Wahlaufgaben

1.4.1 Analysis

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion Formula: f mit $Formula: f(x) = \sin x$ $Formula: f(x) = \sin x$ sowie das Dreieck Formula: ABC, dessen Eckpunkte Formula: A, B und Formula: C drei direkt aufeinanderfolgende Extrempunkte des Graphen von sind.

Koordinatensystem mit gestrichelter Sinuskurve und markierten Punkten A (Hochpunkt), B (Tiefpunkt), C (Hochpunkt)

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks Formula: ABC.

2 BE

Gegeben ist außerdem die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: g mit $Formula: g(x)=2 \cdot \sin \left(\tfrac{1}{3} x\right).$ $Formula: g(x)=2 \cdot \sin \left(\tfrac{1}{3} x\right).$

Betrachtet wird die Strecke zwischen zwei direkt aufeinanderfolgenden Extrempunkten des Graphen von Formula: g. Untersuche, ob die Strecke zwischen diesen beiden Extrempunkten kürzer als die Strecke $Formula: \overline{AB}$ $Formula: \overline{AB}$ ist.

3 BE

1.4.2 Analytische Geometrie

Betrachtet wird das Dreieck Formula: ABC mit den Eckpunkten $Formula: A(0 \mid 0 \mid 0), B(6 \mid 2 \mid 3)$ $Formula: A(0 \mid 0 \mid 0), B(6 \mid 2 \mid 3)$ und $Formula: C(t \mid -3t \mid 0),$ $Formula: C(t \mid -3t \mid 0),$ wobei Formula: t eine positive reelle Zahl ist.

Zeige, dass das Dreieck Formula: ABC in einen rechten Winkel hat.

2 BE

Das Dreieck Formula: ABC ist gleichschenklig. Berechne Formula: t.

3 BE

1.4.3 Stochastik

Die Abbildung zeigt Werte der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße Formula: X mit den Parametern Formula: n=20 und Formula: p . Der Erwartungswert von ist ganzzahlig.

Graues Balkendiagramm: diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung für k=0–12, höchste Balken bei k=3–5, Achsenbeschriftung P(X=k) und k.

Ermittle den Wert von Formula: p.

2 BE

Gib die natürlichen Zahlen Formula: v und Formula: w an, für die gilt:

$Formula: P(X=v)\approx0,175$ $Formula: P(X=v)\approx0,175$

$Formula: 0,15\lt P(X \leq w)\lt0,25$ $Formula: 0,15\lt P(X \leq w)\lt0,25$

3 BE

1.5.1 Analysis

Die Abbildung zeigt den Graphen der ersten Ableitungsfunktion $Formula: f^{\prime}$ $Formula: f^{\prime}$ einer in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion Formula: f. Die einzige Nullstelle von $Formula: f^{\prime}$ $Formula: f^{\prime}$ ist Formula: −3 .

Begründe, dass Formula: f für $Formula: x \le -3$ $Formula: x \le -3$ monoton fallend und für $Formula: x \ge -3$ $Formula: x \ge -3$ monoton steigend ist.

2 BE

Es gilt Formula: f(-3)=2. Beurteile die folgende Aussage:

Ist $Formula: \textit{F}$ $Formula: \textit{F}$ eine Stammfunktion von $Formula: \textit{f,}$ $Formula: \textit{f,}$ dann besitzt der Graph von $Formula: \textit{F}$ $Formula: \textit{F}$ keinen Extrempunkt.

3 BE

Koordinatensystem mit Raster und beschriftetem Graph von f', Kurve mit Maximum bei ca. x=-2, fällt danach gegen 0.

1.5.2 Analytische Geometrie

Betrachtet werden die Punkte Formula: A, B und Formula: C mit $Formula: A (2 \mid -3 \mid -1)$ $Formula: A (2 \mid -3 \mid -1)$ und $Formula: B (10 \mid -5 \mid 3).$ $Formula: B (10 \mid -5 \mid 3).$ Für den Punkt gelten die folgenden Aussagen:

Die -Koordinate von ist
Die Gerade und die Gerade verlaufen senkrecht zueinander.
Der Punkt liegt in der Ebene mit der Gleichung

Ermittle die Koordinaten von Formula: C.

