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Abi 2018 Analysis (zentral)

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=\sqrt{5\cdot x^2+400}\) mit Definitionsbereich \(\mathbb R\).
a)
Skizziere den Graphen von \(f\) und gib dessen Symmetrie an.
b)
Begründe anhand des Funktionsterms von \(f\), dass \(f\) keine Nullstellen bestizt.
c)
Berechne die \(x\)-Koordinate des Tiefpunkts. Zeige dazu ohne Verwendung des CAS, dass die Ableitung der Funktion \(f\) den Termin \(\dfrac{5x}{\sqrt{5x^2+400}}\) hat.
Hinweis: Der Nachweis der hinreichenden Bedingung muss nicht erfolgen.
d)
Bestimme diejenigen Werte von \(c\in\mathbb R\), für die die Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(P(c\mid f(c))\) die \(y\)-Achse in einem Punkt schneidet, dessen \(y\)-Koordinate größer als \(10\) ist.
Zusätzlich ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(g\) mit \(g(x)=\dfrac{1}{10}\cdot x^2+20\) gegeben. Die mittlere Abweichung der Funktionswerte zweier Funktionen \(f\) und \(g\) in einem Intervall \([a;b]\) kann mit dem Termm \(\dfrac{1}{b-a}\cdot\displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)|\;\mathrm dx\) berechnet werden.
e)
Bestimme damit die mittlere Abweichung der Funktionswerte von \(f\) und \(g\) im Intervall \([0;15]\).
f)
Die mittlere Abweichung der Funktionswerte von \(f\) und \(g\) im Intervall \([0;15]\) könnte auch mit dem Term
\(\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{10}\cdot\displaystyle\int_{0}^{10}(f(x)-g(x))\;\mathrm dx\)\(+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{5}\cdot\displaystyle\int_{10}^{15}(g(x)-f(x))\;\mathrm dx\)
berechnet werden.
Beschreibe einen sinnvollen Gedankengang, mit dem man zu diesem Term gelangt.

Aufgabe 2

Abbildung 1 zeigt in einem Koordinatensystem schematisch den Aufbau einer Hängebrücke, bei der ein Drahtseil durch die daran angehängte Fahrbahn belastet wird.
Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit. Die Materialstärken sollen im Folgenden vernachlässigt werden.
Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(b_r\) mit \(b_r(x)=r\cdot x^2+20\) mit \(r\in\mathbb R.\) Mit ihrer Hilfe soll der Verlauf des belasteten Drahtseils modelliert werden.
a)
Bestimme denjenigen Wert von \(r\), für den der Verlauf des belasteten Drahtseils bzgl. seiner beiden Befestigungspunkte an den Pfeilern mithilfe des Graphen von \(b_r\) beschrieben wird.
[Zur Kontrolle: \(r=0,0008448\)]
b)
Für eine Werbeaktion wurde auf einer Seite der Fahrbahn der Bereich zwischen Fahrbahn und dem belasteten Drahtseil über die gesamte Länge der Brücke bis zu einer Höhe von \(25\,m\) über der Fahrbahn mit bedruckten Kunststoffplanen bespannt. Bestimme den Inhalt der bespannten Fläche unter Verwendung der Funktion \(b_{0,0008448}\) aus Teilaufgabe a.
Ein zwischen den beiden Befestigungspunkten an den Pfeilern unbelastet hängendes Drahtseil könnte im verwendeten Koordinatensystem mithilfe einer der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(u_{s,t}\) mit
\(u_{s,t}(x)=\dfrac{s}{2}\cdot\left(\mathrm e^{\frac{1}{s}\cdot x}+\mathrm e^{-\frac{1}{s}\cdot x}\right)+t\) mit \(s\in\mathbb R \backslash \{0\}\) und \(t\in\mathbb R\)
beschrieben werden.
c)
Abbildung 3 zeigt die Graphen dreier Funktionen \(u_{s,t}\), die sich nur im Wert von \(s\) unterscheiden.
Ordne die Graphen nach der Größe des Wertes von \(s\), beginnend mit dem kleinsten. Begründe deine Reihenfolge.
d)
Gib für diejenige Funktion \(u_{s,t}\), mithilfe derer das unbelastete Drahtseil beschrieben werden könnte, an, ob der Wert von \(s\) positiv oder negativ ist. Begründe deine Angabe.
Durch die Funktion \(u\) mit
\(u(x)=300,95\cdot\left(\mathrm e^{\frac{1}{601,9}\cdot x}+\mathrm e^{\frac{1}{601,9}\cdot x}\right)-581,8\)
kann das unbelastete Drahtseil beschrieben werden.
e)
Bestimme die Steigungen des belasteten (Teilaufgabe 2a) und des unbelasteten Drahtseils jeweils in den beiden Befestigungspunkten.
Begründe unter Verwendung dieser Steigungen, dass das unbelastete Drahtseil nicht vollständig oberhalb oder unterhalb des belasteten verlaufen würde.