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Hilfsmittelfreier Teil

Aufgaben
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Aufgabe 1: Analysis

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $f$ mit der Gleichung
$f(x) = -x^2 + 6 \cdot x - 5$.
a) 
  1. Berechne die Nullstellen der Funktion $f$.
  2. (2P)
  3. Skizziere in die Abbildung den Graphen der Ableitungsfunktion $f'$.
  4. (2P)
Hilfsmittelfreier Teil Abbildung
Hilfsmittelfreier Teil Abbildung
b)  Ermittle, um wie viele Einheiten der Graph von $f$ nach unten verschoben werden muss, so dass der verschobene Graph nur einen gemeinsamen Punkt mit der $x$-Achse besitzt.
(2P)

Aufgabe 2: Stochastik

Eine Firma hat einen neuen Wirkstoff gegen Erkältungsbeschwerden entwickelt, dessen Wirksamkeit an erkälteten Versuchspersonen getestet wurde:
  • $60\,\%$ der Versuchspersonen erhielten eine Tablette mit dem neuen Wirkstoff, die übrigen Versuchspersonen erhielten eine Tablette ohne Wirkstoff.
  • Nach einer Stunde trat insgesamt bei der Hälfte aller Versuchspersonen eine Linderung ein.
  • $38\,\%$ der Versuchspersonen erhielten eine Tablette ohne Wirkstoff und verspürten keine Linderung.
a)  Stelle den oben beschriebenen Sachverhalt dar, indem du alle Prozentsätze ermittelst und in die Tabelle einträgst.
Linderung keine Linderung Gesamt
Tablette ohne Wirkstoff
Tablette mit Wirkstoff
Gesamt
(3P)
b)  Eine Versuchsperson verspürt eine Linderung.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sie eine Tablette mit Wirkstoff erhalten hat.
(3P)
Zugelassene Hilfsmittel:
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Aufgabe 1: Analysis

a1)  $\blacktriangleright$  Nullstellen berechnen
Setze die Funktion gleich $0$ und löse mit der $pq$-Formel oder der $abc$-Formel.
a2)  $\blacktriangleright$  Ableitung skizzieren
Die $1$. Ableitung gibt die Steigung der Funktion wieder.
Solange der Graph der Funktion steigt, muss die Ableitung im positiven $y$-Bereich liegen, je stärker sie steigt, desto größer muss der $y$-Wert sein.
Fällt der Graph der Funktion, dann muss die Ableitung im negativen $y$-Bereich liegen.
Wenn der Graph der Funktion von einem steigenden in einen fallenden Bereich übergeht, hat die $1$. Ableitung an dieser Stelle eine Nullstelle.
Die Ableitung hat einen Grad der um $1$ niedriger ist als die ursprüngliche Funktion, d.h. aus einer quadratischen Funktion wird bei der Ableitung eine lineare Funktion.
b)  $\blacktriangleright$  Verschiebung berechnen
Der Graph der Funktion ist symmetrisch. Nur sein höchster Punkt, der Scheitelpunkt, hat keinen Spiegelpunkt. Um nur einen gemeinsamen Punkt mit der $x$-Achse zu haben, muss der Scheitelpunkt auf die $x$-Achse geschoben werden.
Um den Scheitelpunkt zu berechnen, muss die Funktion über quadratische Ergänzung in die Scheitelform gebracht werden. Folge dazu den folgenden Schritten:
  • Klammere zuerst $-1$ aus, um $x^2$ zu erhalten.
  • Bestimme die binomische Formel, indem du dir den Ausdruck mit einfachem $x$ anschaust.
  • Berechne $b$, indem du überlegst, welcher Ausdruck den $2ab$ der binomischen Formel entspricht.
  • Ergänze zur binomische Formel, indem du $\pm b^2$ rechnest und in die Klammerform der binomischen Formel umschreibst

