Aufgabe 3: Reißzwecke

Eine Reißzwecke ist ein kurzer Nagel mit einem großen Kopf aus Metall. Eine Reißzwecke kann auf dem „Kopf“ oder auf der „Seite“ liegen bleiben (Abbildung 1).

In Hannahs Mathematikunterricht wird in acht Gruppen untersucht, mit welcher Häufigkeit das Ereignis „Seite“ eintritt.

Zwei Nägel in Ansicht von oben und von der Seite.

Abbildung 1: Reißzwecke auf dem Kopf und auf der Seite

Jede Gruppe bekommt dafür Formula: 25 identische Reißzwecken. Die Reißzwecken werden auf den Tisch fallen gelassen. Es werden die Reißzwecken gezählt, die auf der „Seite“ liegen geblieben sind. Die Ergebnisse der Gruppen Formula: A bis Formula: H sind in der folgenden Tabelle festgehalten:

	$Formula: \boldsymbol{A}$ $Formula: \boldsymbol{A}$	$Formula: \boldsymbol{B}$ $Formula: \boldsymbol{B}$	$Formula: \boldsymbol{C}$ $Formula: \boldsymbol{C}$	$Formula: \boldsymbol{D}$ $Formula: \boldsymbol{D}$	$Formula: \boldsymbol{E}$ $Formula: \boldsymbol{E}$	$Formula: \boldsymbol{F}$ $Formula: \boldsymbol{F}$	$Formula: \boldsymbol{G}$ $Formula: \boldsymbol{G}$	$Formula: \boldsymbol{H}$ $Formula: \boldsymbol{H}$	Summe
Anzahl der Reißzwecken
„Seite“

Bestimme die relative Häufigkeit des Ereignisses „Seite“ von Gruppe Formula: C in Prozent.

Die Anzahl, wie oft das Ereignis „Seite“ eingetreten ist, unterscheidet sich bei den Gruppen.

Erläutere, warum unterschiedliche Häufigkeiten zu erwarten sind.

(1)

Berechne die fehlenden Summen in der Tabelle.

(2)

Begründe, warum man den Wert Formula: 0{,}6 näherungsweise als Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Seite“ annehmen kann.

Hannah führt das Experiment gedanklich noch einmal durch und setzt es wie folgt fort:

Es werden Formula: 200 Reißzwecken geworfen. Alle Reißzwecken, die auf dem Kopf liegen geblieben sind, werden aussortiert. Nur die Reißzwecken, die auf der Seite liegen, werden erneut geworfen. Dieser Vorgang wird wiederholt.

Hannah nimmt an, dass die Anzahl der auf der Seite liegenden Reißzwecken mit der Funktion Formula: f mit $Formula: f(x)=200 \cdot 0,6^x$ $Formula: f(x)=200 \cdot 0,6^x$ beschrieben werden kann.

Begründe, dass die Funktion Formula: f geeignet ist, die Anzahl der auf der Seite liegenden Reißzwecken nach Wurf Formula: x zu beschreiben.

Berechne mit der Funktion Formula: f die zu erwartende Anzahl der Reißzwecken mit der Position„Seite“ nach dem 5. Wurf.

(1)

Löse die Ungleichung $Formula: 200 \cdot 0,6^x<1.$ $Formula: 200 \cdot 0,6^x<1.$ Notiere deinen Lösungsweg.

(2)

Interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang mit dem Reißzwecken-Experiment.

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$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{17}{14+13+17+19+15+8+21+12}&=&\dfrac{17}{119} \\[5pt] &=&0,1429 \\[5pt] &=&14,29\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{17}{14+13+17+19+15+8+21+12}&=&\dfrac{17}{119} \\[5pt] &=&0,1429 \\[5pt] &=&14,29\,\% \end{array}$

Die relative Häufigkeit ergibt sich somit als $Formula: 14,29\,\%.$ $Formula: 14,29\,\%.$

Es ist fast unmöglich, dass jede Gruppe ihre Reißzwecken unter genau dem gleichen Winkel und aus genau der gleichen Höhe fallen lässt. Somit unterscheidet sich auf ganz natürliche Weise, wie diese auf dem Tisch aufkommen und somit auch wie viele auf der „Seite“ liegen bleiben.

(1)

Für die Summe der Reißzwecken ergibt sich:

Formula: 25+25+25+25+25 $Formula: +25+25+25=8\cdot25=200$ $Formula: +25+25+25=8\cdot25=200$

Für die Summe des Ereignisses „Seite“ folgt:

Formula: 14+13+17+19+15 Formula: +8+21+12=119

(2)

Über die Würfe aller Gruppen gesehen ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für „Seite“ wie folgt:

$Formula: \dfrac{119}{200}=0,595\approx0,6$ $Formula: \dfrac{119}{200}=0,595\approx0,6$

Somit kann die Wahrscheinlichkeit näherungsweise als Formula: 0,6 angenommen werden.

Die Wahrscheinlichkeit für „Seite“ ist Formula: 0,6. Nach jedem Wurf wird somit erwartet, dass der Wert der Reißzwecken sind um den Faktor Formula: 1-0,6=0,4 verringert. Da anfangs Formula: 200 Reißzwecken geworfen werden, ist die Anzahl der Reißzwecken, die nach Formula: x Würfen auf der Seite liegen somit durch $Formula: 200\cdot0,6^x$ $Formula: 200\cdot0,6^x$ gegeben.

$Formula: \begin{array}{rlll} f(5)&=&200\cdot0,6^5 \\[5pt] &\approx&15,55 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f(5)&=&200\cdot0,6^5 \\[5pt] &\approx&15,55 \end{array}$

Die erwartete Anzahl an Reißzwecken ist somit Formula: 15 bis Formula: 16.

(1)

$Formula: \begin{array}{rlll} 200\cdot0,6^x&\lt&1 &\quad\scriptsize\mid\;:200 \\[5pt] 0,6^x&\lt&\dfrac{1}{200} &\quad\scriptsize\mid\;\log_{0,6} \\[5pt] x&\gt&10,37 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 200\cdot0,6^x&\lt&1 &\quad\scriptsize\mid\;:200 \\[5pt] 0,6^x&\lt&\dfrac{1}{200} &\quad\scriptsize\mid\;\log_{0,6} \\[5pt] x&\gt&10,37 \end{array}$

(2)

Nach dem 11. Wurf ist rechnerisch zu erwarten, dass keine Reißzwecke mehr auf der Seite liegen bleibt. Das Experiment ist dann voraussichtlich beendet, da alle Formula: 200 Reißzwecken aussortiert wurden.

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