Abi 2020 Analysis (zentral)

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k:$ $x\mapsto \mathrm e^{kx}-x-1$ mit $k \in \mathbb{R}.$
Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

Aufgabe 1

Betrachtet wird zunächst die Funktion $f_{10}$ mit $f_{10}(x)= \mathrm e^{10x}-x- 1$ .

Die Abbildung 1 zeigt $G_{10}$ . Im dargestellten Bereich gibt es zwei Rechtecke, die jeweils die beiden folgenden Eigenschaften haben:

Zwei Eckpunkte liegen auf der $x$ -Achse und zwei Eckpunkte auf $G_{10}$ .
Eine Seitenlänge beträgt $0,4$ .

Zeichne diese beiden Rechtecke in die Abbildung 1 ein. Begründe ohne zu rechnen, dass die beiden Rechtecke unterschiedliche Flächeninhalte haben.

Abb. 1

(3 BE)

Begründe, dass $G_{10}$ und die Gerade mit der Gleichung $y=-x-1$ keinen Punkt gemeinsam haben. Beschreibe sowohl für $x{\to-\infty}$ als auch für $x{\to+\infty}$ den Verlauf von $G_{10}$ bezüglich dieser Gerade.

(3 BE)

Berechne den Wert des Terms $\displaystyle\int_{-1}^{0}f_{10}(x)\;\mathrm dx$ .

(3 BE)

Betrachtet wird nun der Inhalt der Fläche, die $G_{10}$ mit der $x$ -Achse und der Gerade mit der Gleichung $x=-1$ einschließt. Begründe, dass dieser Inhalt geringfügig größer ist als der Wert des Terms $\,\bigg \vert \, \displaystyle\int_{-1}^{0}f_{10}(x)\;\mathrm dx\,\bigg \vert \,$ , ohne den Inhalt zu berechnen.

(3 BE)

Aufgabe 2

Betrachtet wird nun die gesamte Schar der Funktionen $f_k: x\mapsto \mathrm e^{kx}-x-1$ mit $k \in \mathbb{R}.$

Zeige, dass alle Graphen der Schar genau einen Punkt gemeinsam haben, und bestimme dessen Koordinaten.

(3 BE)

Die Abbildung 2 zeigt vier Graphen der Schar, darunter diejenigen zu den Werten $k=-1, k=0$ und $k=1.$ Nimm die passende Zuordnung vor.

Abb. 2

(3 BE)

Für die erste Ableitungsfunktion von $f_k$ gilt $\(f$ .

Beim Ableiten von $f_k$ wurde die folgende Regel angewendet:

Betrachtet man differenzierbare Funktionen $u$ , $v$ und $w$ mit $w(x)=v(u(x))$ , so hat die erste Ableitungsfunktion von $w$ den Term $\(w$ $\cdot$ $\(u$

.

Stelle den Zusammenhang zwischen dem Ableiten von $f_k$ und dieser Regel her, indem du für $u$ , $v$ und $w$ jeweils einen passenden Funktionsterm angibst.

(3 BE)

Weise nach, dass alle Graphen $G_k$ weder Hochpunkte noch Wendepunkte haben.

(5 BE)

Für positive Werte von $k$ hat $G_k$ den Tiefpunkt $T_k\left(-\frac{\ln k}{k}\mid\frac{\ln k}{k}-1+\frac{1}{k}\right)$ .

Für $k{\to+\infty}$ nähert sich $T_k$ einem Punkt $A$ . Bestimme die Koordinaten von $A$ .

(2 BE)

Ermittle den Abstand von $T_k$ zur Gerade mit der Gleichung $y=-x-1.$

(5 BE)

Berechne denjenigen Wert von $k$ , für den $G_k$ im Koordinatenursprung einen Steigungswinkel der Größe $60°$ hat.

(2 BE)

Betrachtet wird die folgende Behauptung:

Zu zwei beliebigen verschiedenen Graphen $G_{k1}$ und $G_{k2}$ gibt es einen Wert von $x$ , für den die beiden Graphen die gleiche Steigung haben.

