Aufgabe 2

Gegeben ist die Schar der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktionen Formula: f_a mit $Formula: f_a(x)=\tfrac{1}{3}\cdot x^3+\tfrac{1}{2}\cdot(1-a)\cdot x^2-a\cdot x,$ $Formula: f_a(x)=\tfrac{1}{3}\cdot x^3+\tfrac{1}{2}\cdot(1-a)\cdot x^2-a\cdot x,$ wobei $Formula: a\in\mathbb{R}, a\gt 0.$ $Formula: a\in\mathbb{R}, a\gt 0.$

Der Graph von Formula: f_a wird mit Formula: G_a bezeichnet.

Zeige rechnerisch, dass der Graph Formula: G_a der Funktion Formula: f_a genau einen Hoch- und genau einen Tiefpunkt besitzt.

[Kontrollergebnis: Tiefpunkt $Formula: T_a\left(a \mid f_a(a)\right)$ $Formula: T_a\left(a \mid f_a(a)\right)$ ]

4 BE

Koordinatensystem mit drei unterschiedlich markierten kubischen Funktionen.

Abbildung 1

Abbildung 1 zeigt für drei Werte von Formula: a jeweils den zugehörigen Graphen Formula: G_a. Graph II gehört zu Formula: G_2, die anderen Graphen gehören zu den Parameterwerten Formula: a=1{,}5 bzw. Formula: a=2{,}5.

Beschreibe die Abhängigkeit der Lage des Tiefpunktes des Graphen Formula: G_a vom Wert des Parameters Formula: a.

2 BE

Weise nach, dass alle Graphen Formula: G_a genau zwei gemeinsame Punkte haben und gib deren Koordinaten an.

4 BE

Die Tangente an den Graphen Formula: G_a im Ursprung schneidet in einem weiteren Punkt. Bestimme den Wert von Formula: a so, dass dieser Punkt mit dem Tiefpunkt $Formula: T_a\left(a \mid f_a(a)\right)$ $Formula: T_a\left(a \mid f_a(a)\right)$ übereinstimmt.

4 BE

Interpretiere die geometrische Aussage der Gleichung

$Formula: (*)\quad\displaystyle\int_{-2}^{0}\left(f_{a+0{,}5}(x)-f_a(x)\right)\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{3}.$ $Formula: (*)\quad\displaystyle\int_{-2}^{0}\left(f_{a+0{,}5}(x)-f_a(x)\right)\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{3}.$

Gib mithilfe der Gleichung Formula: (*) den Wert von $Formula: \int_{-2}^{0}(f_{a+1}(x)-f_a(x))\,\mathrm{d}x$ $Formula: \int_{-2}^{0}(f_{a+1}(x)-f_a(x))\,\mathrm{d}x$ an.

Begründe diesen Wert unter Verwendung von Abbildung 1.

5 BE

Anlässlich eines sportlichen Großereignisses werden Sammelbildchen verkauft. Die Verkaufsrate ist die Anzahl der pro Tag verkauften Sammelbildchen und wird mithilfe der Funktion Formula: v mit $Formula: v(x)=x^3-120\cdot x^2+3600\cdot x$ $Formula: v(x)=x^3-120\cdot x^2+3600\cdot x$ beschrieben. Dabei ist $Formula: x\in[0;60]$ $Formula: x\in[0;60]$ die Zeit in Tagen seit Verkaufsbeginn und die zugehörige Anzahl der pro Tag verkauften Sammelbildchen.

Die Abbildung 2 zeigt den Graphen von Formula: v.

Graph der Funktion v(x) über den Tagen mit einem Hochpunkt bei etwa 20 Tagen und markiertem Punkt A bei (10, 25.000).

Abbildung 2

Gib die Bedeutung des Punktes $Formula: A(10\mid 25\,000)$ $Formula: A(10\mid 25\,000)$ des Graphen von Formula: v im Sachzusammenhang an. Zeichne in der Abbildung 2 denjenigen Punkt Formula: B des Graphen ein, bei dem die Abnahme der Verkaufsrate am größten ist.

3 BE

Begründe mithilfe der Abbildung 2, dass innerhalb der ersten zehn Tage mehr als $Formula: 100\,000$ $Formula: 100\,000$ Sammelbildchen verkauft werden.

4 BE

Es ist bekannt, dass Formula: n=14 die kleinste Lösung ist, die die Ungleichung $Formula: \int_{20}^{20+n}v(x)\,\mathrm{d}x\gt 400\,000$ $Formula: \int_{20}^{20+n}v(x)\,\mathrm{d}x\gt 400\,000$ mit $Formula: n\in\mathbb{N}$ $Formula: n\in\mathbb{N}$ und $Formula: n\leq 40$ $Formula: n\leq 40$ erfüllt.

