Aufgabe 1

Für jeden Wert von Formula: a mit $Formula: a \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ $Formula: a \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ ist die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: f_a mit $Formula: f_a(x)=-3x^2\cdot \mathrm e^{a\cdot x}$ $Formula: f_a(x)=-3x^2\cdot \mathrm e^{a\cdot x}$ gegeben. Der Graph von wird mit Formula: G_a bezeichnet.

Koordinatensystem mit einer Kurve, die einen Tiefpunkt und einen Hochpunkt am Ursprung hat.

Abbildung 1

Abbildung 1 zeigt für einen Wert von Formula: a den Graphen von Formula: f_a. Dieser verläuft durch den Punkt $Formula: (-4\mid -48\mathrm e^{-2}).$ $Formula: (-4\mid -48\mathrm e^{-2}).$ Bestimme den zugehörigen Wert von Formula: a.

2 BE

Begründe anhand des Funktionsterms für jeden Wert von Formula: a, dass Formula: f_a keine positiven Funktionswerte besitzt.

2 BE

Formula: G_a hat für jeden Wert von Formula: a genau zwei Extrempunkte, von denen einer im Koordinatenursprung liegt. Begründe, dass im Koordinatenursprung der Hochpunkt von liegt, und berechne die Formula: x -Koordinate des Tiefpunkts.

(zur Kontrolle: Formula: x -Koordinate des Tiefpunkts: $Formula: -\tfrac{2}{a}$ $Formula: -\tfrac{2}{a}$ )

5 BE

Es gibt einen positiven Wert von Formula: a, für den der Tiefpunkt von Formula: G_a Eckpunkt eines Quadrats ist, von dem zwei Seiten auf den Koordinatenachsen liegen. Ermittle diesen Wert von sowie den Flächeninhalt des zugehörigen Quadrats.

5 BE

Auf einem Einfamilienhaus ist eine Photovoltaikanlage installiert. An einem bestimmten Tag kann die von der Anlage im Zeitraum von 6:00 Uhr bis 20:00 Uhr abgegebene elektrische Leistung durch die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: k mit

$Formula: k(x)=2{,}4\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\cdot(x-7)\right)+1$ $Formula: k(x)=2{,}4\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\cdot(x-7)\right)+1$

beschrieben werden.

Die in diesem Zeitraum im Haus aufgenommene elektrische Leistung kann durch eine in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: h beschrieben werden.

Dabei ist Formula: x jeweils die seit 0:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden, Formula: k(x) die von der Photovoltaikanlage abgegebene elektrische Leistung und Formula: h(x) die im Haus aufgenommene elektrische Leistung, jeweils in der Einheit Kilowatt $Formula: (\mathrm{kW}).$ $Formula: (\mathrm{kW}).$

Abbildung 2 zeigt die zugehörigen Ausschnitte der Graphen von Formula: k und Formula: h.

Koordinatensystem mit zwei parabelförmigen Graphen k und h.

Abbildung 2

Um 13:00 Uhr gibt die Photovoltaikanlage die maximale elektrische Leistung ab. Ermittle rechnerisch einen Zeitpunkt, zu dem die Photovoltaikanlage eine elektrische Leistung abgibt, die $Formula: 50\,\%$ $Formula: 50\,\%$ dieser Leistung entspricht; gib die zugehörige Uhrzeit in Stunden und Minuten an.

5 BE

Ermittle grafisch die Zeitpunkte, zu denen die von der Photovoltaikanlage abgegebene elektrische Leistung genauso groß ist wie die im Haus aufgenommene elektrische Leistung.

3 BE

Die in einem bestimmten Zeitraum von der Photovoltaikanlage insgesamt abgegebene bzw. im Haus insgesamt aufgenommene elektrische Energie kann mithilfe des folgenden allgemeinen Zusammenhangs bestimmt werden:

Beschreibt eine Funktion Formula: p in einem Zeitraum, der durch ein Intervall Formula: [a;b] beschrieben wird, eine elektrische Leistung, so gibt $Formula: \int_a^b p(x)\,\mathrm{d}x$ $Formula: \int_a^b p(x)\,\mathrm{d}x$ die zugehörige elektrische Energie an. Wird dabei die Zeit in Stunden und die elektrische Leistung in $Formula: \mathrm{kW}$ $Formula: \mathrm{kW}$ angegeben, so gibt das Integral die elektrische Energie in $Formula: \mathrm{kWh}$ $Formula: \mathrm{kWh}$ an.

Die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: K mit $Formula: K(x)=-\tfrac{144}{5\pi}\cdot\cos\left(\tfrac{\pi}{12}\cdot(x-7)\right)+x$ $Formula: K(x)=-\tfrac{144}{5\pi}\cdot\cos\left(\tfrac{\pi}{12}\cdot(x-7)\right)+x$ ist eine Stammfunktion von Formula: k. Berechne die von 6:00 Uhr bis 20:00 Uhr insgesamt von der Photovoltaikanlage abgegebene elektrische Energie.

