Abi 2021 Analysis (zentral)

Aufgabe 1

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f:x \mapsto - \mathrm e^x$ .

Bestimme rechnerisch eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ in dessen Schnittpunkt mit der $y$ -Achse.
Gib eine Gleichung der Gerade an, die in diesem Punkt senkrecht zur Tangente steht, sowie den Inhalt der Fläche, die von dieser Gerade, der Tangente und der $x$ -Achse eingeschlossen wird.

(4 BE)

Gib alle Werte von $m \in \mathbb{R}$ an, für die die Gerade mit der Gleichung $y = m \cdot x - 1$ mit dem Graphen von $f$ genau einen Punkt gemeinsam hat.

(3 BE)

Betrachtet werden Rechtecke mit den Eckpunkten $(t \mid 0)$ , $(0 \mid 0)$ und $(t \mid f(t))$ für $-3 \lt t \lt 0.$ Es gibt einen Wert des Parameters $t$ , für den der Flächeninhalt des zugehörigen Rechtecks maximal ist. Bestimme diesen Wert für $t$ .

(4 BE)

Der Graph von $f$ , die Koordinatenachsen und die Gerade mit der Gleichung $x = a$ mit $a \gt 0$ begrenzen ein Flächenstück. Rotiert dieses Flächenstück um die $x$ -Achse, so erzeugt es einen Körper mit dem Volumen $3 \pi$ . Bestimme den Wert von $a$ .

(5 BE)

Gegeben ist außerdem die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h:x \mapsto -\mathrm e^{x-1}+4$ .

Beschreibe, wie der Graph von $h$ aus dem Graphen von $f$ erzeugt werden kann. Gib das Verhalten von $h$ für $x \rightarrow +\infty$ und $x \rightarrow -\infty$ an.

(4 BE)

Begründe, dass die Graphen von $f$ und $h$ sich nicht schneiden.

(3 BE)

Die Abbildung 1 stellt den Graphen von $h$ dar.

Abbildung 1

Für jede Stammfunktion H von $h$ gilt für jede reelle Zahl $b \lt 0: H(0) -H(b) \lt \; \mid b \mid \cdot \; 4.$
Beschreibe die geometrische Bedeutung dieser Aussage und veranschauliche die Aussage grafisch.

(4 BE)

Die Umkehrfunktion von $f$ wird mit $k$ bezeichnet.
Die Abbildung 2 stellt die Graphen der Funktionen $f$ und $k$ bei gleicher Skalierung der Koordinatenachse dar. Die x-Achse ist bereits eingezeichnet.

Abbildung 2

Ergänze die Gerade w mit der Gleichung $y = x$ sowie die y-Achse.

(2 BE)

Begründe ohne zu rechnen, dass jede Tangente mit der Steigung $-1$ an den Graphen von $f$ auch Tangente an den Graphen von $k$ ist.

(3 BE)

Betrachtet werden nun die in $\mathbb{R} \setminus \{ 0\}$ definierten Funktionen

$g:x \mapsto \frac{1}{x}$ und $u:x \mapsto f(g(x))$ .

Für die erste Ableitungsfunktion $\(u$ von $u$ gilt $\(u$ .

Gib für die Funktion $u$ einen Funktionsterm an, der zwar die Variable $x$ , aber keine Funktionsbezeichnung wie $"f"$ oder $"g"$ enthält.
Begründe, dass die Funktion $u$ die Wertemenge $\mathbb{R}^- \setminus \{-1 \}$ besitzt.

(3 BE)

Zeige, dass $u$ genau eine Wendestelle hat, und bestimme diese Wendestelle.

