Abi 2023 Analysis (zentral)

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=2 \cdot(1-x) \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2} \cdot(x-1)^2}$ und $x \in \mathbb{R}$ .
Der Graph $G_f$ der Funktion $f$ ist punktsymmetrisch zum Wendepunkt $W_1(1 \mid 0)$ .
Die Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ .

Abb.1

Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass $f$ genau eine Nullstelle hat.

(2 BE)

Zeige ohne Verwendung des CAS, dass die Funktion $F$ mit $F(x)=2 \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2} \cdot(x-1)^2}$ eine Stammfunktion der Funktion $f$ ist.

(3 BE)

Die Gerade $m$ durch die Punkte $P(0 \mid 1)$ und $Q(a \mid 0)$ teilt die Fläche, die von $G_f$ und den Koordinatenachsen im Bereich $[0;1]$ eingeschlossen wird, in zwei Teiffächen. Bestimme $a$ so, dass beide Teilflächen gleichen Flächeninhalt haben.

(4 BE)

Neben $W_1(1 \mid 0)$ besitzt der Graph $G_f$ genau zwei weitere Wendepunkte $W_2$ und $W_3$ . Gib die Koordinaten dieser Wendepunkte an und bestimme in allen drei Wendepunkten jeweils die Steigung des Graphen $G_f$ .

(4 BE)

Begründe mithilfe der Abbildung 1, dass die Funktionswerte der Ableitungsfunktion $\(f$ im Wertebereich $\(\left[f$ liegen.

(5 BE)

Skizziere in der Abbildung 1 unter Berücksichtigung von Teilaufgabe 1e) den Graphen der Ableitungsfunktion $\(f$

(2 BE)

Beschreibe, wie der Graph der Funktion $g$ mit $g(x)=2 \cdot x \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}$ aus dem Graphen $G_f$ der Funktion $f$ geometrisch erzeugt werden kann.

(2 BE)

Gegeben ist die Funktionenschar $h_{a;b}$ mit $h_{a; b}(t)=a \cdot t \cdot \mathrm e^{b \cdot t^2}$ mit $a$ , $b \in \mathbb{R}$ und $t \geq 0 .$

Erläutere jeweils den Einfluss des Vorzeichens der Parameter $a$ und $b$ auf den Verlauf der Graphen der Funktionen $h_{a ; b}.$

(4 BE)

Nach der Einnahme eines Medikaments um 6.00 Uhr kann die Konzentration des Wirkstoffes im Blut durch eine der Funktionen $h_{a ; b}$ beschrieben werden. Dabei ist $t$ die Zeit in Stunden nach der Einnahme und $h_{a ; b}(t)$ ist die Konzentration des Wirkstoffes im Blut in Milligramm pro Liter.

Die maximale Konzentration des Wirkstoffes von $4 \frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}}$ wird zwei Stunden nach der Einnahme erreicht. Bestimme die entsprechenden Werte der Parameter $a$ und $b.$

(5 BE)

Die Funktion $k$ ist eine Funktion der Funktionenschar $h_{a ; b}$ und beschreibt in einem konkreten Fall die Konzentration des Wirkstoffes von 6.00 Uhr bis 9.30 Uhr.

$k(t)=h_{3,3 ;-0,125}(t)=3,3 \cdot t \cdot \mathrm e^{-0,125 \cdot t^2}$ und $0 \leq t \leq 3,5$

Es kann angenommen werden, dass danach der Wirkstoff linear mit derselben Änderungsrate wie zum Zeitpunkt 9.30 Uhr abgebaut wird. Ermittle rechnerisch eine Gleichung einer Funktion $s$ , die diesen linearen Abbau beschreibt. Berechnne den Zeitpunkt, zu dem das Medikament vollständig abgebaut ist.

(5 BE)

Bestimme den Wert des Terms $\dfrac{1}{3,5} \cdot \displaystyle \int_0^{3,5} k(t)\; \mathrm{d}t .$

(2 BE)

Mit dem Term $\dfrac{1}{x_2-x_1} \cdot \displaystyle\int_{x_1}^{x_2} v(x) \; \mathrm{d}x$ kann der Mittelwert aller Funktionswerte der Funktion $v$ im Intervall $\left[x_1 ; x_2\right]$ angegeben werden. Interpretiere den Wert des Terms $\dfrac{1}{3,5} \cdot \displaystyle\int_0^{3,5} k(t) \; \mathrm{d}t$ im Sachzusammenhang.

(2 BE)

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$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] 2\cdot(1-x)\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{2}\cdot(x-1)^2}&=&0 \end{array}$

Da $2\neq0$ und $\mathrm e ^{-\frac{1}{2}\cdot(x-1)^2}\neq0$ ist, ist die Gleichung nach dem Satz vom Nullprodukt nur erfüllt, wenn $1-x=0$ ist. Das ist nur dann der Fall, wenn $x=1$ ist. Somit hat $f$ genau eine Nullstelle.

Kettenregel anwenden:

$\(F$ $=2\cdot(1-x)\cdot \mathrm e ^{-\frac{1}{2}\cdot(x-1)^2}$ $=f(x)$

Die Funktion $F$ ist eine Stammfunktion der Funktion $f$ , da $\(F$ ist.

