Analytische Geometrie 3 - Pyramide

Abbildung 1 zeigt die Pyramide $ABCDS$ mit $A(0\mid0\mid0),$ $B(2\mid0\mid 0),$ $C(2\mid2\mid 0),$ $D(0\mid4\mid0)$ und $S(0\mid0\mid 3,5).$

Abb. 1

Begründe, dass die Grundfläche der Pyramide ein Trapez ist.
Berechne das Volumen der Pyramide.

(4 BE)

Zeige, dass das Dreieck $CDS$ rechtwinklig ist.

(2 BE)

In Abbildung 2 ist ein Teil eines Netzes der Pyramide $ABCDS$ dargestellt.
Ergänze Abbildung 2 so, dass ein vollständiges Netz der Pyramide $ABCDS$ dargestellt ist.

(2 BE)

Abb. 2

Die Seitenfläche $CDS$ der Pyramide liegt in der Ebene $E.$

Bestimme eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $7 x+7 y+8 z=28$ )

(4 BE)

Berechne die Größe des Winkels zwischen der Ebene $E$ und der Ebene $F,$ in der die Seitenfläche $ADS$ der Pyramide liegt.

(3 BE)

Betrachtet werden die Würfel, von denen drei Seitenflächen in den drei Koordinatenebenen liegen. Abbildung 3 zeigt einen dieser Würfel. Unter diesen Würfeln gibt es einen, bei dem ein Eckpunkt auf der Kante $\overline{CS}$ der Pyramide liegt.
Berechne die Kantenlänge dieses Würfels und begründe, dass kein Punkt dieses Würfels außerhalb der Pyramide liegt.

Abb. 3

(5 BE)

(20 BE)

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Trapezform der Grundfläche begründen

Die beiden Punktpaare $A$ und $D$ bzw. $B$ und $C$ haben gleiche $x$ -Koordinaten, womit die beiden Seiten $\overline{AD}$ und $\overline{BC}$ der Grundfläche parallel zueinander sind. Somit ist diese ein Trapez.

Volumen der Pyramide berechnen

Da die Grundfläche in der $xy$ -Ebene liegt, ist die Höhe $h$ der Pyramide durch die $z$ -Koordinate von $S$ gegeben und beträgt somit $h=3,5\;\text{LE}.$ Die Länge der Seiten $\overline{AB}$ bzw. $\overline{AD}$ lassen sich aus den Koordinaten direkt als $2\;\text{LE}$ bzw. $4\;\text{LE}$ ablesen. Für die Länge von $\overline{BC}$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \left\vert\overrightarrow{BC}\right\vert&=&\left\vert\pmatrix{2-2\\2-0\\0-0}\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{0^2+2^2+0^2} \\[5pt] &=&2\;[\text{LE}] \end{array}$

Für das Volumen $V$ der Pyramide folgt somit:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& \dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{(4+2)\cdot2}{2}\cdot3,5 \\[5pt] &=&7\;[\text{VE}] \end{array}$

Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{CS}\circ\overrightarrow{CD} = 0$

Mit den Vektoren $\overrightarrow{CD}$ und $\overrightarrow{CS}$ aus Aufgabenteil b) folgt als ein Normalenvektor von $E:$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=&\overrightarrow{CD}\times\overrightarrow{CS} \\[5pt] &=&\pmatrix{-2\\2\\0}\times\pmatrix{-2\\-2\\3,5} \\[5pt] &=&\pmatrix{2\cdot3,5-0\\0-((-2)\cdot3,5)\\(-2)\cdot(-2)-(2\cdot (-2))} \\[5pt] &=&\pmatrix{7\\7\\8} \end{array}$

Einsetzen der Koordinaten von $S$ in $E:7x+7y+8z=c$ liefert weiter:

$\begin{array}[t]{rll} 7\cdot0+7\cdot0+8\cdot3,5&=&c \\[5pt] 28&=&c \end{array}$

Somit ergibt sich $E:7x+7y+8z=28$ als eine Ebenengleichung von $E$ in Koordinatenform.