(5 BE)

Lösung 1

Tangentengleichung bestimmen

Gesucht ist die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=0.$ Es gilt:

$\(f$
$\(f$
$f(0) = -1$

Gleichung der Tangente:

$\(\begin{array}[t]{rll} t(x) &=& f$

Geradengleichung einer zur Tangente senkrechten Gerade angeben

Die Steigung der Tangente ist durch $m_1=-1$ gegeben. Für die Steigung $m_2$ einer Geraden, die senkrecht auf der Tangente steht, muss damit Folgendes gelten:

$\begin{array}[t]{rll} m_1\cdot m_2 &=& -1 \\[5pt] -1 \cdot m_2 &=& -1 \\[5pt] m_2 &=& 1 \end{array}$

Da die Gerade die Tagente außerdem im Punkt $(0\mid-1)$ treffen soll, ist ihre Gleichung gegeben durch $n(x)=x-1.$

Flächeninhalt berechnen

Die beiden Geraden treffen sich im Punkt $(0\mid -1).$ Die Gerade $t$ schneidet die $x$ -Achse an der Stelle $x_1=-1,$ die Gerade $n$ an der Stelle $x_2=1.$

Die beiden Geraden schließen mit der $x$ -Achse also ein Dreieck der Höhe $h=1$ mit Grundseite $g=2$ ein:

$F=\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot1=1\,\text{[FE]}$

Für $x=0$ gilt $-\mathrm e^0=-1=m\cdot 0-1.$ Damit haben $f$ und $y$ für alle $m \in \mathbb R$ den Punkt $(0\mid -1)$ gemeinsam.

Für $m=0$ verläuft $y$ parallel zur $x$ -Achse. Da $-\mathrm e^x$ streng monoton fallend ist, hat $y$ für $m=0$ keinen weiteren Schnittpunkt mit $f.$

Für $m \gt 0$ hat $y$ eine positive Steigung und kann somit auch nur einen Punkt mit $f$ gemeinsam haben.

Für $m\lt 0$ hat $y$ eine negative Steigung. Es ist bekannt, dass die Gerade mit $f$ den Punkt $(0\mid -1)$ gemeinsam hat. Die Funktion $f$ hat nur dann genau diesen Punkt mit $y$ gemeinsam, wenn $y$ eine Tangente an $f$ ist, also $\(f$ gilt.

$\(f$

Somit hat $f$ für $m=-1$ genau einen Punkt mit $y$ gemeinsam, für alle anderen $m\lt0$ jedoch zwei.

Insgesamt haben $f$ und $y$ für die Wert $m=-1,\,$ $m=0$ und für $m\gt0$ genau einen Punkt gemeinsam.

Da das Rechteck den Ursprung als einen Eckpunkt hat, ist die Breite durch $t$ und die Höhe durch $f(t)$ gegeben. Damit folgt für den Flächeninhalt:

$\begin{array}[t]{rll} A(t) &=& t \cdot f(t) \\[5pt] &=& -t \cdot \mathrm e^t \end{array}$

Um den maximalen Flächeninhalt im Intervall $[-3;0]$ zu bestimmen, muss das Maximum von $A$ bestimmt werden:

1. Schritt: Ableitung berechnen

$\(A$

2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} A$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt, dass $-(1+t)=0$ oder $\mathrm e^t=0$ gelten muss. Es gilt $\mathrm e^t\gt 0$ für alle $t \in \mathbb R.$ Somit ist der gesuchte Wert von $t$ durch die Lösung der Gleichung $-(1+t)=0$ gegeben, also $t=-1.$

Der Flächeninhalt des Rechtecks ist für $t=-1$ maximal.

Der Flächeninhalt des Rotationskörpers in Abhängigkeit von $a$ lässt sich wie folgt berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{a}f(x)^2\;\mathrm dx&=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{a} \mathrm e^{2x}\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \pi \cdot \left[ \frac{1}{2}\mathrm e^{2x} \right]_0^a \\[5pt] &=& \pi \cdot \left( \frac{1}{2}\mathrm e^{2a}-\frac{1}{2} \right) \end{array}$

Es soll $\pi \cdot \left( \frac{1}{2}\mathrm e^{2a}-\frac{1}{2} \right)=3 \pi$ gelten. Damit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \pi \cdot \left( \frac{1}{2}\mathrm e^{2a}-\frac{1}{2} \right)&=& 3 \pi &\quad \scriptsize \mid\; :\pi \\[5pt] \frac{1}{2}\mathrm e^{2a}-\frac{1}{2}&=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] \mathrm e^{2a}-1&=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] \mathrm e^{2a}&=& 7 &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] 2a&=& \ln(7) &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] a&=&\dfrac{1}{2}\ln(7) \end{array}$

Der Graph von $h$ kann aus dem Graphen von $g$ durch eine Verschiebung um $1$ in positive $x$ -Richtung und eine Verschiebung um $4$ in positive $y$ -Richtung erzeugt werden.

