Analysis 2.2 - Speicherofen

Abbildung 1 zeigt den Graphen Formula: G_f der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion $Formula: f: x \mapsto 3 \mathrm{e}^x+1.$ $Formula: f: x \mapsto 3 \mathrm{e}^x+1.$

Begründe anhand des Funktionsterms von Formula: f, dass Formula: G_f keinen Schnittpunkt mit der Formula: x -Achse hat.

Gib die Wertemenge von Formula: f an.

3 BE

Betrachtet wird die Tangente Formula: t an Formula: G_f im Schnittpunkt von mit der Formula: y -Achse.

Ermittle rechnerisch eine Gleichung von Formula: t.

(zur Kontrolle: Formula: y=3 x+4 )

3 BE

Koordinatensystem mit einer ansteigenden Exponentialkurve.

Abb. 1

Die Tangente Formula: t schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Berechne den Umfang des Dreiecks.

3 BE

Formula: G_f schließt mit der Formula: y -Achse und den Geraden mit den Gleichungen Formula: y=1 und Formula: x=u mit $Formula: u\lt0$ $Formula: u\lt0$ eine Fläche ein. In Abbildung 2 ist diese Fläche für einen bestimmten Wert von schraffiert dargestellt.

Weise nach, dass sich der Inhalt der beschriebenen Fläche mit dem Term $Formula: 3-3 \mathrm{e}^u$ $Formula: 3-3 \mathrm{e}^u$ berechnen lässt.

3 BE

Für die in Abbildung 2 schraffiert dargestellte Fläche gilt $Formula: u=-\ln 5.$ $Formula: u=-\ln 5.$ Für eine Zahl Formula: a teilt die Gerade mit der Gleichung Formula: x=a diese Fläche in zwei Flächenstücke gleichen Inhalts. Ermittle Formula: a.

3 BE

Koordinatensystem mit steigender Kurve Gf, schraffierte Fläche zwischen Kurve und y‑Achse, gestrichelte Linie bei x=u links von 0.

Abb. 2

Betrachtet wird die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: k mit $Formula: k(x)=60 \mathrm{e}^{-\tfrac{1}{400} x}+20.$ $Formula: k(x)=60 \mathrm{e}^{-\tfrac{1}{400} x}+20.$

Der Graph von Formula: k kann aus dem Graphen von Formula: f erzeugt werden durch eine Streckung in Formula: y -Richtung mit dem Faktor Formula: 20 sowie durch weitere Veränderungen, die durch den Faktor $Formula: -\tfrac{1}{400}$ $Formula: -\tfrac{1}{400}$ hervorgerufen werden. Gib diese weiteren Veränderungen an.

2 BE

Speicheröfen geben beim Abkühlen über ihre Oberfläche Wärme an die Umgebung ab. Die Entwicklung der Oberflächentemperatur eines bestimmten Speicherofens bei einem Abkühlvorgang wird modellhaft durch die Funktion Formula: k aus der Aufgabe 1f) beschrieben. Dabei ist Formula: x mit $Formula: x\geq 0$ $Formula: x\geq 0$ die seit Beginn des Abkühlvorgangs vergangene Zeit in Minuten und Formula: k (x) die Oberflächentemperatur des Speicherofens in $Formula: ^{\circ}\mathrm{C}.$ $Formula: ^{\circ}\mathrm{C}.$ Vereinfachend wird angenommen, dass die Oberflächentemperatur an allen Stellen des Speicherofens gleich groß ist.

Gib die Oberflächentemperatur des Speicherofens zu Beginn des Abkühlvorganges an.

1 BE

Für die erste Ableitungsfunktion $Formula: k^{\prime}$ $Formula: k^{\prime}$ von gilt: $Formula: k^{\prime}(x)=-\tfrac{1}{400} \cdot 60 \mathrm{e}^{-\tfrac{1}{400} x}$ $Formula: k^{\prime}(x)=-\tfrac{1}{400} \cdot 60 \mathrm{e}^{-\tfrac{1}{400} x}$

Untersuche, ob die mittlere Änderungsrate der Oberflächentemperatur innerhalb der ersten Formula: 60 Minuten des Abkühlvorgangs um mehr als $Formula: 10\,\%$ $Formula: 10\,\%$ von der momentanen Änderungsrate der Oberflächentemperatur Minuten nach Beginn des Abkühlvorgangs abweicht.

4 BE

Der Term Formula: k(x)-20 gibt die Differenz zwischen der Oberflächentemperatur und der Umgebungstemperatur in $Formula: ^{\circ}\mathrm{C}$ $Formula: ^{\circ}\mathrm{C}$ in Abhängigkeit von der Zeit an. Begründe, dass im verwendeten Modell die folgende Aussage wahr ist:

Es gibt eine Konstante $Formula: \textit{c,}$ $Formula: \textit{c,}$ sodass zu jedem Zeitpunkt die Differenz zwischen der Oberflächentemperatur und der Umgebungstemperatur das $Formula: \textit{c}$ $Formula: \textit{c}$ -Fache der momentanen Änderungsrate der Oberflächentemperatur ist.

3 BE

25 BE

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