Analysis 2.1 - Modelleisenbahn

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der ersten Ableitungsfunktion $Formula: f^{\prime}$ $Formula: f^{\prime}$ mit $Formula: f^{\prime}(x)=x^2 \cdot\left(\tfrac{1}{3} x+1\right)$ $Formula: f^{\prime}(x)=x^2 \cdot\left(\tfrac{1}{3} x+1\right)$ einer in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion Formula: f.

Graph von f' in Koordinatensystem: geschwungene Kurve mit Hochpunkt links, Nullstelle bei x≈0 und steigend rechts

Abb.1

Gib das Verhalten von $Formula: f^{\prime}$ $Formula: f^{\prime}$ für $Formula: x \rightarrow-\infty$ $Formula: x \rightarrow-\infty$ und für $Formula: x \rightarrow+\infty$ $Formula: x \rightarrow+\infty$ an.

2 BE

Begründe, dass an der Stelle Formula: -3 jede Stammfunktion von $Formula: f^{\prime}$ $Formula: f^{\prime}$ ihr Minimum annimmt.

2 BE

Betrachtet wird die Funktion Formula: f mit $Formula: f(x)=\tfrac{1}{12}\left(x^4+4 x^3+24\right)$ $Formula: f(x)=\tfrac{1}{12}\left(x^4+4 x^3+24\right)$ .

Die oben betrachtete Funktion $Formula: f^{\prime}$ $Formula: f^{\prime}$ ist die erste Ableitungsfunktion von Formula: f.

Der Graph der Funktion Formula: f besitzt genau zwei Wendepunkte.

Berechne die Koordinaten dieser Wendepunkte.

4 BE

Weise nach, dass die Gerade Formula: t mit der Gleichung $Formula: t(x)=\tfrac{4}{3} x+\tfrac{10}{3}$ $Formula: t(x)=\tfrac{4}{3} x+\tfrac{10}{3}$ eine Tangente an den Graphen der Funktion Formula: f im Punkt $Formula: \left(-2 \mid \tfrac{2}{3}\right)$ $Formula: \left(-2 \mid \tfrac{2}{3}\right)$ ist.

2 BE

Eine Gerade Formula: h geht durch Verschiebung um Formula: z Einheiten in negative Formula: y -Richtung aus der Geraden Formula: t aus Aufgabe d) hervor (siehe Abbildung 2). Der Wert des Abstandes der beiden Geraden beträgt Formula: 5 . Ermittle unter Verwendung der Abbildung 2 einen Wert von Formula: z .

Koordinatensystem mit x- und y-Achse, zwei schrägen Geraden t und h und einer Verbindungslinie mit Winkel α

Abb. 2

4 BE

Bei einer Modelleisenbahn liegen alle Schienen auf einer ebenen Holzplatte. Die Abbildung 3 zeigt den Punkt $Formula: A\left(-2 \mid \tfrac{4}{3}\right)$ $Formula: A\left(-2 \mid \tfrac{4}{3}\right)$ sowie modellhaft den Schienenverlauf einer Modelleisenbahn in der Draufsicht. Der Schienenverlauf ist in Bezug auf ein Koordinatensystem sowohl achsensymmetrisch zur Formula: x -Achse als auch zur Formula: y -Achse. Derjenige Teil, der gemäß dem Modell im Intervall $Formula: -2 \leq x \leq 2$ $Formula: -2 \leq x \leq 2$ oberhalb der -Achse verläuft, wird als oberer Schienenverlauf bezeichnet, der darunter liegende als unterer Schienenverlauf. Beide Schienenverläufe sind durch zwei Halbkreise miteinander verbunden und gehen waagerecht in diese über. Im Intervall $Formula: -2 \leq x \leq 0$ $Formula: -2 \leq x \leq 0$ wird ein Teil des oberen Schienenverlaufs durch den Graphen Formula: G der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion mit $Formula: g(x)=\tfrac{1}{3} x^3+x^2$ $Formula: g(x)=\tfrac{1}{3} x^3+x^2$ modelliert. Die Spurbreite der Schienen soll vernachlässigt werden. Es gilt: $Formula: 1 \mathrm{~LE}=1 \mathrm{~m}.$ $Formula: 1 \mathrm{~LE}=1 \mathrm{~m}.$

Koordinatendiagramm mit liegender Acht als oberer/unterer Schienenverlauf auf Holzplatte, Achsenbeschriftung, Punkt A links oben.

