Abi 2019 Analysis (zentral)

Die Abbildung zeigt den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x)=x^2\cdot e^{1-x}$ sowie den Graphen $G_f‘$ der zugehörigen ersten Ableitungsfunktion $f‘$ .

Aufgabe 1

Beschreibe die Eigenschaft von

$G_{f‘}$ , aus der sich folgern lässt, dass $G_f$ bei $x=0$ einen Tiefpunkt hat.
$G_f$ , aus der sich folgern lässt, dass $G_{f‘}$ bei $x\approx 0,6$ einen Hochpunkt hat.

Weise nach, dass $F(x)=-(x^2+2x+2)\cdot\mathrm e^{1-x}$ ein Term einer Stammfunktion von $f$ ist. Bestimme einen Term derjenigen Stammfunktion von $f$ , deren Graph durch den Punkt $(1\mid -3)$ verläuft.

Der Graph von $f$ beschreibt modellhaft die $7,5$ Sekunden dauernde Fahrt eines Lastenaufzugs. Dabei ist $x$ die seit Beginn der Fahrt vergangene Zeit in Sekunden und $y$ die Geschwindigkeit des Aufzugs in Meter pro Sekunde.

Entnimm der Abbildung die größte Geschwindigkeit des Aufzugs und gib diese an.

Bestimme grafisch den Zeitraum, in dem die Geschwindigkeit mindestens $1,0\;\frac{m}{s}$ beträgt.

Berechne für den Zeitraum von $2,0\,s$ bis $4,0\,s$ nach Beginn der Fahrt die mittlere Änderung der Geschwindigkeit.

Der Wert des Terms $\displaystyle\int_{0}^{7,5}f(x)\;\mathrm dx$ kann als Länge der vom Aufzug zurückgelegten Strecke interpretiert werden. Berechne diese Länge.

Beurteile die Eignung des für die Fahrt des Aufzugs verwendeten Modells im Hinblick auf das Ende der Fahrt.

Begründe, dass die folgende Aussage richtig ist:
„Würde der Graph von $f$ die Fahrt eines Aufzugs beschreiben, die länger als $7,5$ Sekunden dauert, so wäre die von diesem Aufzug zurückgelegte Strecke - unabhängig von der Dauer seiner Fahrt - kürzer als $5,5\,m$ .“

Das für die $7,5$ Sekunden dauernde Fahrt des Aufzugs bisher verwendete Modell wird geändert:
Für $0\leq x \leq 6$ wird die Fahrt weiterhin durch $G_f$ , für $x \geq 6$ jedoch mithilfe der Tangente an $G_f$ im Punkt $(6\mid f(6))$ beschrieben.

Begründe ohne weitere Rechnung mithilfe des Graphen von $f‘$ , dass die Tangente an $G_f$ im Punkt $(6\mid f(6))$ den Graphen von $f$ für $x > 6$ nicht schneidet.

Der Aufzug legt im geänderten Modell während der gesamten Fahrtzeit von $7,5$ Sekunden eine bestimmte Strecke zurück. Beschreibe, wie man denjenigen Zeitpunkt berechnen könnte, bis zu dem der Aufzug diese Strecke im ursprünglichen Modell zurücklegt.

Aufgabe 2

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x)=1+2\cdot(x-1)^2\cdot\mathrm e^{2-x}.$

Begründe, dass $h$ keine Nullstelle besitzt.

Es gilt $h(x)=1+2\cdot f(x-1).$ Beschreibe, wie der Graph von $h$ schrittweise aus dem in der Abbildung gezeigten Graphen von $f$ erzeugt werden kann. Begründe, dass dabei die Reihenfolge der Schritte nicht beliebig ist.

In der Abbildung stellt eine der beiden Kurven die Funktion $f$ dar. Zeichne in die Abbildung ein Koordinatensystem ein, in dem diese Kurve die Funktion $h$ darstellt.

Lösung 1

Es gibt Werte $x_1\lt 0$ und $x_2\gt 0$ , für die $G_{f‘}$ für $x_1\lt x\lt 0$ unterhalb der $x$ -Achse und für $0\lt x\lt x_2$ oberhalb verläuft.
Es gibt Werte $x_3\lt 0,6$ und $x_4\gt 0,6$ , für die $G_f$ für $x_3\lt x\lt 0,6$ linksgekrümmt und für $0,6\lt x\lt x_4$ rechtsgekrümmt ist.

$F‘(x)=f(x)$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Term der gesuchten Stammfunktion hat die Form $F(x)+c.$

$F(1)+c=-3\Leftrightarrow c=2$

$1,5\dfrac{m}{s}$

Der Zeitraum liegt zwischen $1,0\;s$ und $3,5\;s$ nach Beginn der Fahrt.

$\dfrac{f(4)-f(2)}{2}\approx -0,34,$
d.h. die Geschwindigkeit nimmt im betrachteten Zeitraum pro Sekunde um etwa $0,34\dfrac{m}{s}$ ab.

$\displaystyle\int_{0}^{7,5}f(x)\;\mathrm dx=F(7,5)-F(0)\approx 5,3$

Die Länge der zurückgelegten Strecke beträgt etwa $5,3\;m.$

$f(7,5)\gt 0$ , d.h. das Modell ist zur Beschreibung des Endes der Fahrt nicht geeignet, da das Stehenbleiben des Aufzugs nicht korrekt beschrieben wird.

Für $r\gt 7,5$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{r}f(x)\;\mathrm dx&=&F(r)-F(0)\\ &=&-(r^2+2r+2)\cdot\mathrm e^{1-r}+2\mathrm e\\ &\lt &2\mathrm e\\ &\lt & 5,5 \end{array}$

Für $x\gt 5$ ist $G_{f‘}$ steigend, $G_f$ also linksgekrümmt. Damit schneidet die Tangente den Graphen von $f$ für $x\gt 6$ nicht.$

Man berechnet den Inhalt $A$ der Fläche, die die Tangente an $G_f$ im Punkt $(6\mid f(6))$ mit der Gerade mit der Gleichung $x=6$ und der $x$ -Achse einschließt. Bezeichnet man den gesuchten Zeitpunkt mit $t$ , so ergibt sich der Wert von $t$ als Lösung der Gleichung $\displaystyle\int_{6}^{t}f(x)\;\mathrm dx=A.$

Lösung 2

Für alle $x\in\mathrm R$ gilt $(x-1)^2\geq 0$ und $\mathrm e^{2-x}\gt 0$ , d.h. $h(x)\geq 1.$

Der Graph von $h$ geht aus dem Graphen von $f$ hervor durch:

Verschiebung um $1$ in positive $x$ -Richtung
Streckung mit dem Faktor $2$ in $y$ -Richtung
Verschiebung um $1$ in positive $y$ -Richtung

Der Graph von $f$ enthält den Punkt $0\mid 0$ . Würde man den zweiten und dritten Schritt vertauschen, so enthielte der so erzeugte Graph den Punkt $(1\mid 2).$ Dieser liegt wegen $h(1)\neq 2$ nicht auf dem Graphen von $h.$