Analytische Geometrie 3 - Pyramide

Abbildung 1 zeigt die zur $Formula: xz\text{-}$ $Formula: xz\text{-}$ Ebene symmetrische Pyramide Formula: ABCDS mit $Formula: A( 0 \mid −2 \mid 0),$ $Formula: A( 0 \mid −2 \mid 0),$ $Formula: B(5 \mid -1 \mid 0),$ $Formula: B(5 \mid -1 \mid 0),$ $Formula: C( 5 \mid 1 \mid 0 ),$ $Formula: C( 5 \mid 1 \mid 0 ),$ $Formula: D \left( 0 \mid 2 \mid 0 \right)$ $Formula: D \left( 0 \mid 2 \mid 0 \right)$ und $Formula: S(2 \mid 0 \mid 4).$ $Formula: S(2 \mid 0 \mid 4).$

Dreidimensionale Pyramide mit Spitze S, Basis B‑C‑D, Innenpunkten A und O sowie x-, y- und z-Achsen.

Abb. 1

Zeige, dass die Grundfläche Formula: ABCD ein Trapez ist, und berechne ihren Flächeninhalt.

3 BE

Bestimme die Größe des Winkels, den die Kanten $Formula: \overline{CD}$ $Formula: \overline{CD}$ und $Formula: \overline{CS}$ $Formula: \overline{CS}$ einschließen.

3 BE

Betrachtet wird das Lot von Punkt Formula: D auf eine Gerade, die durch zwei Eckpunkte der Pyramide verläuft. Die folgenden beiden Gleichungen $Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$ und $Formula: \text{II}$ $Formula: \text{II}$ liefern gemeinsam einen bestimmten Wert von Formula: t.

$Formula: \text{I}\;$ $Formula: \text{I}\;$	$Formula: \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + t \cdot \overrightarrow{CS}$ $Formula: \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + t \cdot \overrightarrow{CS}$ mit $Formula: t \in \mathbb{R}$ $Formula: t \in \mathbb{R}$
$Formula: \text{II}\;$ $Formula: \text{II}\;$	$Formula: \overrightarrow{DP} \circ \overrightarrow{CS} = 0$ $Formula: \overrightarrow{DP} \circ \overrightarrow{CS} = 0$

Erläutere für diesen Wert von Formula: t die Bedeutung des Punktes Formula: P im Zusammenhang mit den betrachteten geometrischen Objekten.

3 BE

Die Ebene Formula: F hat die Gleichung Formula: z=2. Die Punkte Formula: T, $Formula: U(3{,}5 \mid −0{,}5 \mid 2),$ $Formula: U(3{,}5 \mid −0{,}5 \mid 2),$ Formula: V und $Formula: W(1 \mid 1 \mid 2)$ $Formula: W(1 \mid 1 \mid 2)$ sind die Schnittpunkte der Seitenkanten der Pyramide Formula: ABCDS mit der Ebene Formula: F (vgl. Abbildung 2).

Zeige, dass der Punkt Formula: W der Mittelpunkt der Strecke $Formula: \overline{DS}$ $Formula: \overline{DS}$ ist, und gib die Koordinaten von Formula: T an.

2 BE

Die Trapeze Formula: TUVW und Formula: BUVC sind bezüglich einer Ebene Formula: H symmetrisch zueinander.

Bestimme eine Gleichung von Formula: H.

4 BE

Dreidimensionale Pyramide mit gestrichelten Innenkanten, beschrifteten Punkten und Koordinatenachsen x,y,z

Abb. 1

15 BE

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Nachweis des Trapezes

Für die in der Grundfläche Formula: ABCD gegenüberliegenden Seiten Formula: AD und Formula: BC gilt:

$Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{AD} &=& \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{AD} &=& \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{BC} &=& \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{BC} &=& \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{array}$

Die Vektoren $Formula: \overrightarrow{AD}$ $Formula: \overrightarrow{AD}$ und $Formula: \overrightarrow{BC}$ $Formula: \overrightarrow{BC}$ sind kollinear, denn es gilt $Formula: \overrightarrow{AD} = 2 \cdot \overrightarrow{BC}.$ $Formula: \overrightarrow{AD} = 2 \cdot \overrightarrow{BC}.$ Daher sind die Seiten $Formula: \overline{AD}$ $Formula: \overline{AD}$ und $Formula: \overline{BC}$ $Formula: \overline{BC}$ parallel und die Grundfläche Formula: ABCD ein Trapez.

Berechnung des Flächeninhalts

Die Längen der parallelen Seiten betragen

$Formula: \left| \overrightarrow{AD} \right| = \sqrt{0^2 + 4^2 + 0^2} \; \text{LE} = \sqrt{16} \; \text{LE} = 4 \; \text{LE}$ $Formula: \left| \overrightarrow{AD} \right| = \sqrt{0^2 + 4^2 + 0^2} \; \text{LE} = \sqrt{16} \; \text{LE} = 4 \; \text{LE}$

und

$Formula: \left| \overrightarrow{BC} \right| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 0^2} \; \text{LE} = \sqrt{4} \; \text{LE} = 2 \; \text{LE}.$ $Formula: \left| \overrightarrow{BC} \right| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 0^2} \; \text{LE} = \sqrt{4} \; \text{LE} = 2 \; \text{LE}.$

Der Abstand dieser beiden parallelen Seiten und damit die Höhe des Trapezes beträgt $Formula: 5 \; \text{LE}.$ $Formula: 5 \; \text{LE}.$ Somit folgt für den Flächeninhalt des Trapezes:

