Aufgabe 2

Gegeben ist die Schar der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktionen Formula: f_a mit $Formula: f_a(x)=\tfrac{1}{3}\cdot x^3+\tfrac{1}{2}\cdot(1-a)\cdot x^2-a\cdot x,$ $Formula: f_a(x)=\tfrac{1}{3}\cdot x^3+\tfrac{1}{2}\cdot(1-a)\cdot x^2-a\cdot x,$ wobei $Formula: a\in\mathbb{R}, a\gt 0.$ $Formula: a\in\mathbb{R}, a\gt 0.$

Der Graph von Formula: f_a wird mit Formula: G_a bezeichnet.

Zeige rechnerisch, dass der Graph Formula: G_2 der Funktion Formula: f_2 mit $Formula: f_2(x)=\tfrac{1}{3}\cdot x^3-\tfrac{1}{2}\cdot x^2-2\cdot x$ $Formula: f_2(x)=\tfrac{1}{3}\cdot x^3-\tfrac{1}{2}\cdot x^2-2\cdot x$ genau einen Hoch- und genau einen Tiefpunkt besitzt.

4 BE

Koordinatensystem mit drei unterschiedlich markierten kubischen Funktionen.

Abbildung 1

Abbildung 1 zeigt für drei Werte von Formula: a jeweils den zugehörigen Graphen Formula: G_a. Graph II gehört zu Formula: G_2, die anderen Graphen gehören zu den Parameterwerten Formula: a=1{,}5 bzw. Formula: a=2{,}5. Ordne den Graphen I und III jeweils den passenden Parameterwert zu.

1 BE

Weise nach, dass alle Graphen Formula: G_a nur die Punkte $Formula: R(0\mid 0)$ $Formula: R(0\mid 0)$ und $Formula: S\left(-2\mid-\tfrac{2}{3}\right)$ $Formula: S\left(-2\mid-\tfrac{2}{3}\right)$ gemeinsam haben.

5 BE

An den Graphen Formula: G_a wird im Punkt $Formula: S\left(-2\mid-\tfrac{2}{3}\right)$ $Formula: S\left(-2\mid-\tfrac{2}{3}\right)$ die Tangente gelegt.

Ermittle den Wert des Parameters Formula: a so, dass diese Tangente die Formula: y -Achse im Punkt $Formula: P(0\mid 7)$ $Formula: P(0\mid 7)$ schneidet.

5 BE

Interpretiere die geometrische Aussage der Gleichung

$Formula: (*)\quad\displaystyle\int_{-2}^{0}\left(f_{a+0{,}5}(x)-f_a(x)\right)\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{3}.$ $Formula: (*)\quad\displaystyle\int_{-2}^{0}\left(f_{a+0{,}5}(x)-f_a(x)\right)\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{3}.$

Gib mithilfe der Gleichung Formula: (*) den Wert von $Formula: \int_{-2}^{0}(f_{a+1}(x)-f_a(x))\,\mathrm{d}x$ $Formula: \int_{-2}^{0}(f_{a+1}(x)-f_a(x))\,\mathrm{d}x$ an.

Begründe diesen Wert unter Verwendung von Abbildung 1.

5 BE

Anlässlich eines sportlichen Großereignisses werden Sammelbildchen verkauft. Die Verkaufsrate ist die Anzahl der pro Tag verkauften Sammelbildchen und wird mithilfe der Funktion Formula: v mit $Formula: v(x)=x^3-120\cdot x^2+3600\cdot x$ $Formula: v(x)=x^3-120\cdot x^2+3600\cdot x$ beschrieben. Dabei ist $Formula: x\in[0;60]$ $Formula: x\in[0;60]$ die Zeit in Tagen seit Verkaufsbeginn und die zugehörige Anzahl der pro Tag verkauften Sammelbildchen.

Die Abbildung 2 zeigt den Graphen von Formula: v.

Graph der Funktion v(x) über den Tagen mit einem Hochpunkt bei etwa 20 Tagen und markiertem Punkt A bei (10, 25.000).

Abbildung 2

Gib die Bedeutung des Punktes $Formula: A(10\mid 25\,000)$ $Formula: A(10\mid 25\,000)$ des Graphen von Formula: v im Sachzusammenhang an.

2 BE

Begründe mithilfe der Abbildung 2, dass innerhalb der ersten zehn Tage mehr als $Formula: 100\,000$ $Formula: 100\,000$ Sammelbildchen verkauft werden.

4 BE

Es ist bekannt, dass Formula: n=14 die kleinste Lösung ist, die die Ungleichung $Formula: \int_{20}^{20+n}v(x)\,\mathrm{d}x\gt 400\,000$ $Formula: \int_{20}^{20+n}v(x)\,\mathrm{d}x\gt 400\,000$ mit $Formula: n\in\mathbb{N}$ $Formula: n\in\mathbb{N}$ und $Formula: n\leq 40$ $Formula: n\leq 40$ erfüllt.

