Wahlaufgaben

5 Analysis

In der Abbildung ist der Graph Formula: G_b einer in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion Formula: b gegeben.

Formula: G_b ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung $Formula: O(0\mid 0).$ $Formula: O(0\mid 0).$

Graph einer Funktion G_b in einem Koordinatensystem mit mehreren Hoch- und Tiefpunkten.

Begründe, dass für jedes $Formula: u\gt 0$ $Formula: u\gt 0$ die Tangente im Punkt $Formula: P(u\mid b(u))$ $Formula: P(u\mid b(u))$ an Formula: G_b und die Tangente im Punkt $Formula: Q(-u\mid b(-u))$ $Formula: Q(-u\mid b(-u))$ an parallel zueinander sind.

2 BE

Begründe, dass für die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: f mit Formula: f(x)=(b(x))^2 gilt: Formula: f'(-1)=-f'(1)

3 BE

6 Analysis

Gegeben ist die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: f mit $Formula: f(x)=\tfrac{4}{x^2+1}.$ $Formula: f(x)=\tfrac{4}{x^2+1}.$

Die Abbildung zeigt den Graphen Formula: G_f von Formula: f.

Graph einer Funktion mit einem Hochpunkt bei etwa (0|4), die sich zu beiden Seiten der x-Achse annähert.

Begründe, dass die Gerade mit der Gleichung Formula: y=0 die einzige Asymptote von Formula: G_f ist.

1 BE

Für $Formula: u\gt 0$ $Formula: u\gt 0$ wird das gleichschenklige Dreieck mit den Eckpunkten $Formula: S(0\mid 0),$ $Formula: S(0\mid 0),$ $Formula: P(u\mid f(u))$ $Formula: P(u\mid f(u))$ und $Formula: Q(-u\mid f(-u))$ $Formula: Q(-u\mid f(-u))$ betrachtet. Für einen Wert von ist der Flächeninhalt des Dreiecks maximal. Berechne den maximalen Flächeninhalt.

4 BE

7 Analytische Geometrie

Gegeben sind die Punkte $Formula: A(0\mid0\mid 0), B(3\mid2\mid 1),$ $Formula: A(0\mid0\mid 0), B(3\mid2\mid 1),$ $Formula: C(1\mid3\mid 5)$ $Formula: C(1\mid3\mid 5)$ und $Formula: D(-2\mid1\mid 4).$ $Formula: D(-2\mid1\mid 4).$

Weise nach, dass das Viereck Formula: A B C D ein Parallelogramm ist.

1 BE

Der Punkt Formula: T liegt auf der Geraden Formula: B D. Das Dreieck Formula: A B T hat in einen rechten Winkel. Ermittle das Verhältnis der Länge der Strecke $Formula: \overline{B T}$ $Formula: \overline{B T}$ zur Länge der Strecke $Formula: \overline{D T}.$ $Formula: \overline{D T}.$

4 BE

8 Analytische Geometrie

Betrachtet wird das in der Abbildung dargestellte gerade Prisma mit den Eckpunkten $Formula: A(0\mid0\mid 0), B(4\mid0\mid 0),$ $Formula: A(0\mid0\mid 0), B(4\mid0\mid 0),$ $Formula: C(0\mid3\mid 0), D, E(4\mid0\mid 6)$ $Formula: C(0\mid3\mid 0), D, E(4\mid0\mid 6)$ und Formula: F.

Schrägzeichnung eines Quaders mit beschrifteten Eckpunkten und Koordinatenachsen.

Das Prisma besitzt genau eine Symmetrieebene. Gib eine Gleichung dieser Symmetrieebene an.

1 BE

Das Prisma wird so um die Gerade Formula: B C gedreht, dass der mit Formula: E bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der Formula: x y -Ebene im Punkt $Formula: E^{\prime}$ $Formula: E^{\prime}$ zu liegen kommt.

Die Formula: x -Koordinate und die Formula: y -Koordinate von $Formula: E^{\prime}$ $Formula: E^{\prime}$ sind positiv.

Ermittle die Koordinaten von $Formula: E^{\prime}.$ $Formula: E^{\prime}.$

4 BE

9 Stochastik

In einem Gefäß befinden sich Formula: 6 rote und Formula: x grüne Kugeln. Es gilt $Formula: x\gt 6.$ $Formula: x\gt 6.$

Beschreibe in diesem Zusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term $Formula: \tfrac{6}{6+x}\cdot\tfrac{5}{5+x}+\tfrac{x}{6+x}\cdot\tfrac{x-1}{5+x}$ $Formula: \tfrac{6}{6+x}\cdot\tfrac{5}{5+x}+\tfrac{x}{6+x}\cdot\tfrac{x-1}{5+x}$ berechnet werden kann. Gib dieses Ereignis an und begründe die Angabe.

