Wahlaufgaben

5 Analysis

In der Abbildung ist der Graph Formula: G_b einer in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion Formula: b gegeben.

Formula: G_b ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung $Formula: O(0\mid 0).$ $Formula: O(0\mid 0).$

Graph einer Funktion G_b in einem Koordinatensystem mit mehreren Hoch- und Tiefpunkten.

Begründe, dass für jedes $Formula: u\gt 0$ $Formula: u\gt 0$ die Tangente im Punkt $Formula: P(u\mid b(u))$ $Formula: P(u\mid b(u))$ an Formula: G_b und die Tangente im Punkt $Formula: Q(-u\mid b(-u))$ $Formula: Q(-u\mid b(-u))$ an parallel zueinander sind.

2 BE

Begründe, dass für die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: f mit Formula: f(x)=(b(x))^2 gilt: Formula: f'(-1)=-f'(1)

3 BE

6 Analysis

Gegeben ist die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: f mit $Formula: f(x)=\tfrac{4}{x^2+1}.$ $Formula: f(x)=\tfrac{4}{x^2+1}.$

Die Abbildung zeigt den Graphen Formula: G_f von Formula: f.

Graph einer Funktion mit einem Hochpunkt bei etwa (0|4), die sich zu beiden Seiten der x-Achse annähert.

Begründe, dass die Gerade mit der Gleichung Formula: y=0 die einzige Asymptote von Formula: G_f ist.

1 BE

Für $Formula: u\gt 0$ $Formula: u\gt 0$ wird das gleichschenklige Dreieck mit den Eckpunkten $Formula: S(0\mid 0),$ $Formula: S(0\mid 0),$ $Formula: P(u\mid f(u))$ $Formula: P(u\mid f(u))$ und $Formula: Q(-u\mid f(-u))$ $Formula: Q(-u\mid f(-u))$ betrachtet. Für einen Wert von ist der Flächeninhalt des Dreiecks maximal. Berechne den maximalen Flächeninhalt.

4 BE

7 Lineare Algebra

Eine quadratische Matrix $Formula: A\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ $Formula: A\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ wird als nilpotent bezeichnet, wenn es eine positive Zahl $Formula: k\in\mathbb{N}$ $Formula: k\in\mathbb{N}$ gibt, so dass $Formula: A^k=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.$ $Formula: A^k=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.$

Gegeben ist die Matrix $Formula: A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}.$ $Formula: A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}.$ Untersuche, ob nilpotent ist.

5 BE

8 Lineare Algebra

Gegeben ist die Populationsmatrix $Formula: M=\begin{pmatrix}0&a&0\\b&0&0\\0&c&0\end{pmatrix}$ $Formula: M=\begin{pmatrix}0&a&0\\b&0&0\\0&c&0\end{pmatrix}$ mit $Formula: a\geq 0$ $Formula: a\geq 0$ und $Formula: b,c\in[0;1].$ $Formula: b,c\in[0;1].$

Die Entwicklung der Population von einem Jahr zum nächsten wird modellhaft durch die Gleichung $Formula: \overrightarrow{v_{n+1}}=M\cdot\overrightarrow{v_n}$ $Formula: \overrightarrow{v_{n+1}}=M\cdot\overrightarrow{v_n}$ mit $Formula: n=0,1,2,\ldots$ $Formula: n=0,1,2,\ldots$ beschrieben.

Gib die Bedeutung des Wertes von Formula: b in der Populationsmatrix Formula: M an.

1 BE

Es gilt: $Formula: M^2=\begin{pmatrix}ab&0&0\\0&ab&0\\bc&0&0\end{pmatrix}$ $Formula: M^2=\begin{pmatrix}ab&0&0\\0&ab&0\\bc&0&0\end{pmatrix}$

Begründe, dass nur eine Einschränkung für Formula: a und Formula: b getroffen werden muss, damit für alle ungeraden Formula: n gilt: $Formula: \overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{v_1}$ $Formula: \overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{v_1}$

4 BE

9 Stochastik

In einem Gefäß befinden sich Formula: 6 rote und Formula: x grüne Kugeln. Es gilt $Formula: x\gt 6.$ $Formula: x\gt 6.$

Beschreibe in diesem Zusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term $Formula: \tfrac{6}{6+x}\cdot\tfrac{5}{5+x}+\tfrac{x}{6+x}\cdot\tfrac{x-1}{5+x}$ $Formula: \tfrac{6}{6+x}\cdot\tfrac{5}{5+x}+\tfrac{x}{6+x}\cdot\tfrac{x-1}{5+x}$ berechnet werden kann. Gib dieses Ereignis an und begründe die Angabe.

4 BE

Für eine bestimmte Anzahl von grünen Kugeln in dem Gefäß hat die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis aus a den Wert Formula: 0{,}5.