Unter der Voraussetzung, dass $k_1$ und $k_2$ positiv sind, ist die Behauptung richtig;
bestimme den zugehörigen Wert von $x$ . Entscheide, ob die Behauptung auch dann richtig sein kann, wenn entweder $k_1$ oder $k_2$ nicht positiv ist, und begründe deine Entscheidung.

(5 BE)

Lösung 1

Die beiden Rechtecke stimmen nur in einer der beiden Seitenlängen überein. Der Flächeninhalt kann daher nicht identisch sein.

$f_{10}(x)- (-x-1)= e^{kx}\gt 0$ für alle $x \in \mathbb{R}.$
Für $x{\to-\infty}$ kommt $G_{10}$ der Gerade beliebig nahe, für $x{\to+\infty}$ entfernt sich $G_{10}$ beliebig weit von der Gerade.

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{-1}^{0}f_{10}(x)\;\mathrm dx &=& \left[\frac{1}{10}\mathrm e^{10x}-\frac{1}{2}x^2-x\right]^0_{-1} \\[5pt] &=& \frac{1}{10}-\frac{1}{10}e^{-10}+\frac{1}{2}-1\\[5pt] &=& -\frac{1}{10}\mathrm e^{-10}-\frac{2}{5}\\[5pt] \end{array}$

$f_{10}(-1)\gt$ 0, d.h. $G_{10}$ schneidet für einen Wert von x mit $-1\lt x \lt 0$ die x-Achse. Der Term gibt die Differenz der Inhalte der beiden Teile der beschriebenen Fläche an, die unterhalb bzw. oberhalb der x-Achse liegen. Damit ist der Inhalt der beschriebenen Fläche größer als der Wert des gegebenen Terms, unterscheidet sich von diesem Wert aber nur geringfügig, da der oberhalb der x-Achse liegende Teil der Fläche viel kleiner ist als der unterhalb liegende Teil.

Lösung 2

Für $k_1 \neq k_2$ gilt: $f_{k_1}(x)= f_{k_2}(x)\Leftrightarrow \mathrm e^{k_1x}= \mathrm e^{k_2x}\Leftrightarrow x=0$

$y=f_k(0)=0$

I: $\,k = 0$
II: $\,k=-1$
III: $\,k=1$

$u (x)= kx,$ $v(x)= e^x,$ $w (x)= \mathrm e^{kx}$

$\(f$
Für $k=0$ gilt $f_0 (x)= -x. G_0$ hat als Gerade weder einen Hochpunkt noch einen Wendepunkt.
Für $k\neq 0$ gilt $\(f$ für alle $x \in \mathbb{R}$ , d.h. $G_k$ ist durchgehend linksgekrümmt und hat damit weder einen Hochpunkt noch einen Wendepunkt.

Mit $\lim\limits_{k\to+\infty} \frac{\ln k}{k}= 0$ und $\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{k}= 0$ ergibt sich $A(0\mid -1)$ .

Die Gerade hat die Steigung $-1.$ Damit stimmen die in x- und y-Richtung gemessenen Entfernungen von $T_k$ zur Gerade überein und betragen jeweils

$\frac{\ln k}{k}-1+\frac{1}{k}- \left(\frac{\ln k}{k}-1\right)= \dfrac{1}{k}.$

Der gesuchte Abstand a ist also die Hälfte der Länge der Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge $\dfrac{1}{k}$ . Damit gilt:

$(2a)^2 = 2\cdot\left(\frac{1}{k}\right)^2 \Leftrightarrow a= \sqrt{\frac{1}{2k^2}}$

$\(\begin{array}[t]{lrll} &f$

Für $k_1, k_2 \gt 0$ mit $k_1 \neq k_2$ gilt:

$\(\begin{array}[t]{lrll} &f$

Es gilt $\mathrm e^{kx} \gt 0$ für alle $x \in \mathbb{R}.$ Damit hat die Gleichung $k_1 \cdot \mathrm e^{k_1x} = k_2 \cdot \mathrm e^{k_2x}$ keine Lösung, wenn entweder $k_1$ oder $k_2$ nicht positiv ist. In diesem Fall kann die Behauptung also nicht richtig sein.