(1)

Deute die kleinste Lösung im Sachzusammenhang.

(2)

Begründe, dass die Ungleichung weitere Lösungen hat.

4 BE

Weiter lernen mit SchulLV Plus!

monatlich kündbarSchulLV Plus-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

Für die ersten beiden Ableitungen von Formula: f_2 gilt:

Formula: f_2'(x)=x^2-x-2

Formula: f_2''(x)=2x-1

Anwenden der notwendigen Bedingung für Extremstellen Formula: f_2'(x)=0 liefert für mit der Formula: pq -Formel:

$Formula: \begin{array}{rlll} x_{1;2}&=&\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+2} \\[5pt] x_{1;2}&=&\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}} \\[5pt] x_1&=&\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2} \\[5pt] &=&2 \\[5pt] x_2&=&\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2} \\[5pt] &=&-1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_{1;2}&=&\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+2} \\[5pt] x_{1;2}&=&\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}} \\[5pt] x_1&=&\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2} \\[5pt] &=&2 \\[5pt] x_2&=&\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2} \\[5pt] &=&-1 \end{array}$

Überprüfen der hinreichenden Bedingung für Extremstellen ergibt:

$Formula: \begin{array}{rlll} f_2''(2)&=&2\cdot2-1 \\[5pt] &=&3\gt0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f_2''(2)&=&2\cdot2-1 \\[5pt] &=&3\gt0 \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} f_2''(-1)&=&2\cdot(-1)-1 \\[5pt] &=&-3\lt0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f_2''(-1)&=&2\cdot(-1)-1 \\[5pt] &=&-3\lt0 \end{array}$

Somit besitzt der Graph Formula: G_2 genau einen Hoch- und einen Tiefpunkt.

Graph I gehört zu Formula: a=1,5 und Graph III zu Formula: a=2,5.

Für die Schnittstellen von Formula: G_a und Formula: G_b mit $Formula: a\neq b$ $Formula: a\neq b$ folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} f_a(x)&=&f_b(x) \\[5pt] \dfrac{1}{3} \cdot x^3+\dfrac{1}{2} \cdot(1-a) \cdot x^2-a \cdot x&=&\dfrac{1}{3} \cdot x^3+\dfrac{1}{2} \cdot(1-b) \cdot x^2-b \cdot x &\quad\scriptsize\mid\;-\left(\tfrac{1}{3} \cdot x^3+\tfrac{1}{2} \cdot(1-b) \cdot x^2-b \cdot x\right) \\[5pt] (b-a) \cdot\left(\dfrac{1}{2} \cdot x^2+x\right)&=&0 \\[5pt] (b-a) \cdot x\cdot\left(\dfrac{1}{2} x+1\right)&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f_a(x)&=&f_b(x) \\[5pt] \dfrac{1}{3} \cdot x^3+\dfrac{1}{2} \cdot(1-a) \cdot x^2-a \cdot x&=&\dfrac{1}{3} \cdot x^3+\dfrac{1}{2} \cdot(1-b) \cdot x^2-b \cdot x &\quad\scriptsize\mid\;-\left(\tfrac{1}{3} \cdot x^3+\tfrac{1}{2} \cdot(1-b) \cdot x^2-b \cdot x\right) \\[5pt] (b-a) \cdot\left(\dfrac{1}{2} \cdot x^2+x\right)&=&0 \\[5pt] (b-a) \cdot x\cdot\left(\dfrac{1}{2} x+1\right)&=&0 \end{array}$

Da $Formula: a\neq b$ $Formula: a\neq b$ gilt, folgt mit dem Satz des Nullprodukts Formula: x_1=0 und Formula: x_2=-2. Einsetzen der beiden Werte in Formula: f_a(x) liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} f_a(0)&=&\dfrac{1}{3} \cdot 0^3+\dfrac{1}{2} \cdot(1-a) \cdot 0^2-a \cdot 0 \\[5pt] &=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f_a(0)&=&\dfrac{1}{3} \cdot 0^3+\dfrac{1}{2} \cdot(1-a) \cdot 0^2-a \cdot 0 \\[5pt] &=&0 \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} f_a(-2)&=&\dfrac{1}{3} \cdot (-2)^3+\dfrac{1}{2} \cdot(1-a) \cdot (-2)^2-a \cdot (-2) \\[5pt] &=&-\dfrac{2}{3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f_a(-2)&=&\dfrac{1}{3} \cdot (-2)^3+\dfrac{1}{2} \cdot(1-a) \cdot (-2)^2-a \cdot (-2) \\[5pt] &=&-\dfrac{2}{3} \end{array}$

Alle Graphen haben somit nur die Punkte Formula: R und Formula: S gemeinsam.