4 BE

Für eine bestimmte Anzahl von grünen Kugeln in dem Gefäß hat die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis aus a den Wert Formula: 0{,}5.

Die Gleichung $Formula: \tfrac{6}{6+x}\cdot\tfrac{5}{5+x}+\tfrac{x}{6+x}\cdot\tfrac{x-1}{5+x}=\tfrac{1}{2}$ $Formula: \tfrac{6}{6+x}\cdot\tfrac{5}{5+x}+\tfrac{x}{6+x}\cdot\tfrac{x-1}{5+x}=\tfrac{1}{2}$ besitzt die Lösungen Formula: x_1=3 und Formula: x_2=10.

Gib die Gesamtanzahl der Kugeln in dem Gefäß an.

1 BE

10 Stochastik

Eine Münze, die auf der einen Seite „Kopf“ und auf der anderen Seite „Zahl“ zeigt, wird einmal geworfen. Dabei tritt das Ergebnis „Kopf“ mit der Wahrscheinlichkeit Formula: p ein.

Ermittle, wie oft eine Münze mit $Formula: p=\tfrac{1}{2}$ $Formula: p=\tfrac{1}{2}$ mindestens geworfen werden muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $Formula: 80\,\%$ $Formula: 80\,\%$ mindestens einmal „Zahl“ zu erhalten.

3 BE

Nun wird eine Münze betrachtet, für die gilt $Formula: p\neq\tfrac{1}{2}.$ $Formula: p\neq\tfrac{1}{2}.$

Bestimme Formula: p so, dass man mit einer Wahrscheinlichkeit von $Formula: 64\,\%$ $Formula: 64\,\%$ in zwei Würfen mindestens einmal „Zahl“ erzielt.

2 BE

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5 Analysis

Da Formula: G_b punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist, sind die Punkte Formula: P und Formula: Q zueinander punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Somit sind auch die beiden Tangenten zueinander punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, d.h. sie verlaufen parallel zueinander.

Mit der Kettenregel folgt:

$Formula: f'(x)=2\cdot b'(x)\cdot b(x)$ $Formula: f'(x)=2\cdot b'(x)\cdot b(x)$

Mit Teilaufgabe a folgt somit:

$Formula: \begin{array}{rlll} -f'(1)&=&-2\cdot b'(1)\cdot b(1) \\[5pt] &=&-2\cdot b'(-1)\cdot(- b(-1)) \\[5pt] &=&2\cdot b'(-1)\cdot b(-1) \\[5pt] &=&f'(-1) \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -f'(1)&=&-2\cdot b'(1)\cdot b(1) \\[5pt] &=&-2\cdot b'(-1)\cdot(- b(-1)) \\[5pt] &=&2\cdot b'(-1)\cdot b(-1) \\[5pt] &=&f'(-1) \end{array}$

6 Analysis

$Formula: \begin{array}{rlll} \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)&=&\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\dfrac{4}{x^2+1}\right) \\[5pt] &=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)&=&\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\dfrac{4}{x^2+1}\right) \\[5pt] &=&0 \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} \lim\limits_{x \to -\infty} f(x)&=&\lim\limits_{x \to -\infty}\left(\dfrac{4}{x^2+1}\right) \\[5pt] &=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \lim\limits_{x \to -\infty} f(x)&=&\lim\limits_{x \to -\infty}\left(\dfrac{4}{x^2+1}\right) \\[5pt] &=&0 \end{array}$

Da der Graph keine Definitionslücke hat, ist somit Formula: y=0 die einzige Asymptote.