(1)

Deute die kleinste Lösung im Sachzusammenhang.

(2)

Begründe, dass die Ungleichung weitere Lösungen hat.

4 BE

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Für die ersten beiden Ableitungen von Formula: f_a gilt:

$Formula: f_a'(x)=x^2+(1-a) \cdot x-a$ $Formula: f_a'(x)=x^2+(1-a) \cdot x-a$

Formula: f_a''(x)=2x+1-a

Anwenden der notwendigen Bedingung für Extremstellen Formula: f_a'(x)=0 und Auflösen nach Formula: x mit dem CAS liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} x_1&=&a \\[5pt] x_2&=&-1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_1&=&a \\[5pt] x_2&=&-1 \end{array}$

Überprüfen der hinreichenden Bedingung für Extremstellen ergibt:

$Formula: \begin{array}{rlll} f_a''(a)&=&2\cdot a+1-a \\[5pt] &=&a+1\gt0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f_a''(a)&=&2\cdot a+1-a \\[5pt] &=&a+1\gt0 \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} f_a''(-1)&=&2\cdot(-1)+1-a \\[5pt] &=&-1-a\lt0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f_a''(-1)&=&2\cdot(-1)+1-a \\[5pt] &=&-1-a\lt0 \end{array}$

Somit besitzt der Graph Formula: G_a genau einen Hoch- und einen Tiefpunkt.

Mit wachsendem Formula: a wird die Formula: x -Koordinate des Tiefpunktes größer und die Formula: y -Koordinate des Tiefpunktes wird kleiner.

Für die Schnittstellen von Formula: G_a und Formula: G_b mit $Formula: a\neq b$ $Formula: a\neq b$ folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} f_a(x)&=&f_b(x) \\[5pt] \dfrac{1}{3} \cdot x^3+\dfrac{1}{2} \cdot(1-a) \cdot x^2-a \cdot x&=&\dfrac{1}{3} \cdot x^3+\dfrac{1}{2} \cdot(1-b) \cdot x^2-b \cdot x &\quad\scriptsize\mid\;-\left(\tfrac{1}{3} \cdot x^3+\tfrac{1}{2} \cdot(1-b) \cdot x^2-b \cdot x\right) \\[5pt] (b-a) \cdot\left(\dfrac{1}{2} \cdot x^2+x\right)&=&0 \\[5pt] (b-a) \cdot x\cdot\left(\dfrac{1}{2} x+1\right)&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f_a(x)&=&f_b(x) \\[5pt] \dfrac{1}{3} \cdot x^3+\dfrac{1}{2} \cdot(1-a) \cdot x^2-a \cdot x&=&\dfrac{1}{3} \cdot x^3+\dfrac{1}{2} \cdot(1-b) \cdot x^2-b \cdot x &\quad\scriptsize\mid\;-\left(\tfrac{1}{3} \cdot x^3+\tfrac{1}{2} \cdot(1-b) \cdot x^2-b \cdot x\right) \\[5pt] (b-a) \cdot\left(\dfrac{1}{2} \cdot x^2+x\right)&=&0 \\[5pt] (b-a) \cdot x\cdot\left(\dfrac{1}{2} x+1\right)&=&0 \end{array}$

Da $Formula: a\neq b$ $Formula: a\neq b$ gilt, folgt mit dem Satz des Nullprodukts Formula: x_1=0 und Formula: x_2=-2. Einsetzen der beiden Werte in Formula: f_a(x) liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} f_a(0)&=&\dfrac{1}{3} \cdot 0^3+\dfrac{1}{2} \cdot(1-a) \cdot 0^2-a \cdot 0 \\[5pt] &=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f_a(0)&=&\dfrac{1}{3} \cdot 0^3+\dfrac{1}{2} \cdot(1-a) \cdot 0^2-a \cdot 0 \\[5pt] &=&0 \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} f_a(-2)&=&\dfrac{1}{3} \cdot (-2)^3+\dfrac{1}{2} \cdot(1-a) \cdot (-2)^2-a \cdot (-2) \\[5pt] &=&-\dfrac{2}{3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f_a(-2)&=&\dfrac{1}{3} \cdot (-2)^3+\dfrac{1}{2} \cdot(1-a) \cdot (-2)^2-a \cdot (-2) \\[5pt] &=&-\dfrac{2}{3} \end{array}$

Alle Graphen haben somit nur die Punkte $Formula: R(0\mid0)$ $Formula: R(0\mid0)$ und $Formula: S\left(-2\mid-\tfrac{2}{3}\right)$ $Formula: S\left(-2\mid-\tfrac{2}{3}\right)$ gemeinsam.