Für $x \rightarrow - \infty$ gilt : $\underbrace{-\mathrm e^{x-1}}_{\rightarrow0} +4\rightarrow 4$

Für $x \rightarrow + \infty$ gilt : $\underbrace{-\mathrm e^{x-1}}_{\rightarrow -\infty} +4\rightarrow -\infty$

Damit nähert sich die Funktion $h$ für $x\rightarrow -\infty$ dem Wert $4$ und strebt für $x\rightarrow \infty$ gegen $-\infty.$

Die Graphen der Funktionen $f$ und $h$ schneiden sich nicht, wenn die Gleichung $f(x)=h(x)$ keine Lösung hat:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\mathrm e^x= \dfrac{-4}{-\frac{1}{\mathrm e}+1}$

Es gilt $-\dfrac{1}{\mathrm e}+1\gt 0$ und damit $\dfrac{-4}{-\frac{1}{\mathrm e}+1}\lt 0.$ Da jedoch $\mathrm e^x \gt 0$ für alle $x\in \mathbb{R}$ hat die Gleichung keine Lösung. Folglich schneiden sich die Graphen von $f$ und $h$ nicht.

Der Inhalt der Fläche, die der Graph von $h$ mit der $x$ -Achse im Intervall $[b;0]$ einschließt, lässt sich wie folgt berechnen:

$\displaystyle\int_{b}^{0}h(x)\;\mathrm dx=[H(x)]_b^0$ $=H(0)-H(b)$

Dem Schaubild kann entnommen werden, dass der Inhalt dieser Fläche kleiner ist als der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $\mid b\mid$ und $4$ .

Die Graphen von $f$ und $k$ liegen bezüglich der Gerade $w$ mit der Gleichung $y=x$ zueinander symmetrisch. Da jede Gerade mit der Steigung $-1$ symmetrisch bezüglich $w$ ist, berührt sie, wenn sie den Graphen von $f$ berührt, auch den Graphen von $k$ .

$u(x)=-\mathrm e^{\frac{1}{x}}$

Wegen des Exponenten $\dfrac{1}{x}$ muss $x\neq 0$ und $\dfrac{1}{x}\neq 0$ gelten. Die Funktion kann folglich nicht den Wert $-\mathrm e^0=-1$ annehmen.

Da $-\mathrm e^{\frac{1}{x}}$ nur negative Werte annehmen kann, nimmt $u$ nur Werte in $\mathbb{R}^- \setminus \{-1 \}$ an.

1. Schritt: Ableitung bestimmen

$\(u$

$\(u$ $= -\dfrac{2}{x^3} \cdot \mathrm e^{\frac{1}{x}}+\dfrac{1}{x^2} \cdot \left( -\dfrac{1}{x^2} \right) \cdot \mathrm e^{\frac{1}{x}}$ $= - \left( \dfrac{2}{x^3} + \dfrac{1}{x^4} \right) \cdot \mathrm e^{\frac{1}{x}}$ $= -\dfrac{1}{x^4} \cdot (2x+1) \cdot \mathrm e^{\frac{1}{x}}$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Wendestellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} u$

Nach dem Satz vom Nullprodukt muss $-\dfrac{1}{x^4}=0,\,\,$ $2x+1=0$ oder $\mathrm e^{\frac{1}{x}}=0$ gelten. Wegen $-\dfrac{1}{x^4}\neq 0$ und $\mathrm e^{\frac{1}{x}}\gt 0$ für alle $x \in \mathbb R$ muss folglich $2x+1=0$ gelten:

$\begin{array}[t]{rll} 2x+1 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] 2x &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] x &=& -\dfrac{1}{2} \end{array}$

3. Schritt: Hinreichende Bedingung für Wendestellen anwenden

Wegen $\(u$ für $x\lt -\dfrac{1}{2}$ und $\(u$ für $x\gt -\dfrac{1}{2}$ hat $u$ bei $x=-\dfrac{1}{2}$ eine Wendestelle.