Abi 2017 Analysis (zentral)

In einer großen Mehrzweckhalle findet ein Spiel der Basketball-Bundesliga statt. Das Spiel beginnt um 20 Uhr, um 19 Uhr ist Einlassbeginn.
Am Eingang A wird ab 18 Uhr der Zuschauerstrom betrachtet, d.h. die Anzahl der pro Minute am Eingang ankommenden Zuschauer. Alle 30 Minuten wird dieser Zuschauerstrom ermittelt. Das Ergebnis dieser Zählung ist in der nebenstehenden Tabelle dargestellt.
Im Folgenden wird angenommen, dass jeder angekommene Zuschauer am Eingang A wartet, bis er durch diesen in den Innenraum der Halle gelangt.

Zeit in min: $x$	Anzahl Zuschauer pro min: $y$
0	0
30	20
60	18
90	9
120	4
150	1
180	0

$x$ bedeutet dabei die Zeit [Einheit: min] seit 18 Uhr und $y$ die zugehörige Anzahl der pro Minute [Einheit: 1/min] am Eingang A ankommenden Zuschauer.

Aufgabe 1

Der Zuschauerstrom, der durch die Daten in der Tabelle erfasst wurde, soll durch ganzrationale Funktionen modelliert werden.

Ermittle eine entsprechende ganzrationale Regressionsfunktion $g_3$ vom Grad $3$ sowie eine ganzrationale Regressionsfunktion $g_4$ vom Grad $4$ .

Skizziere die Graphen beider Funktionen.

Beurteile, welche der Funktionen $g_3$ bzw. $g_4$ den betrachteten Zuschauerstrom besser modelliert.

Aufgabe 2

Es wird vorgeschlagen, die Anzahl der pro Minute ankommenden Zuschauer durch die folgende Funktionenschar $f_{a,b}$ darzustellen:
$f_{a,b}(x)=a\cdot x^2\cdot\mathrm e^{-b\cdot x},x\geq0,a>0,b>0$ (mit $x,a,b\in\mathbb R$ )
Dabei stellt $x$ wieder die Zeit in Minuten dar.

Bestimme die Nullstellen von $f_{a,b}.$
Untersuche das Verhalten der Funktionswerte für $x\to +\infty.$

Ermittle die erste Ableitung $f‘_{a,b}(x)$ ohne Verwendung des CAS durch Anwendung geeigneter Ableitungsregeln.

Zeige ohne Verwendung des CAS, dass jede Funktion $f_{a,b}$ genau einen Extrempunkt $E_{a,b}$ mit $x>0$ besitzt und gib dessen Koordinaten an.
[Zur Kontrolle: $E_{a,b}\left(\frac{2}{b}\mid\frac{4\cdot a}{\mathrm e^2\cdot b^2}\right)$ ]
Die Untersuchung einer hinreichenden Bedingung kann mit dem CAS erfolgen.

Untersuche den Einfluss des Parameters $a$ bzw. des Parameters $b$ auf den Graphen von $f_{a,b}.$

Bestimme die Werte der Parameter $a$ und $b$ so, dass der Exprempunkt des Graphen von $f_{a,b}$ im Punkt $P(40\mid 22)$ liegt. Runde die Werte ggf. auf zwei Stellen nach dem Komma.
[Zur Kontrolle: $a\approx 0,1;b=0,05$ ]

Aufgabe 3

Die in Aufgabe 2e ermittelte Funktion soll nun zur Modellierung der Anzahl der ab 18 Uhr pro Minute am Eingang A ankommenden Zuschauer verwendet werden. Diese Funktion wird im Folgenden $k$ genannt:
$k(x)=0,1\cdot x^2\cdot\mathrm e^{0-0,05\cdot x},x\geq 0$ mit $x\in\mathbb R$

Skizziere den Graphen von $k$ .

Es wird behauptet, das Integral $\displaystyle\int_{60}^{120}k(x)\;\mathrm dx$ gebe die Anzahl der zwischen 19 Uhr und 20 Uhr am Eingang A ankommenden Zuschauer an. Begründe, dass diese Aussage wahr ist.

Interpretiere die folgende Gleichung im Sachzusammenhang:
$\displaystyle\int_{0}^{t}k(x)\;\mathrm dx=1000$

Bestimme eine Gleichung der Funktion $L$ , die für den Zeitraum ab 18 Uhr die Anzahl der angekommenden Zuschauer in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.
Skizziere deren Graphen, achte dabei auf eine sinnvolle Einteilung der Hochachse. Ermittle anschließend die Anzahl der Zuschauer, die du zu Einlassbeginn um 19 Uhr am Eingang erwartest.

Um 19 Uhr ist Einlassbeginn. Es wird angenommen, dass pro Minute $20$ Zuschauer durch den Eingang A in den Innenraum der Halle gelangen.

Ermittle die Anzahl der Zuschauer, die zu Spielbeginn um 20 Uhr noch am Eingang A warten.

Bestimme den Zeitpunkt, zu dem alle angekommenen Zuschauer in die Halle gelangt sind.