5 BE

1.5.3 Stochastik

Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße Formula: X mit dem Erwartungswert $Formula: \mu=20$ $Formula: \mu=20$ und der Standardabweichung $Formula: \sigma=2.$ $Formula: \sigma=2.$ Bestimme einen parameterfreien Term, mit dem die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Formula: X=21 berechnet werden kann.

5 BE

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

1.4.1 Analysis

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{ABC}&=&\dfrac{1}{2} \cdot \left|\overline{AC}\right| \cdot \left(y_A - y_B\right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot 2\pi \cdot (1- (-1)) \\[5pt] &=& 2\pi \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{ABC}&=&\dfrac{1}{2} \cdot \left|\overline{AC}\right| \cdot \left(y_A - y_B\right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot 2\pi \cdot (1- (-1)) \\[5pt] &=& 2\pi \end{array}$

Der Graph von Formula: g kann aus dem Graphen von Formula: f durch eine Streckung in Formula: x -Richtung und eine Streckung in Formula: y -Richtung erzeugt werden, wobei jeweils der Faktor größer als Formula: 1 ist. Daher ist die betrachtete Strecke nicht kürzer als $Formula: \overline{AB}.$ $Formula: \overline{AB}.$

1.4.2 Analytische Geometrie

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AC}&=&\begin{pmatrix}6 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} t \\ -3t \\ 0\end{pmatrix} \\[5pt] &=&6 \cdot t + 2 \cdot (-3t) + 3 \cdot 0\\[5pt] &=&6t - 6t \\[5pt] &=& 0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AC}&=&\begin{pmatrix}6 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} t \\ -3t \\ 0\end{pmatrix} \\[5pt] &=&6 \cdot t + 2 \cdot (-3t) + 3 \cdot 0\\[5pt] &=&6t - 6t \\[5pt] &=& 0 \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \left\vert\overrightarrow{AB}\right\vert&=&\left\vert\overrightarrow{AC}\right\vert \\[5pt] \sqrt{6^2+2^2+3^2}&=&\sqrt{t^2+(-3t)^2} \\[5pt] \sqrt{49}&=&\sqrt{10}t &\quad\scriptsize\mid\;:\sqrt{10} \\[5pt] \dfrac{7}{\sqrt{10}}&=&t \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \left\vert\overrightarrow{AB}\right\vert&=&\left\vert\overrightarrow{AC}\right\vert \\[5pt] \sqrt{6^2+2^2+3^2}&=&\sqrt{t^2+(-3t)^2} \\[5pt] \sqrt{49}&=&\sqrt{10}t &\quad\scriptsize\mid\;:\sqrt{10} \\[5pt] \dfrac{7}{\sqrt{10}}&=&t \end{array}$

1.4.3 Stochastik

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Formula: X hat bei Formula: k=4 seinen größten Wert, somit gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 20\cdot p&=&4 &\quad\scriptsize\mid\;:20 \\[5pt] p&=&0,2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 20\cdot p&=&4 &\quad\scriptsize\mid\;:20 \\[5pt] p&=&0,2 \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} v&=&5 \\[5pt] w&=&2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} v&=&5 \\[5pt] w&=&2 \end{array}$

1.5.1 Analysis

Die Ableitungsfunktion $Formula: f^{\prime}$ $Formula: f^{\prime}$ wechselt an ihrer einzigen Nullstelle Formula: −3 ihr Vorzeichen von Minus nach Plus.

Die Aussage ist wahr.

Der Graph von Formula: f besitzt mit dem Tiefpunkt $Formula: (-3 \mid 2)$ $Formula: (-3 \mid 2)$ seinen einzigen Extrempunkt. Da folglich ausschließlich positive Funktionswerte annimmt, hat $Formula: F^{\prime}=f$ $Formula: F^{\prime}=f$ keine Nullstelle.