Für die erste Ableitung von Formula: f_a gilt:

$Formula: f_a'(x)=x^2+(1-a) \cdot x-a$ $Formula: f_a'(x)=x^2+(1-a) \cdot x-a$

Für die Steigung der Tangente folgt somit:

$Formula: \begin{array}{rlll} f_a'(-2)&=&(-2)^2+(1-a) \cdot (-2)-a \\[5pt] &=&2+a \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f_a'(-2)&=&(-2)^2+(1-a) \cdot (-2)-a \\[5pt] &=&2+a \end{array}$

Einsetzen der Steigung und der Koordinaten von Formula: S, sowie des Formula: y -Achsenabschnitts Formula: b=7 in die allgemeine Tangentengleichung Formula: t_a(x)=mx+b liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} -\dfrac{2}{3}&=&(2+a)\cdot(-2)+7 &\quad\scriptsize\mid\;-3 \\[5pt] -\dfrac{11}{3}&=&-2a &\quad\scriptsize\mid\;:(-2) \\[5pt] \dfrac{11}{6}&=&a \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -\dfrac{2}{3}&=&(2+a)\cdot(-2)+7 &\quad\scriptsize\mid\;-3 \\[5pt] -\dfrac{11}{3}&=&-2a &\quad\scriptsize\mid\;:(-2) \\[5pt] \dfrac{11}{6}&=&a \end{array}$

Aussage interpretieren

Der Inhalt der Fläche, die von den Graphen $Formula: G_{a+0,5}$ $Formula: G_{a+0,5}$ und Formula: G_a begrenzt wird, beträgt $Formula: \tfrac{1}{3}.$ $Formula: \tfrac{1}{3}.$

Wert angeben und begründen

$Formula: \displaystyle\int_{-2}^0\left(f_{a+1}(x)-f_a(x)\right) \mathrm{d} x=\dfrac{2}{3}$ $Formula: \displaystyle\int_{-2}^0\left(f_{a+1}(x)-f_a(x)\right) \mathrm{d} x=\dfrac{2}{3}$

Koordinatensystem mit mehreren Parabeln und markierten Flächen zwischen den Graphen.

Der Graph von $Formula: G_{a+0,5}$ $Formula: G_{a+0,5}$ teilt die Fläche, die von Formula: G_a und $Formula: G_{a+1}$ $Formula: G_{a+1}$ begrenzt wird, in zwei Flächen Formula: A_1 und Formula: A_2, die jeweils den Inhalt $Formula: \tfrac{1}{3}$ $Formula: \tfrac{1}{3}$ haben.

Am zehnten Tag nach Verkaufsbeginn werden $Formula: 25\,000$ $Formula: 25\,000$ Sammelbildchen verkauft.

Graph der täglichen Anzahl v(x) über die Zeit mit markiertem Punkt A bei x = 10 Tagen und schattierter Fläche.

Die Anzahl der in den ersten zehn Tagen verkauften Sammelbildchen ist $Formula: \displaystyle\int_0^{10} v(x) \;\mathrm d x.$ $Formula: \displaystyle\int_0^{10} v(x) \;\mathrm d x.$ Das entspricht dem Inhalt der schraffierten Fläche unter dem Graphen. Dieser ist größer als der Flächeninhalt $Formula: A=\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 25\,000=125\,000$ $Formula: A=\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 25\,000=125\,000$ des eingefärbten Dreiecks.

(1)

Die kleinste Lösung der Ungleichung gibt die Länge des Zeitraums ab dem 20. Tag an, in dem erstmals mehr als $Formula: 400\,000$ $Formula: 400\,000$ Sammelbildchen verkauft werden.

(2)

Es gilt $Formula: v(x) \geq 0$ $Formula: v(x) \geq 0$ für $Formula: x \in[14 ; 60],$ $Formula: x \in[14 ; 60],$ somit ist $Formula: \displaystyle\int_{34}^{20+n} v(x)\;\mathrm d x$ $Formula: \displaystyle\int_{34}^{20+n} v(x)\;\mathrm d x$ insbesondere positiv für $Formula: 15\leq n\leq 40.$ $Formula: 15\leq n\leq 40.$ Damit folgt, mit Hilfe von Formula: (1), für alle diese Werte von Formula: n:

$Formula: \begin{array}{rlll} \displaystyle\int_{20}^{20+n} v(x) \;\mathrm d x&=&\displaystyle\int_{20}^{20+14} v(x)\;\mathrm d x+\displaystyle\int_{34}^{20+n} v(x)\;\mathrm d x \\[5pt] &\gt&400\,000 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \displaystyle\int_{20}^{20+n} v(x) \;\mathrm d x&=&\displaystyle\int_{20}^{20+14} v(x)\;\mathrm d x+\displaystyle\int_{34}^{20+n} v(x)\;\mathrm d x \\[5pt] &\gt&400\,000 \end{array}$

Weiter lernen mit SchulLV Plus!

monatlich kündbarSchulLV Plus-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?