Aufgabe 2: Stochastik

a)  $\blacktriangleright$  Prozentsätze in die Tabelle eintragen
Ordne die Angaben aus der Aufgabenstellung bestimmten Feldern in der Tabelle zu:
  • $\boldsymbol{60\,\%}$ der Versuchspersonen bekamen eine Tablette mit Wirkstoff, d.h. die gesamte Menge von Versuchspersonen mit einer Wirkstofftablette, unabhängig davon ob eine Linderung eintrat oder nicht, entspricht den $60\,\%$.
  • Die übrigen Versuchspersonen erhielten eine Tablette ohne Wirkstoff. Da die gesamte Menge an Versuchspersonen $100\,\%$ entspricht, können wir die gesamte Menge an Versuchspersonen mit einer Tablette ohne Wirkstoff errechnen: $100\,\%-60\,\%=40\,\%$. Unabhängig davon ob eine Linderung eintrat oder nicht entspricht die Menge an Versuchspersonen mit einer Tablette ohne Wirkstoff also $\boldsymbol{40\,\%}$.
  • Bei der Hälfte aller Versuchspersonen trat eine Linderung ein. Da die gesamte Menge an Versuchspersonen $100\,\%$ ist, entspricht der Prozentsatz an Versuchspersonen die eine Linderung erfahren haben, unabhängig von der Tablette, $\dfrac{100\,\%}{2}=\boldsymbol{50\,\%}$.
  • Bei der anderen Hälfte trat demnach keine Linderung ein, also entspricht die Menge an Versuchspersonen ohne Linderung, unabhängig von der Tablette, $\boldsymbol{50\,\%}$.
  • $\boldsymbol{38\,\%}$ der Versuchspersonen ohne Wirkstofftablette verspürten keine Linderung. Diese konkrete Angabe kannst du in der Tabelle in das entsprechende Feld, bei Tablette ohne Wirkstoff und keine Linderung eintragen.
Hast du alle bekannten Werte in die Tabelle eingetragen, dann sollte sie so aussehen:
Linderung keine Linderung Gesamt
Tablette ohne Wirkstoff $38\,\%$ $40\,\%$
Tablette mit Wirkstoff $60\,\%$
Gesamt $50\,\%$ $50\,\%$ $100\,\%$
Die fehlenden Werte in der Tabelle kannst du nun über Subtraktion ermitteln.
b)  $\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Teile den in der Tabelle angegebenen Prozentsatz für eine Versuchsperson mit Wirkstofftablette und Linderung durch die Gesamtmenge an Versuchspersonen mit Linderung. Zum einfacheren Rechnen kannst du den Bruch auf $100\,\%$ im Nenner erweitern.
$\dfrac{p(\text{Wirkstoff, Linderung})}{p(\text{Linderung, Gesamt})}$
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Aufgabe 1: Analysis