$Formula: A = \dfrac{1}{2} \cdot ( 4 \; \text{LE} + 2 \; \text{LE} ) \cdot 5 \; \text{LE} = 15 \; \text{FE}$ $Formula: A = \dfrac{1}{2} \cdot ( 4 \; \text{LE} + 2 \; \text{LE} ) \cdot 5 \; \text{LE} = 15 \; \text{FE}$

Die Vektoren $Formula: \overrightarrow{CD}$ $Formula: \overrightarrow{CD}$ und $Formula: \overrightarrow{CS}$ $Formula: \overrightarrow{CS}$ berechnen sich mit:

$Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{CD} &=& \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{CD} &=& \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{CS} &=& \overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OC} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{CS} &=& \overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OC} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{array}$

Damit folgt für die Länge der Vektoren:

$Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overrightarrow{CD} \right| &=& \left| \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{ (-5)^2+1^2+0^2} \\[5pt] &=& \sqrt{26} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overrightarrow{CD} \right| &=& \left| \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{ (-5)^2+1^2+0^2} \\[5pt] &=& \sqrt{26} \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overrightarrow{CS} \right| &=& \left| \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{ (-3)^2+(-1)^2+4^2} \\[5pt] &=& \sqrt{26} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overrightarrow{CS} \right| &=& \left| \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{ (-3)^2+(-1)^2+4^2} \\[5pt] &=& \sqrt{26} \end{array}$

Für das Skalarprodukt gilt somit:

$Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{CD} \circ \overrightarrow{CS} &=& \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& (-5) \cdot (-3) + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 4 \\[5pt] &=& +15 - 1 + 0 \\[5pt] &=& 14 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{CD} \circ \overrightarrow{CS} &=& \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& (-5) \cdot (-3) + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 4 \\[5pt] &=& +15 - 1 + 0 \\[5pt] &=& 14 \end{array}$

Daraus folgt für den eingeschlossenen Winkel:

$Formula: \begin{array}{rcll}\cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{CD}\circ\overrightarrow{CS}}{\left|\overrightarrow{CD}\right|\cdot\left|\overrightarrow{CS}\right|}\\[5pt] \cos(\alpha) &=&\dfrac{14}{\sqrt{26}\cdot\sqrt{26}}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{7}{13} &\quad \mid \cos^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{7}{13}\right)\\[5pt] \alpha&\approx&57{,}42^\circ \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll}\cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{CD}\circ\overrightarrow{CS}}{\left|\overrightarrow{CD}\right|\cdot\left|\overrightarrow{CS}\right|}\\[5pt] \cos(\alpha) &=&\dfrac{14}{\sqrt{26}\cdot\sqrt{26}}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{7}{13} &\quad \mid \cos^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{7}{13}\right)\\[5pt] \alpha&\approx&57{,}42^\circ \end{array}$

Die Gleichung $Formula: \mathrm{I}$ $Formula: \mathrm{I}$ beschreibt, dass der Punkt Formula: P auf der Geraden durch die Punkte Formula: C und Formula: S liegt. Die Gleichung $Formula: \mathrm{II}$ $Formula: \mathrm{II}$ bedeutet, dass der Vektor $Formula: \overrightarrow{DP}$ $Formula: \overrightarrow{DP}$ senkrecht zum Richtungsvektor $Formula: \overrightarrow{CS}$ $Formula: \overrightarrow{CS}$ steht. Damit ist Formula: P der Fußpunkt des Lotes von Formula: D auf die Gerade durch Formula: C und Formula: S.

Der Ortsvektor des Mittelpunkts $Formula: M_{\overline{DS}}$ $Formula: M_{\overline{DS}}$ der Strecke $Formula: \overline{DS}$ $Formula: \overline{DS}$ ist wie folgt gegeben:

$Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{OM_{\overline{DS}}} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OS} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \right) \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{OM_{\overline{DS}}} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OS} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \right) \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{array}$

Also ist $Formula: W(1 \mid 1 \mid 2)$ $Formula: W(1 \mid 1 \mid 2)$ der Mittelpunkt der Strecke $Formula: \overline{DS}.$ $Formula: \overline{DS}.$ Da die Pyramide symmetrisch zur Formula: xz -Ebene liegt, gilt $Formula: T(1\mid-1\mid2).$ $Formula: T(1\mid-1\mid2).$

Die Punkte Formula: C und Formula: W sind bezüglich der Ebene Formula: H symmetrisch zueinander. Ein Normalenvektor der Ebene ist somit wie folgt gegeben:

$Formula: \overrightarrow{CW} = \overrightarrow{OW} - \overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ $Formula: \overrightarrow{CW} = \overrightarrow{OW} - \overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$

Damit wird Formula: H durch eine Gleichung der Form Formula: -4x+2z=d beschrieben.

Da der Punkt $Formula: U(3{,}5 \mid -0{,}5 \mid 2)$ $Formula: U(3{,}5 \mid -0{,}5 \mid 2)$ in der Symmetrieebene Formula: H liegt, wird dieser Punkt in die Gleichung eingesetzt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} d&=& -4 \cdot 3,5 + 2 \cdot 2 \\[5pt] &=& -14 + 4 \\[5pt] &=& -10 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} d&=& -4 \cdot 3,5 + 2 \cdot 2 \\[5pt] &=& -14 + 4 \\[5pt] &=& -10 \end{array}$

Damit lautet eine Gleichung der Ebene Formula: H{:}-4x+2z=-10.

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