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Prüfungsteil B: Mit Hilfsmitteln

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit
\(f(x) = -\dfrac{1}{18} \cdot x^3 - \dfrac{1}{2} \cdot x^2 + 2, \, x \in \mathbb{R}.\)
Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion \(f\).
nrw zk zum ende der ef 2024, zentrale klausur
Abbildung
a)
Gib, z.B. anhand des Graphen von \(f,\) den Bereich an, in dem \(f gilt.
(2 Punkte)
b)
Untersuche rechnerisch die Funktion \(f\) auf Wendestellen.
(4 Punkte)
c)
(1)
(i)
Berechne eine Gleichung der Normale \(n\) des Graphen von \(f\) im Punkt \(W(-3|f(-3)).\)
[Zur Kontrolle: \(n: y = -\dfrac{2}{3} \cdot x - 3\).]
(ii)
Zeichne die Normale \(n\) in die Abbildung ein.
(2)
Zeichne die Tangente \(t: y = \dfrac{3}{2} \cdot x + \dfrac{7}{2}\) an den Graphen von \(f\) im Punkt \(W\) ebenfalls in die Abbildung ein.
(3)
Die Normale \(n\), die Tangente \(t\) und die \(y\)-Achse schließen ein Dreieck ein.
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.
(5 + 1 + 3 Punkte)
d)
Ausgehend von der Funktion \(f\) wird nun die Gleichung einer transformierten Funktion \(f_\text{neu}\) gesucht.
Der Graph von \(f\) besitzt den lokalen Tiefpunkt \(T(-6 \mid-4)\).
Der Graph der Funktion \(f_\text{neu}\) entsteht durch Verschiebungen aus dem Graphen der Funktion \(f\). Der lokale Tiefpunkt \(T\) wird dabei in den Ursprung des Koordinatensystems verschoben.
Gib eine Gleichung von \(f_\text{neu}\) an.
(2 Punkte)
e)
Für jede Zahl \(a \in \mathbb{R},\) \(a \neq 0,\) ist durch die Gleichung \(f_a(x)=f(a \cdot x)\) eine Funktion \(f_a\) definiert.
(1)
Beschreibe, wie der Graph von \(f_2\) aus dem Graphen von \(f\) entsteht.
(2)
Bestimme alle Werte von \(a \in \mathbb{R},\) \(a \neq 0,\) für die \(x=1\) eine Nullstelle von \(f_a\) ist.
(2 + 2 Punkte)
f)
Die Funktion \(f\) ist die Ableitungsfunktion einer Funktion \(F\).
Gib an, wie viele lokale Minimal- und wie viele lokale Maximalstellen die Funktion \(F\) besitzt, und begründe deine Angaben.
(3 Punkte)

Aufgabe 4

pellets
Abbildung 1: Holzpellets[1]
Als Alternative zu Gas und Öl können auch Holzpellets als Brennstoff für Heizungen genutzt werden. Holzpellets werden aus Abfallprodukten der Holzindustrie hergestellt. Im Gegensatz zu Gas und Öl handelt es sich hierbei um einen nachwachsenden Rohstoff.
Der jeweilige Preis (in €) für eine Tonne Holzpellets von Anfang Januar 2022 bis Anfang Dezember 2022 kann für \(0 \leq t \leq 11\) näherungsweise mithilfe der auf \(\mathbb{R}\) definierten Funktion \(f\) mit
\(f(t) = -2{,}5 \cdot t^3 + 39{,}375 \cdot t^2 - 101{,}25 \cdot t + 370\)
beschrieben werden, wobei \(t\) die Zeit in Monaten angibt.
\(t = 0\) entspricht dem 01.01.2022,
\(t = 1\) entspricht dem 01.02.2022,
\(t = 2\) entspricht dem 01.03.2022 usw.
a)
(1)
Berechne den Preis für eine Tonne Holzpellets am 01.03.2022 und am 01.05.2022.
(2)
Berechne, um wie viel Prozent der Preis in diesem Zeitraum gestiegen ist.
(2 + 2 Punkte)
b)
Berechne die Länge des Zeitraums, in dem eine Tonne Holzpellets mindestens \(800 \,\text{€}\) gekostet hat.
(4 Punkte)
c)
Untersuche rechnerisch, zu welchem Zeitpunkt jeweils der niedrigste und der höchste Preis für die Holzpellets im Modellierungszeitraum vorgelegen hat, und gib den Unterschied zwischen diesen Preisen an.
(6 Punkte)
d)
Die Sekante, die durch den lokalen Tiefpunkt und den lokalen Hochpunkt des Graphen der Funktion \(f\) verläuft, wird mit \(s\) bezeichnet.
Berechne die Steigung der Sekante \(s\) und interpretiere diese Steigung im Sachzusammenhang.
(4 Punkte)
e)
(1)
Berechne \(f(11)+f
(2)
Interpretiere den in e) (1) berechneten Wert im Sachzusammenhang.
(1 + 2 Punkte)
f)
Eine Familie wird zu einem Zeitpunkt \(t\) im Jahr 2022 mit \(3500 \,\text{kg}\) Pellets beliefert. Neben den Kosten für Holzpellets fallen dafür auch Lieferkosten in Höhe von 90 € an.
Gib eine Gleichung der Funktion \(p\) an, durch die der Gesamtpreis \(p(t)\) (in €) für diese Lieferung in Abhängigkeit vom Zeitpunkt \(t\) gegeben ist.
(3 Punkte)