Die Seitenfläche $ADS$ liegt in der $yz$ -Ebene und besitzt somit den folgenden Normalenvektor:

$\overrightarrow{n_{yz}}=\pmatrix{1\\0\\0}$

Mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene $E$ aus Aufgabenteil d) folgt für die Größe des Winkels zwischen den beiden Ebenen $E$ und $F:$

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\left\vert\overrightarrow{n}\circ\overrightarrow{n_{yz}}\right\vert}{\left\vert\overrightarrow{n}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{n_{yz}}\right\vert} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{\left\vert\pmatrix{7\\7\\8}\circ\pmatrix{1\\0\\0}\right\vert}{\left\vert\pmatrix{7\\7\\8}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{1\\0\\0}\right\vert} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{7}{\sqrt{162}\cdot\sqrt{1}} \\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{7}{\sqrt{162}}\right) \\[5pt] \alpha&\approx&56,6^\circ \end{array}$

Kantenlänge des Würfels berechnen

Der Eckpunkt, welcher für einen bestimmten Würfel auf der Kante $\overline{CS}$ liegt, besitzt die allgemeinen Koordinaten $(k\mid k\mid k).$ Gleichsetzen mit der Gleichung der Geraden durch die Punkte $C$ und $S$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{k\\k\\k}&=&\overrightarrow{OC}+s\cdot\overrightarrow{CS} \\[5pt] &=&\pmatrix{2\\2\\0}+s\cdot\pmatrix{-2\\-2\\3,5} \end{array}$

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&k&=& 2 -2s \\ \text{II}\quad&k&=& 2 -2s \\ \text{III}\quad&k&=& 3,5s \\ \end{array}$

Addition von $1,75\cdot\text{II}$ zu Gleichung $\text{III}$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 2,75k&=& 2\cdot1,75 &\quad \scriptsize \mid\;:2,75 \\[5pt] k&=&\dfrac{14}{11} \end{array}$

Der Eckpunkt besitzt somit die Koordinaten $\left(\frac{14}{11}\mid \frac{14}{11}\mid \frac{14}{11}\right),$ womit die Kantenlänge des Würfels $\frac{14}{11}\;\text{LE}$ beträgt.

Lage der Punkte des Würfels begründen

Die Abbildung zeigt, dass es reicht zu überprüfen, ob der Eckpunkt mit den Koordinaten $\left(\frac{14}{11}\mid 0\mid \frac{14}{11}\right)$ außerhalb der Pyramide liegt oder nicht. Gleichsetzen mit der Gleichung der Geraden durch die Punkte $B$ und $S$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{\frac{14}{11}\\0\\\frac{14}{11}}&=&\overrightarrow{OB}+t\cdot\overrightarrow{BS} \\[5pt] &=&\pmatrix{2\\0\\0}+s\cdot\pmatrix{-2\\0\\3,5} \end{array}$

Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&\dfrac{14}{11}&=& 2-2t \\ \text{II}\quad&\dfrac{14}{11}&=&3,5t \\ \end{array}$

Aus Gleichung $\text{II}$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{14}{11}&=&3,5t &\quad \scriptsize \mid\;:3,5 \\[5pt] \dfrac{4}{11}&=&t \end{array}$

Einsetzen in Gleichung $\text{I}$ als Probe liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{14}{11}&=&2-2\cdot\dfrac{4}{11} \\[5pt] \dfrac{14}{11}&=&\dfrac{22}{11}-\dfrac{8}{11} \\[5pt] \dfrac{14}{11}&=&\dfrac{14}{11} \end{array}$

Somit ist $t=\frac{4}{11}$ eine Lösung des Gleichungsystems, das heißt der Punkt mit den Koordinaten $\left(\frac{14}{11}\mid 0\mid \frac{14}{11}\right)$ liegt auf der Kante $\overline{BS}$ der Pyramide. Damit liegt kein Punkt des Würfels außerhalb der Pyramide.

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