Wurzelgleichungen
Wurzelgleichungen sind Gleichungen, in denen Wurzeln auftauchen. Diese werden durch Quadrieren gelöst. Da dies jedoch keine Äquivalenzumformung ist, muss nicht jede Lösung der quadrierten Gleichung eine Lösung der Wurzelgleichung sein.
Wenn 
gilt, so gilt auch 
Die Umkehrung muss jedoch nicht gelten. Beispielsweise gilt 
aber 
gilt, so gilt auch Die Umkehrung muss jedoch nicht gelten. Beispielsweise gilt aber
Vorgehensweise beim Lösen von Wurzelgleichungen
| 1. Gleichung umformen, sodass die Wurzel allein auf einer Seite steht |
![\(\begin{array}[t]{rll}
3\cdot \sqrt{x-1}&=&9 &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt]
\sqrt{x-1}&=&3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6eb147b3929b33724c4ba8da20b472b6d9d1f623c7d5f028c8cab1c286dea8f6_light.svg) |
| 2. Gleichung quadrieren | ![\(\begin{array}[t]{rll}
\left(\sqrt{x-1}\right)^2&=&3^2 \\[5pt]
x-1&=& 9
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/913edecdb67384d5b244bb0001b7388920f1106ef8d01ab50ddff5a5eb95c079_light.svg) |
| 3. Gleichung umformen, sodass nur die Variable auf einer Seite steht |
![\(\begin{array}[t]{rll}
x-1&=& 9&\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt]
\quad \quad \quad \quad x&=& 10
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f6319952cc8456e634b3afe86729a8946b22d3292105fc80323de2590908d382_light.svg) |
| 4. Probe durchführen, da Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist |
 |
| 5. Lösungsmenge angeben |  |
1
Bestimme die Lösungsmenge der Wurzelgleichung.
a)
b)
c)
d)
2
Eine Zahl wird quadriert und um 7 erhöht. Nimmt man die Wurzel daraus und zieht 1 ab, so ergibt sich das Negative der gesuchten Zahl. Wie heißt die Zahl?
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1
a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sqrt{x+5}&=& 3 \quad \scriptsize \mid\; (\,)^2\\[5pt]
x+5&=& 9 \quad \scriptsize \mid\; -5 \\[5pt]
x&=& 4
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0b7adb29daca6d41aa15c4643a5d7108f862e6de5df818bce5877cfa926c793f_light.svg)
Probe: 
b)
![\(\begin{array}[t]{rll}
x&=& \sqrt{2x^2-1} \quad \scriptsize \mid\; (\,)^2 \\[5pt]
x^2&=& 2x^2-1 \quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt]
x^2+1&=& 2x^2 \quad \scriptsize \mid\; -x^2 \\[5pt]
1&=& x^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt]
\pm 1&=& x
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/63cb3ffa6b0751c6b2ec43c5c7a68c8bb253092ef87b7c5926887b8924a57580_light.svg)
Probe:
c)
![\(\begin{array}[t]{rll}
2\sqrt{x^2+9}&=& 10 \quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt]
\sqrt{x^2+9}&=& 5 \quad \scriptsize \mid\; (\,)^2 \\[5pt]
x^2+9&=& 25 \quad \scriptsize \mid\;-9 \\[5pt]
x^2&=& 16 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt]
x&=& \pm 4
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7b0756d15eeb33d16e63da5f97116f44e073bd8331de86bfa4c6a23d94de4afc_light.svg)
Probe:
d)
![\(\begin{array}[t]{rll}
x&=& \sqrt{10+2x}-1 \quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt]
x+1&=& \sqrt{10+2x} \quad \scriptsize \mid\; (\,)^2\\[5pt]
x^2+2x+1&=& 10+2x \quad \scriptsize \mid\; -2x-1\\[5pt]
x^2&=& 9 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt]
x&=& \pm 3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e82e414c5bb833952fdbb6a89586293354dc2d4d3ff8c38725d8641220fb0458_light.svg)
Probe:
2
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sqrt{x^2+7}-1&=& -x \quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt]
\sqrt{x^2+7}&=& -x+1 \quad \scriptsize \mid\; (\,)^2 \\[5pt]
x^2+7&=& x^2-2x+1 \quad \scriptsize \mid\; -x^2-1\\[5pt]
6&=& -2x \quad \scriptsize \mid\; :(-2)\\[5pt]
-3&=& x
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/302a2b66a3742f81ea2301dabeadf2dcc355f68799c29af1251dbc20aecb8938_light.svg)
Probe: 
Die gesuchte Zahl ist 
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