Abb. 3

Weise nach, dass der gesamte Schienenverlauf auf eine rechteckige Holzplatte mit den Seitenlängen von $Formula: 2,7 \mathrm{~m}$ $Formula: 2,7 \mathrm{~m}$ und $Formula: 6,7 \mathrm{~m}$ $Formula: 6,7 \mathrm{~m}$ passt.

2 BE

Der gesamte Schienenverlauf schließt zwei Flächenstücke vollständig ein. Berechne den Inhalt der eingeschlossenen Fläche in Quadratmetern.

4 BE

Im Modell wird im Punkt $Formula: Q\left(x_Q \mid y_Q\right)$ $Formula: Q\left(x_Q \mid y_Q\right)$ des Schienenverlauf der Modelleisenbahn ein Sensor befestigt, der bei der Durchfahrt eines Zuges einen Signalton abgibt.

Für die Koordinaten des Punkts Formula: Q gelten im Modell folgende Bedingungen:

$Formula: y_Q=-g\left(-x_Q\right)$ $Formula: y_Q=-g\left(-x_Q\right)$
$Formula: g^{\prime}\left(-x_Q\right)=0$ $Formula: g^{\prime}\left(-x_Q\right)=0$ mit $Formula: x_Q \neq 0$ $Formula: x_Q \neq 0$

Beschreibe unter Zuhilfenahme der Abbildung 3 die Lage des Sensors.

2 BE

Der Schienenverlauf zwischen dem Punkt Formula: A und dem Punkt $Formula: O(0 \mid 0)$ $Formula: O(0 \mid 0)$ besitzt eine Länge von etwa $Formula: 2,5 \mathrm{~m}.$ $Formula: 2,5 \mathrm{~m}.$ Ein Zug der Modelleisenbahn fährt mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von $Formula: 3,5 \mathrm{~m}$ $Formula: 3,5 \mathrm{~m}$ pro Minute.

Ermittle die Zeit, die ein Zug von einer beliebigen Position aus benötigt, um nach einer vollen Umrundung diese Position wieder zu erreichen.

3 BE

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$Formula: \lim \limits_{x \to - \infty} f^{\prime}(x) = - \infty$ $Formula: \lim \limits_{x \to - \infty} f^{\prime}(x) = - \infty$

$Formula: \lim \limits_{x \to +\infty} f^{\prime}(x) = + \infty$ $Formula: \lim \limits_{x \to +\infty} f^{\prime}(x) = + \infty$

Die Stelle Formula: −3 ist eine Nullstelle von $Formula: f^{\prime}$ $Formula: f^{\prime}$ und die erste Ableitungsfunktion $Formula: f^{\prime}$ $Formula: f^{\prime}$ wechselt an dieser Nullstelle ihr Vorzeichen von Minus nach Plus, womit die Stammfunktionen von $Formula: f^{\prime}$ $Formula: f^{\prime}$ an dieser Stelle ein Minimum besitzen.

Für die zweite Ableitung von Formula: f folgt mit $Formula: f^{\prime}(x)=$ $Formula: f^{\prime}(x)=$ $Formula: x^2 \cdot\left(\tfrac{1}{3} x+1\right)=$ $Formula: x^2 \cdot\left(\tfrac{1}{3} x+1\right)=$ $Formula: \tfrac{1}{3}x^3+x^2:$ $Formula: \tfrac{1}{3}x^3+x^2:$

$Formula: f^{\prime\prime}(x)=x^2 + 2x$ $Formula: f^{\prime\prime}(x)=x^2 + 2x$

Mit der notwendigen Bedingung $Formula: f^{\prime\prime}(x)=0$ $Formula: f^{\prime\prime}(x)=0$ für Wendepunkte folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} f^{\prime\prime}(x)&=& 0 \\[5pt] x^2 + 2x&=& 0 \\[5pt] x \cdot (x+2)&=& 0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} f^{\prime\prime}(x)&=& 0 \\[5pt] x^2 + 2x&=& 0 \\[5pt] x \cdot (x+2)&=& 0 \end{array}$

Mit dem Satz des Nullproduktes folgt Formula: x_1=0 und Formula: x_2 = -2. Aufgrund der Aufgabenstellung ist bekannt, dass es zwei Wendestellen gibt und es kann auf das Überprüfen der hinreichenden Bedingung verzichtet werden.