a1)  $\blacktriangleright$  Nullstellen berechnen
Setze die Funktion gleich $0$ und löse mit der $pq$-Formel oder der $abc$-Formel.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: $\boldsymbol{pq}$-Formel
Teile durch $-1$, um die Gleichung in die richtige Form für die $pq$-Formel zu bringen.
$x^2-6x+5=0$
$ \begin{array}{rcll} -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] -\dfrac{(-6)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{6}{2}\right)^2-5}&=&x_{1/2} \\[5pt] \dfrac{6}{2}\pm\sqrt{9-5}&=&x_{1/2}\\[5pt] 3\pm\sqrt{4}&=&x_{1/2}\\[5pt] 3\pm2&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{Plus verwenden}\\[5pt] 5&=&x_{1}\\[5pt] 3\pm2&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{Minus verwenden}\\[5pt] 1&=&x_{2}\\[5pt] \end{array}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: $\boldsymbol{abc}$-Formel
$ \begin{array}{rcll} \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{-6\pm\sqrt{(6)^2-4\cdot(-1)\cdot(-5)}}{2\cdot(-1)}&=&x_{1/2} \\[5pt] \dfrac{-6\pm\sqrt{36-20}}{-2}&=&x_{1/2}\\[5pt] \dfrac{-6\pm\sqrt{16}}{-2}&=&x_{1/2}\\[5pt] \dfrac{-6\pm4}{-2}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{Plus verwenden}\\[5pt] \dfrac{-2}{-2}&=&x_{2}\\[5pt] 1&=&x_{2}\\[5pt] \dfrac{-6\pm4}{-2}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{Minus verwenden}\\[5pt] \dfrac{-10}{-2}&=&x_{1}\\[5pt] 5&=&x_{1}\\[5pt] \end{array}$
Die Funktion hat zwei Nullstellen bei $x_1=5$ und $x_2=1$.
a2)  $\blacktriangleright$  Ableitung skizzieren
Die $1$. Ableitung gibt die Steigung der Funktion wieder.
Solange der Graph der Funktion steigt, muss die Ableitung im positiven $y$-Bereich liegen, je stärker sie steigt, desto größer muss der $y$-Wert sein.
Fällt der Graph der Funktion, dann muss die Ableitung im negativen $y$-Bereich liegen.
Wenn der Graph der Funktion von einem steigenden in einen fallenden Bereich übergeht, hat die $1$. Ableitung an dieser Stelle eine Nullstelle.
Die Ableitung hat einen Grad der um $1$ niedriger ist als die ursprüngliche Funktion, d.h. aus einer quadratischen Funktion wird bei der Ableitung eine lineare Funktion.
Hilfsmittelfreier Teil
Hilfsmittelfreier Teil
b)  $\blacktriangleright$  Verschiebung berechnen
Der Graph der Funktion ist symmetrisch. Nur sein höchster Punkt, der Scheitelpunkt, hat keinen Spiegelpunkt. Um nur einen gemeinsamen Punkt mit der $x$-Achse zu haben, muss der Scheitelpunkt auf die $x$-Achse geschoben werden.
Um den Scheitelpunkt zu berechnen, muss die Funktion über quadratische Ergänzung in die Scheitelform gebracht werden. Folge dazu den folgenden Schritten:
  • Klammere zuerst $-1$ aus, um $x^2$ zu erhalten.
  • Bestimme die binomische Formel, indem du dir den Ausdruck mit einfachem $x$ anschaust.
  • Berechne $b$, indem du überlegst, welcher Ausdruck den $2ab$ der binomischen Formel entspricht.
  • Ergänze zur binomische Formel, indem du $\pm b^2$ rechnest und in die Klammerform der binomischen Formel umschreibst
1. Schritt: $\boldsymbol{-1}$ ausklammern
$-x^2+6x-5=(-1)\cdot(x^2-6x+5)$
2. Schritt: Binomische Formel bestimmen
$-6x$ ist der einzige Ausdruck mit $x$. Er entspricht dem $-2ab$ der $2$. binomischen Formel, die lautet:
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
3. Schritt: $\boldsymbol{b}$ berechnen
Berechne $b$, indem du $-6x$ und $-2ab$ gleichsetzt. $a$ entspricht $x$.
$\begin{array}{rcl} -6x&=&-2ab &\scriptsize a=x\\[5pt] -6x&=&-2xb &\scriptsize \mid :(-2x)\\[5pt] 3&=&b &\scriptsize \\[5pt] \end{array}$
4. Schritt: Zur binomischen Formel ergänzen
$\begin{array}{rl} (-1)\cdot(x^2-6x+5)&\scriptsize \mid \pm 3^2\\[5pt] (-1)\cdot(x^2-6x+9-9+5)&\scriptsize \text{binomische Formel zusammenfassen}\\[5pt] (-1)\cdot((x-3)^2-9+5)&\scriptsize\\[5pt] (-1)\cdot((x-3)^2-4)&\scriptsize \text{mit }(-1)\text{ multiplizieren}\\[5pt] -(x-3)^2+4&\scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Nun kannst du die Koordinaten des Scheitelpunkts ablesen.
Sein $x$-Wert entspricht der Zahl, die du einsetzen musst, um den Ausdruck in der Klammer auf $0$ zu bringen, also $3$.
Sein $y$-Wert entspricht der Zahl hinter der Klammer, also $4$.
Der Scheitelpunkt liegt also bei $S\,(3\mid4)$.
Um den Scheitelpunkt nun auf die $x$-Achse zu scheiben, damit der Graph der Funktion nur noch einen gemeinsamen Punkt mit der $x$-Achse hat, muss der Graph um $4$ Einheiten nach unten verschoben werden.