Abbildung Exponentialfunktion, Gerade und Flächeninhalt eingezeichnet

Skizze

Inhalt der Fläche, die zwischen $f$ und der $x$ -Achse im Bereich $[0;1]$ eingeschlossen wird, bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} A_{ges}&=&\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\displaystyle\int_{0}^{1}2 \cdot(1-x) \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2} \cdot(x-1)^2}\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\left[2\cdot\mathrm e^{-\dfrac{1}{2}\cdot(x-1)^2}\right]_0^1 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&F(1)-F(0) &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx &2-1,21 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&0,79 \; [\text {FE}] \end{array}$

Inhalt der Dreiecksfläche $PQO$ bestimmen:

$A_{PQO}=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot1=\dfrac{1}{2}a$

$a$ bestimmen:

Die Teilflächen sollen den gleichen Flächeninhalt haben. Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} A_{PQO}&=&\dfrac{1}{2}A_{ges} &\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{1}{2}a&=&\dfrac{1}{2}\cdot 0,79 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot2 \\[5pt] a&=&0,79 \end{array}$

Die Koordinaten der Wendepunkte werden mit dem CAS bestimmt: $W_2(1+\sqrt{3}\mid-0,77)$ und $W_3(1-\sqrt{3}\mid 0,77)$

Steigung in den Wendepunkten
Mit dem CAS folgt:

$\(f$

Daraus folgt: Die Steigung von $G_f$ in $W_1$ beträgt $-2.$

$\(f$

Daraus folgt: Die Steigung von $G_f$ in $W_2$ beträgt ungefähr $0,89.$

Die Steigung von $G_f$ in $W_3$ beträgt aufgrund der Punktsymmetrie auch ungefähr $0,89.$

Anhand der Abbildung 1 ist erkennbar, dass an der Wendestelle $x=1$ die Steigung am geringsten und an den Wendestellen $x=1+\sqrt{3}$ und $x=1-\sqrt{3}$ die Steigung am größten ist. Die Funktionswerte der Ableitungsfunktion geben immer die Steigung an den jeweiligen Stellen an. Somit müssen die Funktionswerte der Ableitungsfunktion im Wertebereich $\(\left[f$ liegen.

Abbildung Exponentialfunktion, Ableitung eingezeichnet

Der Graph der Funktion $g$ entseht durch Verschieben des Graphen $G_f$ um $-1$ Einheiten in $x$ -Richtung und durch Spiegeln an der $x$ -Achse.

Die Funktionenschar setzt sich aus einem Produkt eines linearen Terms und eines exponentiellen Terms zusammen. Bei der Grenzwertberechung multipliziern sich die jeweiligen Grenzwerte der beiden Funktionen.

Draus folgt:

Ist $b$ negativ, so gilt: $\lim\limits_{t\to\infty}a \cdot t \cdot \mathrm e^{b \cdot t^2}=0$ und $\lim\limits_{t\to -\infty}a \cdot t \cdot \mathrm e^{b \cdot t^2}=0.$

Ist $b$ positiv und $a$ postiv, so gilt: $\lim\limits_{t\to\infty}a \cdot t \cdot \mathrm e^{b \cdot t^2}=\infty$ und $\lim\limits_{t\to -\infty}a \cdot t \cdot \mathrm e^{b \cdot t^2}=-\infty .$

Ist $b$ positiv und $a$ negativ, so gilt: $\lim\limits_{t\to\infty}a \cdot t \cdot \mathrm e^{b \cdot t^2}=-\infty$ und $\lim\limits_{t\to -\infty}a \cdot t \cdot \mathrm e^{b \cdot t^2}=\infty.$

Aus der Aufgabenstellung resultieren folgende Bedingungen:

$\(\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&h_{a;b}(2)&=& 4 &\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&h_{a;b}{}$

$t=2$ einsetzten:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&a\cdot2\cdot\mathrm e^{b\cdot2^2}&=& 4 &\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&a\cdot(1+2\cdot b\cdot2^2)\cdot\mathrm e^{b\cdot2^2}&=& 0&\quad \\ \end{array}$

Mit dem CAS wird das LGS gelöst:

Daraus folgt: $a\approx3,30$ und $b=-\dfrac{1}{8}.$

Gleichung der Funktion $s$ aufstellen

Der Punkt $P(3,5\mid k(3,5))$ liegt auf dem Graphen der Funktion $s.$ Die Steigung folgt mit $\(k$

Um den Funktionsterm der Funktion $s$ aufzustellen, wird die allgemeine Tangentengleichung verwendet.

$\(s(t)=k$

Für $u=3,5$ folgt: $\(s(t)=k$ )

Werte berechnen:

$k(3,5)\approx 2,498$

$\(\begin{array}[t]{rll} k$

Werte einsetzten:

$s(t)= -1,47t+7,643$

Schnittstelle von $s$ mit der $t$ -Achse berechnen:

Für $s(t)=0$ folgt: $t\approx5,20$

Daraus folgt: Zum Zeitpunkt $t=5,20$ ist das Medikament vollständig abgebaut. Das entspricht $6\;\text{h}+5,2\;\text{h}=11,2\;\text{h}=11\;\text{h}\;12\;\text{min},$ also 11.12 Uhr.

Rechenweg anzeigen

$\dfrac{1}{3,5}\cdot \displaystyle\int_{0}^{3,5}k(t)\;\mathrm dt \approx2,96$

Die durchschnittliche Konzentration des Wirkstoffes im Zeitraum von 6.00 Uhr bis 9.30 Uhr beträgt ungefähr $2,96 \dfrac{\,\text{mg}}{\,\text{l}}.$

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