Abi 2018 Analysis (zentral)

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x)=a^2\cdot x\cdot\mathrm e^{\left(\frac{\Large -a}{\Large 3}\cdot \Large x\right)}$ mit $a\in\mathbb R^+$ , $x\in\mathbb R.$
Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

Bestimme die Nullstellen von $f_a$ und gib das Verhalten der Funktionenschar für $x\to\infty$ an.

Bestimme die erste Ableitung von $f_a.$

Weise nach, dass jeder Graph $G_a$ in Abhängigkeit von $a$ genau einen Hochpunkt $H_a\left(\frac{3}{a}\mid\frac{3}{e}a\right)$ besitzt.
Verwende dazu $f_a‘‘(x)=\mathrm e^{\frac{\Large -a}{\Large 3}\cdot \Large x}\cdot\left(\dfrac{a^4}{9}x-\dfrac{2}{3}a^3\right).$

Die Abbildung zeigt zwei Graphen der Funkionenschar $f_a.$
Begründe, dass der Graph (I) zur Funktion mit dem größeren Parameterwert gehört.

Berechne die beiden Schnittstellen der Funktionen $f_2$ und $f_4$ sowie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen $G_2$ und $G_4$ eingeschlossen sind.
Hinweis: Du darfst verwenden, dass $\left(3\mathrm e^{\frac{-a}{3}\cdot x}(-ax-3)\right)‘=a^2\cdot x\cdot\mathrm e^{\frac{-a}{3}\cdot x}$ gilt.

Aufgabe 2

Ein Zoowärter wird in der Schlangenabteilung von einer Giftschlange gebissen. Im Folgenden wird versucht, die Konzentration dieses Gifts im Blut des Wärters durch die Funktionenschar $f_a$ modellhaft zu beschreiben. Dabei steht $x$ für die Zeit (in Stunden) seit dem Schlangenbiss und $f_a(x)$ für die Konzentration des Gifts im Blut (in $\dfrac{\mu g}{\text{Liter}}$ ).
Es soll nun die konkrete Situation betrachtet werden, die durch den Parameterwert $a=3$ erfasst wird. Die Konzentration des Gifts wird also durch $f_3$ mit $f_3(x)=9\cdot x\cdot\mathrm e^{-x}$ beschrieben.
(Berechnete Endergebnisse ggf. auf zwei Nachkommastellen genau angeben.)

Ermittle, wann die maximale Konzentration des Gifts im Blut des Wärters erreicht ist und wie hoch sie dann ist.

Es ist für die Behandlung wichtig zu wissen, wann die Konzentration des Gifts im Blut unter einen bestimmten Wert gesunken ist. Skizziere dazu den Graphen $G_3$ und gib den ungefähren Zeitpunkt an, ab wann die Konzentration bei dem Wärter unter $0,2$ $\dfrac{\mu g}{\text{Liter}}$ gesunken ist.

Berechne zunächst $\displaystyle\int_{0}^{z}f_3(x)\;\mathrm dx;\,z\in\mathrm R^+.$
Als Maß für die Notwendigkeit einer Nachbehandlung zur Vermeidung von Spätfolgen ist der Wert von $W=\lim\limits_{z\to +\infty}\displaystyle\int_{0}^{z}f_3(x)\;\mathrm dx$ bedeutsam.
Der behandelnde Arzt möchte eine Nachbehandlung einleiten, wenn $W$ größer als $12$ ist ( $W\,\text{in Stunden}\,\cdot\dfrac{\mu g}{\text{Liter}}$ ).
Prüfe, ob der Wärter weiterbehandelt wird.

Da sich der Wärter sehr unwohl fühlt, verabreicht ihm der Arzt zum Zeitpunkt $x=3$ (Stunden) ein Gegenmittel. Das Gegenmittel soll eine lineare Abnahme der Giftkonzentration bewirken. Ergänze deine grafische Darstellung aus Teilaufgabe 2b) ab der Stelle $x=3$ um den linearen Verlauf und nimm dazu an, dass dieser im Punkt $P(3\mid f_3(3))$ knickfrei an den Graphen $G_3$ anschließt.
Berechne, wann die Konzentration des Gifts im Blut auf $0,2\dfrac{\mu g}{\text{Liter}}$ gesunken sein müsste.