Berechnung der $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Koordinaten:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} f(0)&=&\dfrac{1}{12}\left(0^4+4 \cdot 0^3+24\right) \\[5pt] &=& 2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} f(0)&=&\dfrac{1}{12}\left(0^4+4 \cdot 0^3+24\right) \\[5pt] &=& 2 \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} f(-2)&=&\dfrac{1}{12}\left((-2)^4+4 \cdot (-2)^3+24\right) \\[5pt] &=& \dfrac{2}{3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} f(-2)&=&\dfrac{1}{12}\left((-2)^4+4 \cdot (-2)^3+24\right) \\[5pt] &=& \dfrac{2}{3} \end{array}$

Also hat die Funktion Formula: f Wendepunkte bei $Formula: W_1(0 \mid 2)$ $Formula: W_1(0 \mid 2)$ und $Formula: W_2(-2 \mid \tfrac{2}{3}).$ $Formula: W_2(-2 \mid \tfrac{2}{3}).$

Das Einsetzen von Formula: x=-2 in die Gleichung der Geraden Formula: t gibt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} t(-2)&=&\dfrac{4}{3} \cdot (-2)+ \dfrac {10}{3}\\[5pt] &=& \dfrac{2}{3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} t(-2)&=&\dfrac{4}{3} \cdot (-2)+ \dfrac {10}{3}\\[5pt] &=& \dfrac{2}{3} \end{array}$

In Aufgabe 1c) wurde $Formula: f(-2)= \tfrac {2}{3}$ $Formula: f(-2)= \tfrac {2}{3}$ berechnet und somit liegt der Punkt $Formula: \left(-2 \mid \tfrac{2}{3}\right)$ $Formula: \left(-2 \mid \tfrac{2}{3}\right)$ auf beiden Graphen.

Steigung kontrollieren

$Formula: t^{\prime}(x) = \dfrac{4}{3}$ $Formula: t^{\prime}(x) = \dfrac{4}{3}$

Daraus folgt $Formula: t^{\prime}(-2)=\tfrac{4}{3}.$ $Formula: t^{\prime}(-2)=\tfrac{4}{3}.$

Für $Formula: f^{\prime}(-2)$ $Formula: f^{\prime}(-2)$ gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} f^{\prime}(-2)&=&(-2)^2 \cdot\left(\dfrac{1}{3} \cdot (-2)+1\right) \\[5pt] &=& \dfrac{4}{3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} f^{\prime}(-2)&=&(-2)^2 \cdot\left(\dfrac{1}{3} \cdot (-2)+1\right) \\[5pt] &=& \dfrac{4}{3} \end{array}$

Da Formula: f(−2)=t(−2) und $Formula: f^{\prime}(−2)=t^{\prime}(−2)$ $Formula: f^{\prime}(−2)=t^{\prime}(−2)$ ist Formula: t eine Tangente an den Graphen von im Punkt $Formula: \left(-2 \mid \tfrac{2}{3}\right).$ $Formula: \left(-2 \mid \tfrac{2}{3}\right).$

Koordinatensystem mit senkrechter Linie, zwei schrägen Geraden t und h, Winkelskizze α/β oben und Strecke mit Länge 5

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \tan \alpha&=& \dfrac{4}{3} &\quad\scriptsize\mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \alpha&=& \tan^{-1} \dfrac{4}{3}\\[5pt] \alpha&\approx& 53,1^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \tan \alpha&=& \dfrac{4}{3} &\quad\scriptsize\mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \alpha&=& \tan^{-1} \dfrac{4}{3}\\[5pt] \alpha&\approx& 53,1^{\circ} \end{array}$

Daraus folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \beta&=& 90^{\circ} - 53,1^{\circ}\\[5pt] &\approx& 36,9^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \beta&=& 90^{\circ} - 53,1^{\circ}\\[5pt] &\approx& 36,9^{\circ} \end{array}$

Damit gilt für den vertikalen Abstand Formula: z der Geraden Formula: t und Formula: h:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \sin \beta&=& \dfrac{5}{z} \\[5pt] \sin 36,9^{\circ} &=& \dfrac{5}{z} &\quad\scriptsize\mid\; \cdot z \\[5pt] z \cdot \sin 36,9^{\circ}&=& 5 &\quad\scriptsize\mid\; : \sin 36,9^{\circ} \\[5pt] z &=& \dfrac{5}{\sin 36,9^{\circ}} \\[5pt] z &\approx& 8,33 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \sin \beta&=& \dfrac{5}{z} \\[5pt] \sin 36,9^{\circ} &=& \dfrac{5}{z} &\quad\scriptsize\mid\; \cdot z \\[5pt] z \cdot \sin 36,9^{\circ}&=& 5 &\quad\scriptsize\mid\; : \sin 36,9^{\circ} \\[5pt] z &=& \dfrac{5}{\sin 36,9^{\circ}} \\[5pt] z &\approx& 8,33 \end{array}$