Für die Steigung der Tangente ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} f_a'(0)&=&0^2+(1-a) \cdot 0-a \\[5pt] &=&-a \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f_a'(0)&=&0^2+(1-a) \cdot 0-a \\[5pt] &=&-a \end{array}$

Die Tangente hat somit die Gleichung Formula: t_a(x)=-ax. Einsetzen der Koordinaten $Formula: (a\mid f_a(a))$ $Formula: (a\mid f_a(a))$ des Tiefpunkts von Formula: f_a liefert:

$Formula: \frac{1}{3} \cdot a^3+\frac{1}{2} \cdot(1-a) \cdot a^2-a\cdot a=-a\cdot a$ $Formula: \frac{1}{3} \cdot a^3+\frac{1}{2} \cdot(1-a) \cdot a^2-a\cdot a=-a\cdot a$

Auflösen nach Formula: a mit dem CAS ergibt:

$Formula: \begin{array}{rlll} a_1&=&0 \\[5pt] a_2&=&3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} a_1&=&0 \\[5pt] a_2&=&3 \end{array}$

Da $Formula: a\gt0$ $Formula: a\gt0$ sein muss, ist der gesuchte Wert von somit Formula: a_2=3.

Aussage interpretieren

Der Inhalt der Fläche, die von den Graphen $Formula: G_{a+0,5}$ $Formula: G_{a+0,5}$ und Formula: G_a begrenzt wird, beträgt $Formula: \tfrac{1}{3}.$ $Formula: \tfrac{1}{3}.$

Wert angeben und begründen

$Formula: \displaystyle\int_{-2}^0\left(f_{a+1}(x)-f_a(x)\right) \mathrm{d} x=\dfrac{2}{3}$ $Formula: \displaystyle\int_{-2}^0\left(f_{a+1}(x)-f_a(x)\right) \mathrm{d} x=\dfrac{2}{3}$

Koordinatensystem mit mehreren Parabeln und markierten Flächen zwischen den Graphen.

Der Graph von $Formula: G_{a+0,5}$ $Formula: G_{a+0,5}$ teilt die Fläche, die von Formula: G_a und $Formula: G_{a+1}$ $Formula: G_{a+1}$ begrenzt wird, in zwei Flächen Formula: A_1 und Formula: A_2, die jeweils den Inhalt $Formula: \tfrac{1}{3}$ $Formula: \tfrac{1}{3}$ haben.

Bedeutung angeben

Am zehnten Tag nach Verkaufsbeginn werden $Formula: 25\,000$ $Formula: 25\,000$ Sammelbildchen verkauft.

Punkt einzeichnen

Graph der täglichen Anzahl v(x) in Abhängigkeit von den Tagen, mit markierten Punkten A und B.

Graph der täglichen Anzahl v(x) über die Zeit mit markiertem Punkt A bei x = 10 Tagen und schattierter Fläche.

Die Anzahl der in den ersten zehn Tagen verkauften Sammelbildchen ist $Formula: \displaystyle\int_0^{10} v(x) \;\mathrm d x.$ $Formula: \displaystyle\int_0^{10} v(x) \;\mathrm d x.$ Das entspricht dem Inhalt der schraffierten Fläche unter dem Graphen. Dieser ist größer als der Flächeninhalt $Formula: A=\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 25\,000=125\,000$ $Formula: A=\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 25\,000=125\,000$ des eingefärbten Dreiecks.

(1)

Die kleinste Lösung der Ungleichung gibt die Länge des Zeitraums ab dem 20. Tag an, in dem erstmals mehr als $Formula: 400\,000$ $Formula: 400\,000$ Sammelbildchen verkauft werden.

(2)

Es gilt $Formula: v(x) \geq 0$ $Formula: v(x) \geq 0$ für $Formula: x \in[14 ; 60],$ $Formula: x \in[14 ; 60],$ somit ist $Formula: \displaystyle\int_{34}^{20+n} v(x)\;\mathrm d x$ $Formula: \displaystyle\int_{34}^{20+n} v(x)\;\mathrm d x$ positiv für insbesondere $Formula: 15\leq n\leq 40.$ $Formula: 15\leq n\leq 40.$ Damit folgt mit Hilfe von Formula: (1) für alle diese Werte von Formula: n:

$Formula: \begin{array}{rlll} \displaystyle\int_{20}^{20+n} v(x) \;\mathrm d x&=&\displaystyle\int_{20}^{20+14} v(x)\;\mathrm d x+\displaystyle\int_{34}^{20+n} v(x)\;\mathrm d x \\[5pt] &\gt&400\,000 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \displaystyle\int_{20}^{20+n} v(x) \;\mathrm d x&=&\displaystyle\int_{20}^{20+14} v(x)\;\mathrm d x+\displaystyle\int_{34}^{20+n} v(x)\;\mathrm d x \\[5pt] &\gt&400\,000 \end{array}$

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