Die Gleichung $Formula: \tfrac{6}{6+x}\cdot\tfrac{5}{5+x}+\tfrac{x}{6+x}\cdot\tfrac{x-1}{5+x}=\tfrac{1}{2}$ $Formula: \tfrac{6}{6+x}\cdot\tfrac{5}{5+x}+\tfrac{x}{6+x}\cdot\tfrac{x-1}{5+x}=\tfrac{1}{2}$ besitzt die Lösungen Formula: x_1=3 und Formula: x_2=10.

Gib die Gesamtanzahl der Kugeln in dem Gefäß an.

1 BE

10 Stochastik

Eine Münze, die auf der einen Seite „Kopf“ und auf der anderen Seite „Zahl“ zeigt, wird einmal geworfen. Dabei tritt das Ergebnis „Kopf“ mit der Wahrscheinlichkeit Formula: p ein.

Ermittle, wie oft eine Münze mit $Formula: p=\tfrac{1}{2}$ $Formula: p=\tfrac{1}{2}$ mindestens geworfen werden muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $Formula: 80\,\%$ $Formula: 80\,\%$ mindestens einmal „Zahl“ zu erhalten.

3 BE

Nun wird eine Münze betrachtet, für die gilt $Formula: p\neq\tfrac{1}{2}.$ $Formula: p\neq\tfrac{1}{2}.$

Bestimme Formula: p so, dass man mit einer Wahrscheinlichkeit von $Formula: 64\,\%$ $Formula: 64\,\%$ in zwei Würfen mindestens einmal „Zahl“ erzielt.

2 BE

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5 Analysis

Da Formula: G_b punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist, sind die Punkte Formula: P und Formula: Q zueinander punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Somit sind auch die beiden Tangenten zueinander punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, d.h. sie verlaufen parallel zueinander.

Mit der Kettenregel folgt:

$Formula: f'(x)=2\cdot b'(x)\cdot b(x)$ $Formula: f'(x)=2\cdot b'(x)\cdot b(x)$

Mit Teilaufgabe a folgt somit:

$Formula: \begin{array}{rlll} -f'(1)&=&-2\cdot b'(1)\cdot b(1) \\[5pt] &=&-2\cdot b'(-1)\cdot(- b(-1)) \\[5pt] &=&2\cdot b'(-1)\cdot b(-1) \\[5pt] &=&f'(-1) \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -f'(1)&=&-2\cdot b'(1)\cdot b(1) \\[5pt] &=&-2\cdot b'(-1)\cdot(- b(-1)) \\[5pt] &=&2\cdot b'(-1)\cdot b(-1) \\[5pt] &=&f'(-1) \end{array}$

6 Analysis

$Formula: \begin{array}{rlll} \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)&=&\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\dfrac{4}{x^2+1}\right) \\[5pt] &=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)&=&\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\dfrac{4}{x^2+1}\right) \\[5pt] &=&0 \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} \lim\limits_{x \to -\infty} f(x)&=&\lim\limits_{x \to -\infty}\left(\dfrac{4}{x^2+1}\right) \\[5pt] &=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \lim\limits_{x \to -\infty} f(x)&=&\lim\limits_{x \to -\infty}\left(\dfrac{4}{x^2+1}\right) \\[5pt] &=&0 \end{array}$

Da der Graph keine Definitionslücke hat, ist somit Formula: y=0 die einzige Asymptote.

Für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von Formula: u ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} A(u)&=&\dfrac{1}{2}\cdot2u\cdot f(u) \\[5pt] &=&\dfrac{4u}{u^2+1} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A(u)&=&\dfrac{1}{2}\cdot2u\cdot f(u) \\[5pt] &=&\dfrac{4u}{u^2+1} \end{array}$

Für die erste Ableitung ergibt sich:

$Formula: A'(u)=\dfrac{4\cdot(u^2+1)-4u\cdot2u}{(u^2+1)^2}$ $Formula: A'(u)=\dfrac{4\cdot(u^2+1)-4u\cdot2u}{(u^2+1)^2}$

Anwenden der notwendigen Bedingung für Extremstellen Formula: A'(u)=0 liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} A'(u)&=&0 \\[5pt] \dfrac{4\cdot(u^2+1)-4u\cdot2u}{(u^2+1)^2}&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(u^2+1) \\[5pt] -4u^2+4&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+4u^2 \\[5pt] 4&=&4u^2 &\quad\scriptsize\mid\;:4 \\[5pt] 1&=&u^2 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \pm1&=&u_{1;2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A'(u)&=&0 \\[5pt] \dfrac{4\cdot(u^2+1)-4u\cdot2u}{(u^2+1)^2}&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(u^2+1) \\[5pt] -4u^2+4&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+4u^2 \\[5pt] 4&=&4u^2 &\quad\scriptsize\mid\;:4 \\[5pt] 1&=&u^2 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \pm1&=&u_{1;2} \end{array}$