Für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von Formula: u ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} A(u)&=&\dfrac{1}{2}\cdot2u\cdot f(u) \\[5pt] &=&\dfrac{4u}{u^2+1} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A(u)&=&\dfrac{1}{2}\cdot2u\cdot f(u) \\[5pt] &=&\dfrac{4u}{u^2+1} \end{array}$

Für die erste Ableitung ergibt sich:

$Formula: A'(u)=\dfrac{4\cdot(u^2+1)-4u\cdot2u}{(u^2+1)^2}$ $Formula: A'(u)=\dfrac{4\cdot(u^2+1)-4u\cdot2u}{(u^2+1)^2}$

Anwenden der notwendigen Bedingung für Extremstellen Formula: A'(u)=0 liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} A'(u)&=&0 \\[5pt] \dfrac{4\cdot(u^2+1)-4u\cdot2u}{(u^2+1)^2}&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(u^2+1) \\[5pt] -4u^2+4&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+4u^2 \\[5pt] 4&=&4u^2 &\quad\scriptsize\mid\;:4 \\[5pt] 1&=&u^2 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \pm1&=&u_{1;2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A'(u)&=&0 \\[5pt] \dfrac{4\cdot(u^2+1)-4u\cdot2u}{(u^2+1)^2}&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(u^2+1) \\[5pt] -4u^2+4&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+4u^2 \\[5pt] 4&=&4u^2 &\quad\scriptsize\mid\;:4 \\[5pt] 1&=&u^2 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \pm1&=&u_{1;2} \end{array}$

Da $Formula: u\gt0$ $Formula: u\gt0$ gelten muss, wird der Flächeninhalt somit für Formula: u=1 maximal. Für ihn ergibt sich dann:

$Formula: A(1)=\dfrac{4\cdot 1}{1^2+1}=2$ $Formula: A(1)=\dfrac{4\cdot 1}{1^2+1}=2$

7 Analytische Geometrie

$Formula: \begin{array}{rlll} \overrightarrow{AB}&=&\pmatrix{3-0\\2-0\\1-0} \\[5pt] &=&\pmatrix{3\\2\\1} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \overrightarrow{AB}&=&\pmatrix{3-0\\2-0\\1-0} \\[5pt] &=&\pmatrix{3\\2\\1} \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} \overrightarrow{DC}&=&\pmatrix{1-(-2)\\3-1\\5-4} \\[5pt] &=&\pmatrix{3\\2\\1} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \overrightarrow{DC}&=&\pmatrix{1-(-2)\\3-1\\5-4} \\[5pt] &=&\pmatrix{3\\2\\1} \end{array}$

Da diese gegenüberliegenden Seiten somit gleichlang und parallel sind, handelt es sich um ein Parallelogramm.

Für den allgemeinen Ortsvektor von Formula: T folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \overrightarrow{OT}&=&\overrightarrow{OB}+k\cdot\overrightarrow{BD} \\[5pt] &=&\pmatrix{3-5k\\2-k\\1+3k} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \overrightarrow{OT}&=&\overrightarrow{OB}+k\cdot\overrightarrow{BD} \\[5pt] &=&\pmatrix{3-5k\\2-k\\1+3k} \end{array}$

Die Rechtwinkligkeit des Dreiecks liefert dann für Formula: k:

$Formula: \begin{array}{rlll} \overrightarrow{BT}\circ\overrightarrow{AT}&=&0 \\[5pt] \overrightarrow{BD}\circ\overrightarrow{OT}&=&0 \\[5pt] \pmatrix{-5\\-1\\3}\circ\pmatrix{3-5k\\2-k\\1+3k}&=&0 \\[5pt] -15+25 k-2+k+3+9 k&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+14 \\[5pt] 35k&=&14 &\quad\scriptsize\mid\;:35 \\[5pt] k&=&\dfrac{2}{5} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \overrightarrow{BT}\circ\overrightarrow{AT}&=&0 \\[5pt] \overrightarrow{BD}\circ\overrightarrow{OT}&=&0 \\[5pt] \pmatrix{-5\\-1\\3}\circ\pmatrix{3-5k\\2-k\\1+3k}&=&0 \\[5pt] -15+25 k-2+k+3+9 k&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+14 \\[5pt] 35k&=&14 &\quad\scriptsize\mid\;:35 \\[5pt] k&=&\dfrac{2}{5} \end{array}$

Aus der Geradengleichung folgt somit, dass Formula: T der Punkt ist, der nach $Formula: \tfrac{2}{5}$ $Formula: \tfrac{2}{5}$ der Strecke $Formula: \overline{BD}$ $Formula: \overline{BD}$ kommt. Somit beträgt das gesuchte Verhältnis Formula: 2:3.