4 BE

Begründe mithilfe von Abbildung 2 die Aussage $Formula: \int_6^{20}(k(x)-h(x))\,\mathrm{d}x\lt 0$ $Formula: \int_6^{20}(k(x)-h(x))\,\mathrm{d}x\lt 0$ und interpretiere diese im Sachzusammenhang.

4 BE

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Einsetzen der Koordinaten in Formula: f_a(x) liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} -48 \mathrm e^{-2}&=&-3 \cdot(-4)^2 \cdot \mathrm e^{-4 a} &\quad\scriptsize\mid\;:(-48) \\[5pt] \mathrm e^{-2}&=&\mathrm e^{-4 a} &\quad\scriptsize\mid\;\ln \\[5pt] -2&=&-4a &\quad\scriptsize\mid\;:(-4) \\[5pt] 0,5&=&a \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -48 \mathrm e^{-2}&=&-3 \cdot(-4)^2 \cdot \mathrm e^{-4 a} &\quad\scriptsize\mid\;:(-48) \\[5pt] \mathrm e^{-2}&=&\mathrm e^{-4 a} &\quad\scriptsize\mid\;\ln \\[5pt] -2&=&-4a &\quad\scriptsize\mid\;:(-4) \\[5pt] 0,5&=&a \end{array}$

Wegen $Formula: x^2 \geq 0$ $Formula: x^2 \geq 0$ und $Formula: \mathrm e^{a \cdot x}>0$ $Formula: \mathrm e^{a \cdot x}>0$ gilt $Formula: f_a(x)=-3 x^2 \cdot \mathrm e^{a \cdot x} \leq 0,$ $Formula: f_a(x)=-3 x^2 \cdot \mathrm e^{a \cdot x} \leq 0,$ somit besitzt keine positiven Funktionswerte.

Formula: G_a Lage begründen

Da Formula: f_a keine positiven Funktionswerte besitzt, muss der Hochpunkt im Koordinatenursprung liegen.

$Formula: \boldsymbol{x}$ $Formula: \boldsymbol{x}$ -Koordinate berechnen

Für die erste Ableitung von Formula: f_a gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} f_a'(x)&=&-6 x \cdot \mathrm e^{a \cdot x}-3 x^2 \cdot a \cdot \mathrm e^{a \cdot x} \\[5pt] &=&-3 x \cdot(2+a \cdot x) \cdot \mathrm e^{a \cdot x} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f_a'(x)&=&-6 x \cdot \mathrm e^{a \cdot x}-3 x^2 \cdot a \cdot \mathrm e^{a \cdot x} \\[5pt] &=&-3 x \cdot(2+a \cdot x) \cdot \mathrm e^{a \cdot x} \end{array}$

Anwenden der notwendigen Bedingung für Extremstellen Formula: f_a'(x)=0 liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} f_a'(x)&=&0 \\[5pt] -3 x \cdot(2+ax) \cdot \mathrm e^{ax}&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f_a'(x)&=&0 \\[5pt] -3 x \cdot(2+ax) \cdot \mathrm e^{ax}&=&0 \end{array}$

Da die $Formula: \mathrm e$ $Formula: \mathrm e$ -Funktion stets ungleich Null ist, folgt mit dem Satz des Nullprodukts Formula: x_1=0 und weiter:

$Formula: \begin{array}{rlll} 2+ax_2&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-2 \\[5pt] ax_2&=&-2 &\quad\scriptsize\mid\;:a \\[5pt] x_2&=&-\dfrac{2}{a} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 2+ax_2&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-2 \\[5pt] ax_2&=&-2 &\quad\scriptsize\mid\;:a \\[5pt] x_2&=&-\dfrac{2}{a} \end{array}$

Da Formula: x_1=0 zum Hochpunkt gehört und es laut Aufgabenstellung genau zwei Extremstellen gibt, kann die Überprüfung der hinreichenden Bedingung für Extremstellen vernachlässigt werden und somit ist $Formula: x_2=-\tfrac{2}{a}$ $Formula: x_2=-\tfrac{2}{a}$ die -Koordinate des Tiefpunkts.

Für den gesuchten positiven Wert von Formula: a ist $Formula: \left(\left.-\tfrac{2}{a} \right\rvert\,-\tfrac{2}{a}\right)$ $Formula: \left(\left.-\tfrac{2}{a} \right\rvert\,-\tfrac{2}{a}\right)$ der dem Koordinatenursprung gegenüberliegende Eckpunkt des Quadrats. Der gesuchte Wert von ergibt sich damit wie folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} f\left(-\dfrac{2}{a}\right)&=&-\dfrac{2}{a} \\[5pt] -3\cdot\left(-\dfrac{2}{a}\right)^2\cdot \mathrm e^{a\cdot\left(-\tfrac{2}{a}\right)}&=&-\dfrac{2}{a} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot a^2 \\[5pt] -12\mathrm e^{-2}&=&-2a &\quad\scriptsize\mid\;:(-2) \\[5pt] \dfrac{6}{\mathrm e^2}&=&a \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f\left(-\dfrac{2}{a}\right)&=&-\dfrac{2}{a} \\[5pt] -3\cdot\left(-\dfrac{2}{a}\right)^2\cdot \mathrm e^{a\cdot\left(-\tfrac{2}{a}\right)}&=&-\dfrac{2}{a} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot a^2 \\[5pt] -12\mathrm e^{-2}&=&-2a &\quad\scriptsize\mid\;:(-2) \\[5pt] \dfrac{6}{\mathrm e^2}&=&a \end{array}$