Da $Formula: u\gt0$ $Formula: u\gt0$ gelten muss, wird der Flächeninhalt somit für Formula: u=1 maximal. Für ihn ergibt sich dann:

$Formula: A(1)=\dfrac{4\cdot 1}{1^2+1}=2$ $Formula: A(1)=\dfrac{4\cdot 1}{1^2+1}=2$

7 Lineare Algebra

$Formula: \begin{array}{rlll} A^2&=&\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right) \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right) \\[5pt] &=&-E \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A^2&=&\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right) \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right) \\[5pt] &=&-E \end{array}$

Damit folgt direkt Formula: A^4=E,A^6=-E und so weiter. Für die ungeraden Exponenten ergibt sich damit folgendes Muster:

$Formula: A^3=-A, A^5=A,\ldots$ $Formula: A^3=-A, A^5=A,\ldots$

Somit ist Formula: A nicht nilpotent.

8 Lineare Algebra

Der Wert von Formula: b gibt die Wahrscheinlichkeit für den Übergang vom ersten Entwicklungsstadium in das zweite Entwicklungsstadium in einem Jahr an.

Formula: Es gilt Es gilt $Formula: \overrightarrow{v_1}=M\cdot \overrightarrow{v_0}$ $Formula: \overrightarrow{v_1}=M\cdot \overrightarrow{v_0}$ und $Formula: \overrightarrow{v_n}=M^n\cdot \overrightarrow{v_0}.$ $Formula: \overrightarrow{v_n}=M^n\cdot \overrightarrow{v_0}.$ Damit für ungerade Formula: n Gleichheit gilt, muss für diese somit Formula: M^n=M gelten, was der Fall ist, wenn Formula: M^3=M gilt. Für gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} M^3&=&M^2\cdot M \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{ccc}a b & 0 & 0 \\ 0 & a b & 0 \\ b c & 0 & 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{lll}0 & a & 0 \\ b & 0 & 0 \\ 0 & c & 0\end{array}\right) \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{ccc}0 & a^2 b & 0 \\ a b^2 & 0 & 0 \\ 0 & a b c & 0\end{array}\right) \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} M^3&=&M^2\cdot M \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{ccc}a b & 0 & 0 \\ 0 & a b & 0 \\ b c & 0 & 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{lll}0 & a & 0 \\ b & 0 & 0 \\ 0 & c & 0\end{array}\right) \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{ccc}0 & a^2 b & 0 \\ a b^2 & 0 & 0 \\ 0 & a b c & 0\end{array}\right) \end{array}$

Vergleichen mit Formula: M zeigt, dass Formula: M^3=M für Formula: ab=1 gilt. Somit braucht es nur diese eine Einschränkung.

9 Stochastik

Ein mögliches Zufallsexperiment ist das zweimalige Ziehen einer Kugel aus dem Gefäß ohne Zurücklegen. Das angegebene Ereignis ist dann, dass zwei gleichfarbige Kugeln gezogen werden. Der Term $Formula: \tfrac{6}{6+x} \cdot \tfrac{5}{5+x}$ $Formula: \tfrac{6}{6+x} \cdot \tfrac{5}{5+x}$ ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass im ersten Zug eine rote und im zweiten Zug eine rote Kugel gezogen wird und der Term $Formula: \tfrac{x}{6+x} \cdot \tfrac{x-1}{5+x}$ $Formula: \tfrac{x}{6+x} \cdot \tfrac{x-1}{5+x}$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass im ersten Zug eine grüne und im zweiten Zug eine grüne Kugel gezogen wird.

Durch $Formula: x_2=10\gt6$ $Formula: x_2=10\gt6$ ergeben sich insgesamt Formula: 16 Kugeln.

10 Stochastik

Systematisches Ausprobieren liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} 1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2&=&\dfrac{3}{4} \\[5pt] &=&0,75 \\[5pt] &=&75\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2&=&\dfrac{3}{4} \\[5pt] &=&0,75 \\[5pt] &=&75\,\% \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} 1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^3&=&\dfrac{7}{8} \\[5pt] &=&0,875 \\[5pt] &=&87,5\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^3&=&\dfrac{7}{8} \\[5pt] &=&0,875 \\[5pt] &=&87,5\,\% \end{array}$

Somit muss die Münze mindestens dreimal geworfen werden.

$Formula: \begin{array}{rlll} 1-p^2&=&0,64 &\quad\scriptsize\mid\;-1 \\[5pt] -p^2&=&-0,36 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-1) \\[5pt] p^2&=&0,36 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] p_{1;2}&=&\pm0,6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 1-p^2&=&0,64 &\quad\scriptsize\mid\;-1 \\[5pt] -p^2&=&-0,36 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-1) \\[5pt] p^2&=&0,36 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] p_{1;2}&=&\pm0,6 \end{array}$

Da die Wahrscheinlichkeit Formula: p positiv sein muss, folgt Formula: p=0,6.

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