Aufgabe 2: Stochastik

a)  $\blacktriangleright$  Prozentsätze in die Tabelle eintragen
Ordne die Angaben aus der Aufgabenstellung bestimmten Feldern in der Tabelle zu:
  • $\boldsymbol{60\,\%}$ der Versuchspersonen bekamen eine Tablette mit Wirkstoff, d.h. die gesamte Menge von Versuchspersonen mit einer Wirkstofftablette, unabhängig davon ob eine Linderung eintrat oder nicht, entspricht den $60\,\%$.
  • Die übrigen Versuchspersonen erhielten eine Tablette ohne Wirkstoff. Da die gesamte Menge an Versuchspersonen $100\,\%$ entspricht, können wir die gesamte Menge an Versuchspersonen mit einer Tablette ohne Wirkstoff errechnen: $100\,\%-60\,\%=40\,\%$. Unabhängig davon ob eine Linderung eintrat oder nicht entspricht die Menge an Versuchspersonen mit einer Tablette ohne Wirkstoff also $\boldsymbol{40\,\%}$.
  • Bei der Hälfte aller Versuchspersonen trat eine Linderung ein. Da die gesamte Menge an Versuchspersonen $100\,\%$ ist, entspricht der Prozentsatz an Versuchspersonen die eine Linderung erfahren haben, unabhängig von der Tablette, $\dfrac{100\,\%}{2}=\boldsymbol{50\,\%}$.
  • Bei der anderen Hälfte trat demnach keine Linderung ein, also entspricht die Menge an Versuchspersonen ohne Linderung, unabhängig von der Tablette, $\boldsymbol{50\,\%}$.
  • $\boldsymbol{38\,\%}$ der Versuchspersonen ohne Wirkstofftablette verspürten keine Linderung. Diese konkrete Angabe kannst du in der Tabelle in das entsprechende Feld, bei Tablette ohne Wirkstoff und keine Linderung eintragen.
Hast du alle bekannten Werte in die Tabelle eingetragen, dann sollte sie so aussehen:
Linderung keine Linderung Gesamt
Tablette ohne Wirkstoff $38\,\%$ $40\,\%$
Tablette mit Wirkstoff $60\,\%$
Gesamt $50\,\%$ $50\,\%$ $100\,\%$
Die fehlenden Werte in der Tabelle kannst du nun über Subtraktion ermitteln.
Um den Prozentsatz an Versuchspersonen, die eine Tablette ohne Wirkstoff bekommen haben und eine Linderung verspürt haben, zu ermitteln ziehe die Menge an Versuchspersonen mit Tablette ohne Wirkstoff und ohne Linderung von der Gesamtmenge an Versuchspersonen mit Tablette ohne Wirkstoff ab:
$40\,\%-38\,\%=2\,\%$
Berechne nun auf die selbe Art den Prozentsatz an Versuchspersonen, die eine Tablette mit Wirkstoff bekommen haben und eine Linderung verspürt haben:
$p(\text{Linderung, Gesamt})-p(\text{ohne Wirkstoff, Linderung})=50\,\%-2\,\%=48\,\%$
Zuletzt berechne den Prozentsatz an Versuchspersonen mit Wirkstofftablette, die keine Linderung verspürt haben.
$p(\text{Wirkstoff, Gesamt})-p(\text{Wirkstoff, Linderung})=60\,\%-48\,\%=12\,\%$
In die Tabelle eingetragen sieht es so aus:
Linderung keine Linderung Gesamt
Tablette ohne Wirkstoff $2\,\%$ $38\,\%$ $40\,\%$
Tablette mit Wirkstoff $48\,\%$ $12\,\%$ $60\,\%$
Gesamt $50\,\%$ $50\,\%$ $100\,\%$
b)  $\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Teile den in der Tabelle angegebenen Prozentsatz für eine Versuchsperson mit Wirkstofftablette und Linderung durch die Gesamtmenge an Versuchspersonen mit Linderung. Zum einfacheren Rechnen kannst du den Bruch auf $100\,\%$ im Nenner erweitern.
$\dfrac{p(\text{Wirkstoff, Linderung})}{p(\text{Linderung, Gesamt})}=\dfrac{48\,\%}{50\,\%}=\dfrac{96\,\%}{100\,\%}=0,96$
Rechne das Ergebnis in eine Prozentzahl um:
$0,96\cdot100\,\%=96\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $96\,\%$ hat eine Versuchsperson, die eine Linderung verspürt, eine Tablette mit Wirkstoff erhalten.
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