Für den Flächeninhalt des zugehörigen Quadrats ergibt sich somit:

$Formula: \begin{array}{rlll} A&=&\left(-\dfrac{2}{\tfrac{6}{\mathrm e^2}}\right)^2 \\[5pt] &=&\dfrac{\mathrm e^4}{9} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A&=&\left(-\dfrac{2}{\tfrac{6}{\mathrm e^2}}\right)^2 \\[5pt] &=&\dfrac{\mathrm e^4}{9} \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} 0,5\cdot k(13)&=&0,5\cdot\left(2,4 \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{12} \cdot(13-7)\right)+1\right) \\[5pt] &=&1,7 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 0,5\cdot k(13)&=&0,5\cdot\left(2,4 \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{12} \cdot(13-7)\right)+1\right) \\[5pt] &=&1,7 \end{array}$

Für einen möglichen Wert von Formula: x ergibt sich somit:

$Formula: \begin{array}{rlll} k(x)&=&1,7 \\[5pt] 2,4 \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{12} \cdot(x-7)\right)+1&=&1,7 &\quad\scriptsize\mid\;-1 \\[5pt] 2,4 \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{12} \cdot(x-7)\right)&=&0,7 &\quad\scriptsize\mid\;:2,4 \\[5pt] \sin \left(\dfrac{\pi}{12} \cdot(x-7)\right)&=&\dfrac{7}{24} &\quad\scriptsize\mid\;\sin^{-1} \\[5pt] \dfrac{\pi}{12} \cdot(x-7)&=&\sin^{-1}\left(\dfrac{7}{24}\right) &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\dfrac{12}{\pi} \\[5pt] x-7&=&\sin^{-1}\left(\dfrac{7}{24}\right)\cdot\dfrac{12}{\pi} &\quad\scriptsize\mid\;+7 \\[5pt] x&\approx&8,13 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} k(x)&=&1,7 \\[5pt] 2,4 \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{12} \cdot(x-7)\right)+1&=&1,7 &\quad\scriptsize\mid\;-1 \\[5pt] 2,4 \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{12} \cdot(x-7)\right)&=&0,7 &\quad\scriptsize\mid\;:2,4 \\[5pt] \sin \left(\dfrac{\pi}{12} \cdot(x-7)\right)&=&\dfrac{7}{24} &\quad\scriptsize\mid\;\sin^{-1} \\[5pt] \dfrac{\pi}{12} \cdot(x-7)&=&\sin^{-1}\left(\dfrac{7}{24}\right) &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\dfrac{12}{\pi} \\[5pt] x-7&=&\sin^{-1}\left(\dfrac{7}{24}\right)\cdot\dfrac{12}{\pi} &\quad\scriptsize\mid\;+7 \\[5pt] x&\approx&8,13 \end{array}$

Da $Formula: 0,13\cdot60\approx8$ $Formula: 0,13\cdot60\approx8$ gilt, folgt ein möglicher Zeitpunkt somit als ca. 8:08 Uhr.

Koordinatensystem mit zwei Kurven, die zwischen x = 6 und x = 20 verlaufen.

Die gesuchten Zeitpunkte sind somit 10 und 16 Uhr.

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_6^{20} k(x)\;\mathrm d x & = & \left[-\dfrac{144}{5 \pi} \cdot \cos \left(\dfrac{\pi}{12} \cdot(x-7)\right)+x\right]_6^{20} \\[5pt] & = & -\dfrac{144}{5 \pi} \cdot\left(\cos \left(\dfrac{13 \pi}{12}\right)-\cos \left(-\dfrac{\pi}{12}\right)\right)+14 \\[5pt] & \approx & 31,7 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_6^{20} k(x)\;\mathrm d x & = & \left[-\dfrac{144}{5 \pi} \cdot \cos \left(\dfrac{\pi}{12} \cdot(x-7)\right)+x\right]_6^{20} \\[5pt] & = & -\dfrac{144}{5 \pi} \cdot\left(\cos \left(\dfrac{13 \pi}{12}\right)-\cos \left(-\dfrac{\pi}{12}\right)\right)+14 \\[5pt] & \approx & 31,7 \end{array}$

Die gesuchte abgegebene elektrische Energie beträgt somit ca. $Formula: 32\;\text{kWh}.$ $Formula: 32\;\text{kWh}.$

Koordinatensystem mit zwei Kurvengraphen und schraffierten Flächen A₁, A₂ und A₃.

Der Flächeninhalt Formula: A_2 ist kleiner als die Summe der Flächeninhalte Formula: A_1 und Formula: A_3. Damit gilt die Aussage aus der Aufgabenstellung.

Im Sachzusammenhang bedeutet das, dass die Photovoltaikanlage im Zeitraum von 6:00 Uhr bis 20:00 Uhr insgesamt weniger elektrische Energie abgibt als im Haus in diesem Zeitraum insgesamt aufgenommen wird.

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