Lösung 1

Zwei mögliche Funktionen, die gefunden werden könnten, sind:

Vollständige Funktionsterme anzeigen

Abb. 1

Mögliche Aspekte, die genannt werden können, sind:
Die Funktion $g_4$ modelliert den Sachzusammenhang genauer, da
1. die Datenpunkte deutlich besser angenähert werden,
2. der $y$ -Achsenabschnitt näher bei Null liegt,
3. bei ca. $x=180$ eine Nullstelle vorliegt,
4. die Geschwindigkeit des Zustroms bei ca. 100 langsamer abfällt, d.h. der Zuschauerzustrom sinkt langsamer gegen Null.

Dagegen gibt es bei der Funktion $g_3$ im betrachteten Bereich
1. einen Verlauf des Schaubildes im negativen Bereich,
2. ein Maximum, das etwa $y=19$ beträgt und damit unter dem in der Tabelle angegebenen höchsten Wert liegt.

Lösung 2

Es gilt: $f_{a,b}=a\cdot x^2\cdot e^{-b\cdot x}= 0\Leftrightarrow x=0$
Weiterhin gilt:
Für $x\rightarrow \infty$ strebt $f_{a,b}(x)$ gegen $0$ , da sich "die e-Funktion durchsetzt".

Es ist $u(x)=a\cdot x^2$ und $v(x)=e^{-b\cdot x}$ und damit $u‘(x)=2a\cdot x$ und $v‘(x)=-b\cdot e^{-b\cdot x}$

Zusammengesetzt ergibt sich:
$f_{a,b}‘(x)=2a\cdot x\cdot e^{-b\cdot x}-a\cdot b\cdot x^2\cdot e^{-b\cdot x}$ = $(2a-a\cdot b\cdot x)\cdot x\cdot e^{-b\cdot x}$

Notwendige Bedingung für Extremstellen: $f_{a,b}‘(x)=0$
$f_{a,b}‘(x)=0= (2a-a\cdot b\cdot x)\cdot x\cdot e^{-b\cdot x}$
$\Leftrightarrow x_1=0$ und $x_2=\dfrac{2}{b}$
Da $x\gt0$ ist die gesuchte Lösung $x_2=\dfrac{2}{b}$

Hinreichende Bedingung:
$f_{a,b}‘‘(x)=a\cdot (b^2\cdot x^2-4\cdot b\cdot x+2)\cdot e^{-b\cdot x}$
Da $f_{a,b}‘‘\left(\dfrac{2}{b}\right)=-2ae^{-2}\lt0$ , existiert genau ein Hochpunkt für $x\gt0$ . $(E_{a,b}\left(\dfrac{2}{b}\mid\dfrac{4\cdot a}{e^2\cdot b^2}\right))$

Nullstelle und waagerechte Asymptote sind unabhängig von $a$ und von $b$ . Der Parameter $a$ verändert den $y$ -Wert des Extremwertes, so dass der gesuchte Extrempunkt parallel zur $y$ -Achse wandert. Der Parameter $b$ verändert die Lage der Extremstelle: je größer der Wert von $b$ , desto weiter die Verschiebung des Extrempunktes in Richtung des Ursprungs.

Es muss gelten: $x=\dfrac{2}{b}=40\Leftrightarrow b=0,05$

$\dfrac{4\cdot a}{e^2\cdot (0,05)^2}=22 \Leftrightarrow$ $a=\dfrac{22\cdot e^2\cdot (0,05)^2}{4}\approx 0,10$

Lösung 3

Abb. 2

$k$ ist die Änderungsrate für die Anzahl der Personen, die am Eingang A angekommen sind. Das Integral über $k$ von $a$ bis $b$ beschreibt daher die Gesamtzahl der angekommenen Zuschauer im Zeitraum von $a$ bis $b$ . Im vorliegenden Sachzusammenhang steht $a=60$ für 60 Minuten nach Beginn, also 19.00 Uhr und entsprechend $b=120$ für 120 Minuten, also 20.00 Uhr.

Mithilfe dieser Gleichung wird der Zeitpunkt $t$ ermittelt, zu dem 1000 Zuschauer angekommen sind.

Mithilfe des CAS ergibt sich:
$L(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}k(x)\;\mathrm dx=1600-2\cdot e^{-0,05t}\cdot (t^2+40\cdot t+800)$
Skizze:

Abb. 3

Daraus folgt: $L(60)\approx 923$ . Zu Einlassbeginn um 19.00 Uhr (entspricht $x=60$ ) sind ca. 923 Zuschauer zum Eingang A gekommen und warten da.

Die Anzahl der um 20.00 Uhr am Eingang A angekommenen Zuschauer beträgt $L(120)\approx 1501$ . Die Anzahl der Personen, die bis 20.00 Uhr durch Eingang A gelangt sind, ist $20\cdot 60=1200$ .
Um 20.00 Uhr warten also am Eingang A noch $1501-1200=301$ Zuschauer.

Die Anzahl der angekommenen Zuschauer soll der Anzahl der Zuschauer entsprechen, die durch den Eingang A gelangten:

$L(t)=20\cdot (t-60)$

Das CAS liefert als Lösung $t\approx 137,38$ , d.h. knapp 18 Minuten nach Spielbeginn sind alle ankommenden Personen in die Halle gelangt.