwindigkeit erreicht.

(1)

$\dfrac{100\,\text{m}}{9,86\,\,\text{s}}\approx 10,14\,\dfrac{\,\text{m}}{\,\text{s}}.$

Die Durchschnittsgeschwindigkeit von Carl Lewis hat ca. $10,14\,\dfrac{\,\text{m}}{\,\text{s}}$ betragen.

(2)

Die Gleichung $v(x)=10,14$ besitzt die Lösungen $x_2$ und $x_3$ mit $x_2\approx 2,34$ und $x_3\approx 10,39.$ $x_3$ liegt nicht im Intervall $[2;9].$

Nach $23,4\,\text{m}$ ist die Momentangeschwindigkeit von Carl Lewis genauso groß wie seine Durchschnittsgeschwindigkeit gewesen.

(1)

Mit dem eingezeichneten Steigungsdreieck ergibt sich für die Steigung der Tangente an der Stelle $t=8$ ein Wert von ungefähr $\dfrac{55\,\text{m}}{3\,\text{s}}\approx18\,\dfrac{\,\text{m}}{\,\text{s}}.$

(2)

In der Abbildung 2 kann abgelesen werden, dass die maximale Momentangeschwindigkeit von Carl Lewis knapp über $12\,\dfrac{m}{s}$ betragen hat. Somit passt ein Wert von ca. $18\,\dfrac{m}{s}$ nicht zum Lauf von Carl Lewis.
Bei dem Diagramm aus Abbildung 3 kann es sich also nicht um das Zeit-Weg-Diagramm des Laufes von Carl Lewis handeln.

(1)

Der Graph von $v_{neu}$ geht durch eine Streckung mit dem Faktor $10$ in $x$ -Richtung aus dem Graphen von $v$ hervor.

(2)

Richtig ist (C): $v_{neu}(x)=v(0,1\cdot x).$