1.5.2 Analytische Geometrie

Laut der ersten Bedingung hat Formula: C die allgemeinen Koordinaten $Formula: C(x\mid y\mid 6).$ $Formula: C(x\mid y\mid 6).$ Damit liefert die zweite Bedingung:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AC}&=&0 \\[5pt] \pmatrix{8\\-2\\4}\circ\pmatrix{x-2\\y+3\\7}&=&0 \\[5pt] 8x-16-2y-6+28&=&0 \\[5pt] 8x-2y+6&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AC}&=&0 \\[5pt] \pmatrix{8\\-2\\4}\circ\pmatrix{x-2\\y+3\\7}&=&0 \\[5pt] 8x-16-2y-6+28&=&0 \\[5pt] 8x-2y+6&=&0 \end{array}$

Zusammen mit der dritten Bedingung lässt sich somit das folgende Gleichungssystem aufstellen:

$Formula: \text{I}\;$ $Formula: \text{I}\;$
$Formula: \text{II}\;$ $Formula: \text{II}\;$

Addieren der beiden Gleichungen liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 9x+6&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-6 \\[5pt] 9x&=&-6 &\quad\scriptsize\mid\;:9 \\[5pt] x&=&-\dfrac{2}{3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 9x+6&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-6 \\[5pt] 9x&=&-6 &\quad\scriptsize\mid\;:9 \\[5pt] x&=&-\dfrac{2}{3} \end{array}$

Einsetzen in Gleichung $Formula: \text{II}$ $Formula: \text{II}$ liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} -\dfrac{2}{3}+2y&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+\frac{2}{3} \\[5pt] 2y&=&\dfrac{2}{3} &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] y&=&\dfrac{1}{3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} -\dfrac{2}{3}+2y&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+\frac{2}{3} \\[5pt] 2y&=&\dfrac{2}{3} &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] y&=&\dfrac{1}{3} \end{array}$

Damit ergeben sich die Koordinaten von Formula: C als $Formula: C(-\tfrac{2}{3}\mid \tfrac{1}{3}\mid6).$ $Formula: C(-\tfrac{2}{3}\mid \tfrac{1}{3}\mid6).$

1.5.3 Stochastik

Es gilt $Formula: \mu=n\cdot p$ $Formula: \mu=n\cdot p$ und $Formula: \sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}.$ $Formula: \sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}.$ Mit den Werten aus der Aufgabenstellung ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sigma&=&2 \\[5pt] \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} &=& 2\\[5pt] \sqrt{20\cdot (1-p)}&=&2 &\quad\scriptsize\mid\;^2 \\[5pt] 20\cdot (1-p)&=&4 &\quad\scriptsize\mid\;:20 \\[5pt] 1-p&=&0,2 &\quad\scriptsize\mid\;+p \\[5pt] 1&=&0,2 + p &\quad\scriptsize\mid\;-0,2 \\[5pt] 0,8&=&p \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sigma&=&2 \\[5pt] \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} &=& 2\\[5pt] \sqrt{20\cdot (1-p)}&=&2 &\quad\scriptsize\mid\;^2 \\[5pt] 20\cdot (1-p)&=&4 &\quad\scriptsize\mid\;:20 \\[5pt] 1-p&=&0,2 &\quad\scriptsize\mid\;+p \\[5pt] 1&=&0,2 + p &\quad\scriptsize\mid\;-0,2 \\[5pt] 0,8&=&p \end{array}$

Einsetzen in den Erwartungswert liefert für Formula: n:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll}\mu&=&20 \\[5pt] n\cdot p&=&20 \\[5pt] 0,8n &=&20 &\quad\scriptsize\mid\;:0,8 \\[5pt] n&=&25 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll}\mu&=&20 \\[5pt] n\cdot p&=&20 \\[5pt] 0,8n &=&20 &\quad\scriptsize\mid\;:0,8 \\[5pt] n&=&25 \end{array}$

Der gesuchte parameterfreie Term für die Wahrscheinlichkeit ist somit gegeben durch $Formula: \tbinom{25}{21}\cdot0,8^{21}\cdot0,2^4.$ $Formula: \tbinom{25}{21}\cdot0,8^{21}\cdot0,2^4.$

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?