Aufgabe 2: Miniaturrampe

Fingerboards sind Miniaturskateboards, die mit dem Zeige- und Mittelfinger gefahren werden.

Alma und Tomek wollen sich eine Miniaturrampe mit einem 3D-Drucker anfertigen (Abbildung 1).

Für die Herstellung teilen sie die Rampe in die Teile Formula: E_1 und Formula: E_2.

Zunächst erstellen die beiden einen Entwurf für den Teil Formula: E_1 in der Seitenansicht (Abbildung 2).

Der linke Teil der Rampe Formula: E_1 soll $Formula: 10\;\mathrm{cm}$ $Formula: 10\;\mathrm{cm}$ hoch und am Boden $Formula: 15\;\mathrm{cm}$ $Formula: 15\;\mathrm{cm}$ lang sein.

Skizze eines Skateboarders auf einer Rampe mit den Bereichen E1 und E2.

Abbildung 1: Miniaturrampe für Fingerboards

Koordinatensystem mit schraffiertem Dreieck E₁ und den Punkten A(0|10), B(-15|0) sowie Gerade g.

Abbildung 2: Rampenabschnitt Formula: E_1

Begründe, dass mit den beiden Punkten Formula: A und Formula: B die Länge und die Höhe der Rampe richtig modelliert werden können.

Der schräge Teil der Rampe wird durch eine Gerade Formula: g dargestellt. Die Gerade hat die Funktionsgleichung $Formula: g(x)=\tfrac{2}{3}x+10.$ $Formula: g(x)=\tfrac{2}{3}x+10.$

Die Geradengleichung soll bestätigt werden. Bestimme mit dem Ansatz Formula: y=mx+b und den Punkten Formula: A und Formula: B die Geradengleichung für Formula: g.

Überprüfe, ob der Punkt $Formula: (-6\mid 4)$ $Formula: (-6\mid 4)$ auf der Geraden Formula: g liegt.

Für den Teil Formula: E_2 der Rampe nutzt Tomek die quadratische Funktion Formula: f mit $Formula: f(x)=a\cdot(x-d)^2+e.$ $Formula: f(x)=a\cdot(x-d)^2+e.$

Zur Bestimmung des Funktionsterms von Formula: f nutzt Tomek die Punktkoordinaten $Formula: A(0 \mid 10)$ $Formula: A(0 \mid 10)$ und $Formula: P(10 \mid 0)$ $Formula: P(10 \mid 0)$ (vgl. Abbildung 3).

Diagramm mit den Flächen E₁ und E₂ unter einer Kurve zwischen den Punkten B(-15|0) und A(0|10).

Abbildung 3: Rampenabschnitte Formula: E_1 und Formula: E_2

Begründe ohne Rechnung, weshalb die beiden Punktkoordinaten von Formula: A und Formula: P ausreichen, um den Funktionsterm von Formula: f eindeutig zu bestimmen.

Tomek hat bereits einen Teil der Funktionsgleichung bestimmt mit $Formula: f(x)=a \cdot(x-10)^2.$ $Formula: f(x)=a \cdot(x-10)^2.$ Zeige, dass bei der dargestellten Funktion der Wert Formula: a=0,1 beträgt.

In Abbildung 3 ist der Graph der Funktion Formula: f dargestellt mit $Formula: f(x)=0{,}1\cdot(x-10)^2.$ $Formula: f(x)=0{,}1\cdot(x-10)^2.$

Für den Druck mit dem 3D-Drucker müssen einige Werte in dem Programm eingetragen werden.

(1)

Gib an, für welche Werte von Formula: x die Funktion Formula: f den Verlauf der Rampe modelliert.

(2)

Bestimme rechnerisch die Stelle Formula: x, an welcher der Rampenabschnitt Formula: E_2 eine Höhe von $Formula: 2{,}5\;\mathrm{cm}$ $Formula: 2{,}5\;\mathrm{cm}$ hat.

Im 3D-Modell soll die Rampe später eine Tiefe von $Formula: 12\;\mathrm{cm}$ $Formula: 12\;\mathrm{cm}$ haben (Abbildung 4).

(1)

Schätze begründet ab, wie viel Kubikzentimeter Kunststoff als Material verbraucht werden. Notiere dein Vorgehen.

(2)

Entscheide begründet, ob bei deiner Abschätzung der Materialverbrauch zu groß oder zu klein abgeschätzt wird.

Illustration eines Papierfliegers mit markierten Flächen E₁ und E₂ sowie Maßangaben 10, 12, 15 und 10 cm.