Aufgrund der Achsensymmetrie ergibt sich für die Höhe:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} h&=& 2 \cdot g(-2)\\[5pt] &=& 2 \cdot \dfrac{4}{3}\\[5pt] &\approx& 2,67 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} h&=& 2 \cdot g(-2)\\[5pt] &=& 2 \cdot \dfrac{4}{3}\\[5pt] &\approx& 2,67 \end{array}$

Auf beiden Seiten der Formula: y -Achse ragt der Halbkreis jeweils um seinen Radius $Formula: r=\tfrac{4}{3}$ $Formula: r=\tfrac{4}{3}$ über das Intervall $Formula: -2 \leq x \leq 2$ $Formula: -2 \leq x \leq 2$ hinaus.

Daraus folgt für die Breite:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} b&=& 2 \cdot \left(2 + \dfrac{4}{3}\right)\\[5pt] &\approx& 6,67 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} b&=& 2 \cdot \left(2 + \dfrac{4}{3}\right)\\[5pt] &\approx& 6,67 \end{array}$

Da jeweils $Formula: 2,67\lt2,7$ $Formula: 2,67\lt2,7$ und $Formula: 6,67\lt6,7$ $Formula: 6,67\lt6,7$ gilt, passt der gesamte Schienenverlauf auf eine rechteckige Holzplatte mit den Seitenlängen von $Formula: 2,7 \mathrm{~m}$ $Formula: 2,7 \mathrm{~m}$ und $Formula: 6,7 \mathrm{~m}.$ $Formula: 6,7 \mathrm{~m}.$

Der gesuchte Flächeninhalt ist gegeben durch den Flächeninhalt der Fläche die Formula: g mit der Formula: x -Achse einschließt mal Formula: 4, plus den Flächeninhalt eines Kreises mit Radius Formula: g(-2).

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_g&=&4 \cdot \displaystyle\int_{-2}^{0} g(x) \;\mathrm d x + \pi \cdot (g(-2))^2 \\[5pt] &=&4 \cdot\left[\dfrac{1}{12} x^4 + \dfrac{1}{3}x^3\right]_{-2}^{0} + \pi \cdot \left(\dfrac{1}{3} \cdot (-2)^3 + (-2)^2 \right)^2 \\[5pt] &=&4 \cdot \dfrac{4}{3} +\pi \cdot \left(\dfrac{4}{3} \right)^2 \\[5pt] &\approx&10,92 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_g&=&4 \cdot \displaystyle\int_{-2}^{0} g(x) \;\mathrm d x + \pi \cdot (g(-2))^2 \\[5pt] &=&4 \cdot\left[\dfrac{1}{12} x^4 + \dfrac{1}{3}x^3\right]_{-2}^{0} + \pi \cdot \left(\dfrac{1}{3} \cdot (-2)^3 + (-2)^2 \right)^2 \\[5pt] &=&4 \cdot \dfrac{4}{3} +\pi \cdot \left(\dfrac{4}{3} \right)^2 \\[5pt] &\approx&10,92 \end{array}$

Der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt etwa $Formula: 10,92 \mathrm{~m^2}.$ $Formula: 10,92 \mathrm{~m^2}.$

Der Sensor befindet sich auf dem unteren Schienenverlauf im Übergang zum rechten Halbkreis.

Die Gesamtlänge des Streckenverlaufs beträgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} d&=&4 \cdot 2,5 \mathrm{~m} + 2\pi \cdot (g(-2)) \\[5pt] &=&4 \cdot 2,5 \mathrm{~m} + 2\pi \cdot \dfrac{4}{3} \\[5pt] &\approx& 18,38 \mathrm{~m} \\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} d&=&4 \cdot 2,5 \mathrm{~m} + 2\pi \cdot (g(-2)) \\[5pt] &=&4 \cdot 2,5 \mathrm{~m} + 2\pi \cdot \dfrac{4}{3} \\[5pt] &\approx& 18,38 \mathrm{~m} \\[5pt] \end{array}$

Die benötigte Zeit für diese Strecke berechnet sich mit:

$Formula: \dfrac{18,38\mathrm{~m}}{3,5\tfrac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~min}}} \approx 5,25 \mathrm{~min}$ $Formula: \dfrac{18,38\mathrm{~m}}{3,5\tfrac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~min}}} \approx 5,25 \mathrm{~min}$

Ein Zug benötigt für eine volle Umrundung etwa Formula: 5,25 Minuten.

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