Abi 2017 Analysis (zentral)

Aufgabe 1

Gegeben ist die Schar der Funktionen $f_k$ mit $f_k(x)=-x^4+6kx^2,\,x\in\mathbb R$ und $k\in\mathbb R$ . Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

Bestimme in Abhängigkeit von $k$ die Anzahl der Nullstellen von $f_k.$

Begründe, dass $G_k$ für alle Werte von $k$ symmetrisch zur $y$ -Achse ist und für $k\leq 0$ nicht oberhalb der $x$ -Achse verläuft.

Weise nach, dass $G_k$ für alle $k>0$ genau zwei Hochpunkte besitzt. Bestimme die Koordinaten dieser Hochpunkte in Abhängigkeit von $k$ .
[Zur Kontrolle: Koordinaten eines Hochpunkts: ( $\sqrt{3k}\mid 9k^2$ )]

Untersuche für $k>0$ mithilfe der Lage eines der beiden Hochpunkte von $G_k$ in Abhängigkeit von $k$ , wie viele gemeinsame Punkte $G_k$ und die Gerade mit der Gleichung $y=4$ haben.

Die in der Abbildung dargestellten Graphen gehören jeweils zu einem der Werte $k=-\dfrac{1}{2}$ , $k=\dfrac{1}{2}$ und $k=1$ . Ordne die angegebenen Werte von $k$ jeweils einem der Graphen zu. Begründe die Zuordnung.

Deute für $k>0$ das Integral $\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{3k}}(9k^2-f_k(x))\;\mathrm dx$ mithilfe einer geeigneten Skizze geometrisch.

Aufgabe 2

Ein Trainingsgerät zur Schulung der Koordination besteht aus einem Unterbau und einem Standbrett. Das zwei Zentimeter dicke Standbrett schließt seitlich ohne Überstand mit dem Unterbau ab.

Das Trainingsgerät hat auf seiner gesamten Länge den gleichen Querschnitt. In diesem Querschnitt wird die untere Profillinie des Unterbaus betrachtet. Bei horizontal ausgerichtetem Standbrett soll die Profillinie durch eine Funktion modellhaft beschrieben werden. Das Modell geht von einem horizontalen Untergrund aus, der im Querschnitt durch die x-Achse des Koordinatensystems dargestellt wird; eine Längeneinheit im Koordinatensystem soll einem Dezimeter in der Realität entsprechen.
Die Profillinie wird für $-3\leq x\leq 3$ durch die in $\mathbb R$ definierte Funktion $p$ mit $p(x)=-\dfrac{1}{48}\cdot\left(x^4-18x^2\right)$ beschrieben. Nachfolgende Abbildung zeigt den Graphen von $p$ .

Der Graph von $p$ geht durch eine Streckung aus einem der Graphen von $f_k$ mit $f_k(x)=-x^4+6kx^2$ aus Aufgabe $1$ hervor. Gib den passenden Wert von $k$ sowie den Streckfaktor an.

Begründe, dass der Graph von $p$ im Koordinatenursprung einen Tiefpunkt hat und genau zwei Hochpunkte besitzt, die in ihren $y$ -Koordinaten übereinstimmen.

Bestimme die Höhe des Trainingsgeräts in Zentimetern.

Der Unterbau und das Standbrett sind ohne Hohlraum aus Holz gefertigt. Ein Kubikzentimeter des Holzes hat eine Masse von $0,5$ Gramm. Berechne die Masse des Trainingsgeräts in Kilogramm.

Abi 2017 Analysis (zentral)

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Lösung 1

Lösung 2