Lösung 1

$f_a(x)=a^2\cdot x\cdot\mathrm e^{\frac{-a}{3}\cdot x}$

$f_a(x)=0$

$a^2\cdot x\cdot\mathrm e^{\frac{-a}{3}\cdot x}=0$

Der Funktionsterm kann nur für $x=0$ gleich Null werden, demnach ist $x=0$ einzige Nullstelle für alle $a\in\mathbb R^+.$

Grenzwertberechnung: $\lim\limits_{x\to +\infty}a^2\cdot x\cdot \underbrace{\mathrm e^{\frac{-a}{3}\cdot x}}_{\to 0}=0$

Leite mit Hilfe der Produktregel ab. Bei der $e$ -Funktion wendest du zudem die Kettenregel an.

$f_a‘(x)=\mathrm e^{\frac{-a}{3}\cdot x}\cdot\left(a^2-\frac{a^3}{3}x\right)$

Vollständige Lösung anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} f‘_a(x)&=&0 &\\[5pt] \mathrm e^{\frac{-a}{3}\cdot x}\cdot\left(a^2-\dfrac{a^3}{3}x\right)&=&0 \end{array}$

Die $e$ -Funktion kann nicht gleich Null werden, also genügt es, die Klammer Null zu setzen.

$\begin{array}[t]{rll} a^2-\dfrac{a^3}{3}x&=&0\\ a^2&=&\dfrac{a^3}{3}x\\ x&=&\dfrac{3}{a} \end{array}$

Überprüfung der hinreichenden Bedingung:

$f‘‘_a\left(\dfrac{3}{a}\right)=-\dfrac{a^3}{3}\mathrm e^{-1}\lt 0$

Es handelt sich also um einen Hochpunkt.

$f_a\left(\dfrac{3}{a}\right)=3\cdot a\cdot\mathrm e^{-1}=\dfrac{3}{e}a$

$H_a\left(\dfrac{3}{a}\mid\dfrac{3}{e}a\right)$

Je größer der Wert von $a$ , desto kleiner ist die $x$ -Koordinate des Hochpunkts.

$f_2(x)=f_4(x)$

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$x_1=0$

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$x_2=\dfrac{3}{2}\ln(4)$

Integral berechnen:

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Die gesuchte Fläche hat ungefähr den Inhalt $3,25\;FE.$

Lösung 2

Berechne dazu den Hochpunkt:

$\begin{array}[t]{rll} f_3‘(x)&=&9\cdot\mathrm e^{-x}+9x\cdot(-1)\cdot\mathrm e^{-x} &\\[5pt] &=&9\mathrm e^{-x}(1-x)& \end{array}$

$9\mathrm e^{-x}(1-x)=0$

$x=1$

Auf die hinreichende Bedingung wird verzichtet, da im Schaubild erkennbar ist, dass es sich um einen Hochpunkt handelt.

$f_3(1)=\dfrac{9}{e}\approx 3,31$

Eine Stunde nach dem Biss beträgt die maximale Konzentration ca. $3,31\;\mu g$ pro Liter.

Ca. $5,5$ Stunden nach dem Biss ist die Konzentration unter $0,2\;\mu g$ pro Liter gesunken.

Mit dem Hinweis aus Aufgabe 1e) und $a=3$ erhält man:

$\displaystyle\int_{0}^{z}f_3(x)\;\mathrm dx=\left[3\mathrm e^{-x}(-3x-3)\right]^z_0$

$=3e^{-z}(-3z-3)+9$

$W=\lim\limits_{z\to +\infty}(3\mathrm e^{-z}(-3z-3)+9)=9\lt 12$

Das heißt, es ist keine Nachbehandlung notwendig.

Tangentengleichung an $G_3$ im Punkt $P(3\mid f_3(3)):$

$t(x)=f_3(3)\cdot(x-3)+f_3(3)$

Aus $0,2=f_3(3)\cdot(x-3)+f_3(3)$ erhält man $x\approx 4,28.$

Die Konzentration müsste etwa $4,28$ Stunden nach dem Biss auf $0,2\mu g$ /Liter gesunken sein.