Abi 2020 Analysis (zentral)

Beim Bau neuer Straßen muss die Entwicklung des gesamten Straßennetzes berücksichtigt werden. Dabei sind vielfältige Aspekte zu beachten und Probleme zu bewältigen. Eine Auswahl hiervon soll im Folgenden näher beleuchtet werden.

Aufgabe 1

Durch die Angaben im Lageplan („Draufsicht“, Abbildung 1, alle Angaben in $\text{m}$ ) können Straßenverläufe mithilfe von Funktionsgraphen beschrieben werden. Eine bestehende geradlinige Straße verläuft durch die Punkte $R(0 \mid 0)$ und $S(-50 \mid 0).$ Im Punkt $R$ soll nun ein Abzweig an diese Straße so angeschlossen werden, dass dieser durch den Punkt $T(200 \mid 100)$ führt (vgl. Abbildung 1). Es wird vorgeschlagen, den Verlauf dieses Abzweigs durch einen Graphen der Funktionsschar $g_t$ mit

Funktion anzeigen

$g_t(x)=...$

zu beschreiben.

Abb. 1

Skizziere in der Abbildung 1 die Graphen der Funktion $g_t$ für die Parameterwerte $t = 0$ und $t = -3$ .

(2 BE)

Weise nach, dass jeder Abzweig durch die Punkte $R$ und $T$ verläuft.

(2 BE)

Zeige, dass jeder Abzweig im Punkt $R$ „knickfrei“ (vgl. Abbildung 2) an die bestehende Straße anschließt.

Abbildung 2

(3 BE)

Untersuche, für welche Werte des Parameters t eine „Überführung“ des Abzweiges über die bestehende Straße im Bereich $0 \lt x \lt 200$ erforderlich ist (siehe Abbildung 1).

(5 BE)

Bestimme den Wert des Parameters t so, dass die zweite Ableitung der Funktion $g_t$ an der Stelle x = 0 den Wert Null hat.

(2 BE)

Aufgabe 2

Im sog. Höhenplan wird der Längsschnitt der Strecke entworfen. Die nebenstehende (nicht maßstäbliche) Abbildung 3 zeigt stark vereinfacht das Profil eines Straßenstücks mit Kuppe und Wanne.

Abb. 3

Im gewählten Koordinatensystem hat der höchste Punkt der Kuppe die Koordinaten H $(100 \mid 100)$ und der tiefste Punkt der Wanne die Koordinaten $T(900 \mid 50).$ Der Verlauf der Straße soll durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion $h$ vom Grad $n = 3$ modelliert werden ( $x$ in $m$ , $h(x)$ in $m$ ).

Bestimme die Funktionsgleichung dieser Funktion $h$ .
Kontrollergebnis:

Funktion anzeigen

$h(x)=...$

(5 BE)

Berechne das durchschnittliche Gefälle (in %) im Bereich zwischen $H$ und $T$ .

(2 BE)

Berechne das im Bereich zwischen $H$ und $T$ maximal auftretende Gefälle (in %) und begründe dein Vorgehen.

(5 BE)

Fährt ein Fahrzeug auf eine Kuppe zu, dann kann der Fahrer selbst bei einer kurvenfreien Straße einen Teil der Straße, der hinter der Kuppe liegt, nicht einsehen (vgl. Abbildung 4 ).
Für die folgenden Betrachtungen soll angenommen werden, dass ein Fahrzeug die in Abbildung 3 dargestellte Straße von links nach rechts durchfährt. Verwende zur Bearbeitung der folgenden Teilaufgaben d und e die Funktion $h$ aus Teilaufgabe a.

Abb. 4

Die Augen des Fahrers befinden sich ca. 1 m über der Straße. Untersuche, welchen Punkt $B$ der Straße man gerade noch sehen kann, wenn man vom Punkt $A(0 \mid h(0)+1)$ aus in Fahrt- richtung blickt (vgl. Abbildung 5, stark verzerrter Ausschnitt).

Abb. 5

$[$ Kontrollergebnis: $B(61,0 \mid 99,6)$ $]$

(7 BE)

Für die Länge $L$ des Graphen einer Funktion $f$ im Intervall [a; b] gilt:
$\(L= \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f$
Berechne damit die Länge des Straßenstückes (gerundet auf m), das von den Punkten $A_S(0 \mid h(0))$ und $B$ begrenzt wird.

$[$ Kontrollergebnis: $61$ $\text{m}]$

(3 BE)

Aus der Fahrschule ist die „Faustformel“ $s= \dfrac{v}{10} \cdot \dfrac{v}{10}$ bekannt. Dabei ist $s$ der Bremsweg in $m$ , der beim Abbremsen aus der Geschwindigkeit $v$ in $\text{km/h}$ bis zum Stillstand zurückgelegt wird.

Im Punkt $B$ befindet sich ein Hindernis. Beurteile angesichts des Bremsweges, ob der durch den Graphen von $h$ modellierte Verlauf als Landstraße geeignet ist.