8 Analytische Geometrie

Formula: z=3

Aus den Eigenschaften des ursprünglichen Vektors $Formula: \overrightarrow{BE}$ $Formula: \overrightarrow{BE}$ folgt, dass der Vektor $Formula: \overrightarrow{B E^{\prime}}$ $Formula: \overrightarrow{B E^{\prime}}$ senkrecht zum Vektor $Formula: \overrightarrow{B C}=\pmatrix{-4\\3\\0}$ $Formula: \overrightarrow{B C}=\pmatrix{-4\\3\\0}$ steht, positive Formula: x - und Formula: y -Koordinaten besitzt, die Formula: z -Koordinate Formula: 0 hat und die Länge Formula: 6. Aus der Form des Vektors $Formula: \overrightarrow{BC}$ $Formula: \overrightarrow{BC}$ ergibt sich direkt, dass ein passender orthogonaler Vektor wie folgt gegeben ist:

$Formula: \pmatrix{3\\4\\0}$ $Formula: \pmatrix{3\\4\\0}$

Dieser Vektor hat die folgende Länge:

$Formula: \left\vert\pmatrix{3\\4\\0}\right\vert=\sqrt{3^2+4^2+0}=\sqrt{25}=5$ $Formula: \left\vert\pmatrix{3\\4\\0}\right\vert=\sqrt{3^2+4^2+0}=\sqrt{25}=5$

Somit ergibt sich:

$Formula: \overrightarrow{B E^{\prime}}=6\cdot\dfrac{1}{5}\cdot\pmatrix{3\\4\\0}= 1,2\cdot\pmatrix{3\\4\\0}$ $Formula: \overrightarrow{B E^{\prime}}=6\cdot\dfrac{1}{5}\cdot\pmatrix{3\\4\\0}= 1,2\cdot\pmatrix{3\\4\\0}$

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts folgt somit:

$Formula: \begin{array}{rlll} \overrightarrow{O E^{\prime}}&=&\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{B E^{\prime}} \\[5pt] &=&\pmatrix{4\\0\\0}+1,2\cdot\pmatrix{3\\4\\0} \\[5pt] &=&\pmatrix{7,6\\4,8\\0} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \overrightarrow{O E^{\prime}}&=&\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{B E^{\prime}} \\[5pt] &=&\pmatrix{4\\0\\0}+1,2\cdot\pmatrix{3\\4\\0} \\[5pt] &=&\pmatrix{7,6\\4,8\\0} \end{array}$

Somit ergibt sich $Formula: E'(7,6\mid4,8\mid0).$ $Formula: E'(7,6\mid4,8\mid0).$

9 Stochastik

Ein mögliches Zufallsexperiment ist das zweimalige Ziehen einer Kugel aus dem Gefäß ohne Zurücklegen. Das angegebene Ereignis ist dann, dass zwei gleichfarbige Kugeln gezogen werden. Der Term $Formula: \tfrac{6}{6+x} \cdot \tfrac{5}{5+x}$ $Formula: \tfrac{6}{6+x} \cdot \tfrac{5}{5+x}$ ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass im ersten Zug eine rote und im zweiten Zug eine rote Kugel gezogen wird und der Term $Formula: \tfrac{x}{6+x} \cdot \tfrac{x-1}{5+x}$ $Formula: \tfrac{x}{6+x} \cdot \tfrac{x-1}{5+x}$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass im ersten Zug eine grüne und im zweiten Zug eine grüne Kugel gezogen wird.

Durch $Formula: x_2=10\gt6$ $Formula: x_2=10\gt6$ ergeben sich insgesamt Formula: 16 Kugeln.

10 Stochastik

Systematisches Ausprobieren liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} 1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2&=&\dfrac{3}{4} \\[5pt] &=&0,75 \\[5pt] &=&75\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2&=&\dfrac{3}{4} \\[5pt] &=&0,75 \\[5pt] &=&75\,\% \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} 1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^3&=&\dfrac{7}{8} \\[5pt] &=&0,875 \\[5pt] &=&87,5\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^3&=&\dfrac{7}{8} \\[5pt] &=&0,875 \\[5pt] &=&87,5\,\% \end{array}$

Somit muss die Münze mindestens dreimal geworfen werden.

$Formula: \begin{array}{rlll} 1-p^2&=&0,64 &\quad\scriptsize\mid\;-1 \\[5pt] -p^2&=&-0,36 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-1) \\[5pt] p^2&=&0,36 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] p_{1;2}&=&\pm0,6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 1-p^2&=&0,64 &\quad\scriptsize\mid\;-1 \\[5pt] -p^2&=&-0,36 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-1) \\[5pt] p^2&=&0,36 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] p_{1;2}&=&\pm0,6 \end{array}$

Da die Wahrscheinlichkeit Formula: p positiv sein muss, folgt Formula: p=0,6.

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