Abbildung 4: 3D-Modell Rampe

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Die rechte untere Ecke liegt im Koordinatensystem im Ursprung $Formula: (0\mid 0).$ $Formula: (0\mid 0).$ Durch die Lage der Punkte $Formula: A(0\mid10)$ $Formula: A(0\mid10)$ und $Formula: B(-15\mid0)$ $Formula: B(-15\mid0)$ wird somit klar, dass die Rampe Formula: 10 Längeneinheiten hoch und Formula: 15 Längeneinheiten lang ist. Somit ist die Rampe richtig modelliert, wenn die Längeneinheit als $Formula: 1\;\text{cm}$ $Formula: 1\;\text{cm}$ gewählt wird.

Der Punkt Formula: A hat die Koordinaten $Formula: (0\mid10)$ $Formula: (0\mid10)$ und ist somit der Schnittpunkt der Geraden mit der Formula: y -Achse. Damit ergibt sich der Achsenabschnitt Formula: b als Formula: b=10. Einsetzen der Koordinaten von in den Ansatz Formula: y=mx+10 ergibt dann:

$Formula: \begin{array}{rlll} 0&=&m\cdot(-15)+10 &\quad\scriptsize\mid\;-10 \\[5pt] -10&=&-15m &\quad\scriptsize\mid\;:(-15) \\[5pt] \dfrac{2}{3}&=&m \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 0&=&m\cdot(-15)+10 &\quad\scriptsize\mid\;-10 \\[5pt] -10&=&-15m &\quad\scriptsize\mid\;:(-15) \\[5pt] \dfrac{2}{3}&=&m \end{array}$

Die Rechnung bestätigt somit die Gleichung $Formula: g(x)=\tfrac{2}{3}x+10.$ $Formula: g(x)=\tfrac{2}{3}x+10.$

Einsetzen der Koordinaten in Formula: g(x) liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} 4&=&\dfrac{2}{3}\cdot(-6)+10 \\[5pt] 4&=&6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 4&=&\dfrac{2}{3}\cdot(-6)+10 \\[5pt] 4&=&6 \end{array}$

Somit liegt der Punkt nicht auf der Geraden.

Der Punkt Formula: P ist laut Abbildung der Scheitelpunkt der Parabel. Da Formula: d und Formula: e genau die Koordinaten des Scheitelpunkts sind, ist damit nur noch Formula: a zu bestimmen. Einsetzen der Koordinaten von ergibt dann noch den Wert von Formula: a.

Einsetzen der Koordinaten Formula: A liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} 10&=&a\cdot(0-10)^2 \\[5pt] 10&=&100a &\quad\scriptsize\mid\;:100 \\[5pt] 0,1&=&a \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 10&=&a\cdot(0-10)^2 \\[5pt] 10&=&100a &\quad\scriptsize\mid\;:100 \\[5pt] 0,1&=&a \end{array}$

(1)

$Formula: 0\leq x \leq10$ $Formula: 0\leq x \leq10$

(2)

$Formula: \begin{array}{rlll} 2,5&=&0,1\cdot(x-10)^2 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot10 \\[5pt] 25&=&(x-10)^2 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \pm5&=&x-10 &\quad\scriptsize\mid\;+10 \\[5pt] 10\pm5&=&x \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 2,5&=&0,1\cdot(x-10)^2 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot10 \\[5pt] 25&=&(x-10)^2 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \pm5&=&x-10 &\quad\scriptsize\mid\;+10 \\[5pt] 10\pm5&=&x \end{array}$

Es gilt also Formula: x_1=15 und Formula: x_2=5. Da nur Werte von zwischen Formula: 0 und Formula: 10 infrage kommen, ergibt sich somit die Stelle Formula: x=5.

(1)

$Formula: \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 10 \cdot 12+\dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot 12=1500\;\text{cm}^3$ $Formula: \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 10 \cdot 12+\dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot 12=1500\;\text{cm}^3$

Die Rampenabschnitte Formula: E_1 und Formula: E_2 werden in dem Term jeweils als Prismen mit dreieckiger Grundfläche betrachtet. Der erste Summand des Terms beschreibt mit den passenden Maßen das Volumen des Teils und der zweite Summand den Teil Formula: E_2. Da der Teil nicht tatsächlich ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche ist, handelt es sich hierbei nur um eine Abschätzung.

(2)

Die obere Profillinie des Rampenabschnitts Formula: E_2 ist stärker geneigt als die direkte Verbindung zwischen den Eckpunkten dieser. Da somit die Grundfläche kleiner ist als das Dreieck aus dem Modell, ist insgesamt auch das Volumen dieses Rampenabschnitts geringer als modelliert, wodurch der maximale Verbrauch zu groß abgeschätzt wird.

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