(4 BE)

Lösung 1

Nachweis, dass $R(0 \mid 0) \in g_t$ bzw. $T(200 \mid 100) \in g_t$ für jedes $t$ durch Einsetzen:

$g_t (0) =0$ (offensichtlich) bzw. $g_t (200) =100$ (CAS)

Für den Nachweis des „knickfreien“ Anschlusses ist zu zeigen, dass $g_t‘(0)=0$ für jedes t gilt, da die bestehende Straße auf der x-Achse verläuft und so die Steigung null hat. Bestimmen von $g_t ‘(x)$ und Einsetzen zeigt: $g_t ‘(0)= 0$ gilt für jedes t.

Eine „Überführung“ wäre erforderlich, wenn die Funktion $g_t$ eine Nullstelle im Bereich $0 \lt x \lt 200$ hätte.

$g_t (x) =0$ $\Rightarrow x=0$ $\lor x=200-\frac{500}{t}$ $(t\neq 0)$

$x\gt 0\Rightarrow 200-\dfrac{500}{t}\gt 0$

$\Rightarrow t \gt 2,5$ $\lor t\lt 0 \land x\lt 200$

$\Rightarrow 200-\dfrac{500}{t}\lt 200$

$\Rightarrow t\gt 0$

Also: Für alle $t > 2,5$ ist eine „Überführung“ erforderlich, d.h. für alle $t \leq 2,5$ ist keine „Überführung“ erforderlich.

$\(g_t$ (CAS)

Lösung 2

Ansatz: $h(x)=ax^3+bx^2+cx+d,$ $h‘(x)=3ax^2+2bx+c$

Die Bedingungen $h(100) = 100$ , $h‘(100) = 0$ , $h(900) = 50$ und $h‘(900) = 0$ liefern ein LGS für die Parameter a, b, c, d.

Lösung des LGS (CAS):

$a=\dfrac{1}{5.120.000},$ $b=-\dfrac{3}{10.240},$ $c=\dfrac{27}{512},$ $d=\dfrac{12.475}{128}$

Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung:

$h(x)=\dfrac{1}{5.120.000}\cdot x^3-\dfrac{3}{10.240}\cdot x^2+\dfrac{27}{512}\cdot x+\dfrac{12.475}{128}$

(= Kontrollergebnis)

Durchschnittliches Gefälle:

$\begin{array}[t]{rll} m_s&=& \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \\[5pt] &=& \dfrac{50-100}{900-100} \\[5pt] &=& \dfrac{-50}{800} \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{16}\\[5pt] &=& -0,0625 \end{array}$

$\Rightarrow$ Das durchschnittliche Gefälle beträgt ca. 6 %.

Maximales Gefälle: Bestimme x so, dass h‘(x) minimal wird, also Extrempunkt von h‘ bzw. Wendepunkt von h:

Notwendige Bedingung: $\(h$ (CAS)

Hinreichende Bedingung: $\(h$ $\Rightarrow$ Minimum

Im Punkt $M(500 \mid h(500))= M(500 \mid 75)$ ist das Gefälle demnach maximal.

$\(m= h$

$\Rightarrow$ Das maximale Gefälle beträgt ca. 9 %.

Lösungsplan:

i) Aufstellen der Gleichung einer (allgemeinen) Tangente $t$ durch den Punkt $B(x_b\mid h(x_b))$

ii) $x_b$ so ermitteln, dass $A(0\mid h(0) +1)$ auf $t$ liegt

$t(x)= m\cdot x + b$ mit $\(m= h$

$m$ und $B$ einsetzen $\Rightarrow h(x_b)=h ‘ (x_b)\cdot x_b +b$

bzw. $\(b=h(x_b)-h$

$\(\Rightarrow t(x)=h$

$A (0\mid h(0) +1)$ einsetzen liefert eine Gleichung zur Bestimmung von $x_b:$

$h(0) +1 =h (x_b)-h ‘ (x_b)\cdot x_b$

$\Rightarrow x_{b_1}\approx -56,35,$ $x_{b_2} \approx 60,95,$ $x_{b_3}\approx 745,39$ (GTR)

Da $0 \lt x_b \lt 100$ ist also $x_b\approx61,0$ und der gesuchte Punkt $B$ hat die Koordinaten $B (61,0 \mid h(61,0))=B( 61,0 \mid 99,6)$ (= Kontrollergebnis)

$\(L= \displaystyle\int_{0}^{61,0}\sqrt{1+(h$ (CAS)

Das Straßenstück zwischen $A_S$ und $B$ ist also etwa $61\,\text{m}$ lang.

Wenn sich in $B$ ein Hindernis befindet, dann kann man dieses erst dann sehen, wenn man A durchfährt. Der Bremsweg beträgt also (höchstens) $61\,\text{m}.$
Aus der Faustformel ergibt sich $v=\sqrt{100 \cdot s}= \sqrt{100 \cdot 61,0}\approx 78,1 \,\text{km/h}$
Liegt also die Geschwindigkeit unter $78 \,\text{km/h},$ kann man auf der Strecke von $A$ nach $B$ noch anhalten. Auf Landstraßen beträgt die Höchstgeschwindigkeit in der Regel $100 \,\text{km/h}.$ Das wäre hier aber zu schnell. Der Graph ist als Verlauf für eine Landstraße nur dann geeignet, wenn im kritischen Bereich eine Geschwindigkeitsbeschränkung vorgeschrieben wird.