Pflichtaufgaben

1 Analysis

Die Abbildung zeigt den Graphen Formula: G_f der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion Formula: f mit $Formula: f(x)=-\tfrac{1}{4}\cdot x^4+\tfrac{3}{2}\cdot x^2.$ $Formula: f(x)=-\tfrac{1}{4}\cdot x^4+\tfrac{3}{2}\cdot x^2.$

Graph einer symmetrischen Funktion mit zwei Hochpunkten und einem Tiefpunkt bei x = 0.

Berechne $Formula: \int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x.$ $Formula: \int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x.$

2 BE

Begründe, dass für $Formula: a\in\mathbb{R}^+$ $Formula: a\in\mathbb{R}^+$ gilt:

$Formula: \displaystyle\int_{-a}^{a} f(x)\,\mathrm{d}x=2\cdot\int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x$ $Formula: \displaystyle\int_{-a}^{a} f(x)\,\mathrm{d}x=2\cdot\int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x$

3 BE

2 Analysis

Während der Vorheizphase eines Backofens wird die Abhängigkeit der Innentemperatur des Backofens (in $Formula: ^{\circ}\mathrm{C}$ $Formula: ^{\circ}\mathrm{C}$ ) von der Zeit Formula: x (in $Formula: \mathrm{min}$ $Formula: \mathrm{min}$ ) für $Formula: 0\leq x\leq 9$ $Formula: 0\leq x\leq 9$ durch die Funktion Formula: t mit $Formula: t(x)=-\tfrac{1}{3}\cdot x^3+\tfrac{9}{2}\cdot x^2+20$ $Formula: t(x)=-\tfrac{1}{3}\cdot x^3+\tfrac{9}{2}\cdot x^2+20$ beschrieben.

Berechne die mittlere Änderungsrate der Innentemperatur während der ersten drei Minuten.

2 BE

Untersuche, ob es Zeitpunkte gibt, bei denen die lokale Änderungsrate der Innentemperatur $Formula: 22\;\tfrac{^{\circ}\mathrm{C}}{\mathrm{min}}$ $Formula: 22\;\tfrac{^{\circ}\mathrm{C}}{\mathrm{min}}$ beträgt.

3 BE

3 Analytische Geometrie

Gegeben sind die Gerade $Formula: g: \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 3 \\ -1\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ $Formula: g: \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 3 \\ -1\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ mit $Formula: r \in \mathbb{R}$ $Formula: r \in \mathbb{R}$ und die Ebene $Formula: E:-x_2+2 \cdot x_3=-5.$ $Formula: E:-x_2+2 \cdot x_3=-5.$

Zeige, dass Formula: g senkrecht zu Formula: E steht und $Formula: (2\mid3\mid-1)$ $Formula: (2\mid3\mid-1)$ in liegt.

3 BE

Der Punkt $Formula: P(2\mid2\mid 1)$ $Formula: P(2\mid2\mid 1)$ liegt auf Formula: g. Ermittle die Koordinaten zweier Punkte Formula: Q_1 und Formula: Q_2, die jeweils den doppelten Abstand zu Formula: E haben wie der Punkt Formula: P.

2 BE

4 Stochastik

Betrachtet werden zwei Würfel Formula: A und Formula: B mit den folgenden Würfelnetzen:

Kreuzförmige Anordnung der Zahlen 1, 4, 3 und 2.

Würfel Formula: A

Kreuzförmiges Schema mit Zahlen und Buchstaben in Kästchen.

Würfel Formula: B

Würfel Formula: A wird einmal geworfen. Die Zufallsvariable Formula: X gibt die Augenzahl des Würfels an. Bestimme den Erwartungswert von Formula: X.

3 BE

Würfel Formula: B wird einmal geworfen. Die Zufallsvariable Formula: Y gibt die Augenzahl des Würfels an. Bestimme einen Wert für Formula: a und einen Wert für mit $Formula: a,b\in\mathbb{N}$ $Formula: a,b\in\mathbb{N}$ so, dass der Erwartungswert der Zufallsvariable den Wert Formula: 3 annimmt.

2 BE

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1 Analysis

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_0^2f(x) \;\mathrm dx & = & \displaystyle\int_0^2\left(-\dfrac{1}{4} \cdot x^4+\dfrac{3}{2} \cdot x^2\right) \;\mathrm dx \\[5pt] & = & \left[-\dfrac{1}{20} \cdot x^5+\dfrac{1}{2} \cdot x^3\right]_0^2 \\[5pt] & = & -\dfrac{32}{20}+\dfrac{80}{20} \\[5pt] & = & \dfrac{48}{20} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_0^2f(x) \;\mathrm dx & = & \displaystyle\int_0^2\left(-\dfrac{1}{4} \cdot x^4+\dfrac{3}{2} \cdot x^2\right) \;\mathrm dx \\[5pt] & = & \left[-\dfrac{1}{20} \cdot x^5+\dfrac{1}{2} \cdot x^3\right]_0^2 \\[5pt] & = & -\dfrac{32}{20}+\dfrac{80}{20} \\[5pt] & = & \dfrac{48}{20} \end{array}$

Da alle im Funktionsterm von Formula: f auftretenden Exponenten gerade sind, ist der Graph von symmetrisch zur Formula: y -Achse.

Somit gilt:

$Formula: \displaystyle\int_{-a}^0 f(x) \;\mathrm d x=\displaystyle\int_0^a f(x)\;\mathrm d x$ $Formula: \displaystyle\int_{-a}^0 f(x) \;\mathrm d x=\displaystyle\int_0^a f(x)\;\mathrm d x$

Damit folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \displaystyle\int_{-a}^a f(x) \;\mathrm d x&=&\displaystyle\int_{-a}^0 f(x) \;\mathrm d x+\displaystyle\int_0^a f(x) \;\mathrm d x \\[5pt] &=&2\cdot\displaystyle\int_0^a f(x)\;\mathrm d x \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \displaystyle\int_{-a}^a f(x) \;\mathrm d x&=&\displaystyle\int_{-a}^0 f(x) \;\mathrm d x+\displaystyle\int_0^a f(x) \;\mathrm d x \\[5pt] &=&2\cdot\displaystyle\int_0^a f(x)\;\mathrm d x \end{array}$

2 Analysis

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{t(3)-t(0)}{3-0} & = & \dfrac{-9+\tfrac{81}{2}+20-20}{3} \\[5pt] & = & \dfrac{\tfrac{63}{2}}{3} \\[5pt] & = & \dfrac{21}{2} \\[5pt] & = & 10,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{t(3)-t(0)}{3-0} & = & \dfrac{-9+\tfrac{81}{2}+20-20}{3} \\[5pt] & = & \dfrac{\tfrac{63}{2}}{3} \\[5pt] & = & \dfrac{21}{2} \\[5pt] & = & 10,5 \end{array}$

Die mittlere Änderungsrate beträgt somit $Formula: 10,5\;\tfrac{^\circ\text{C}}{\text{min}}.$ $Formula: 10,5\;\tfrac{^\circ\text{C}}{\text{min}}.$

Für die erste Ableitung von Formula: t gilt:

Formula: t'(x)=-x^2+9x

Damit folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} t'(x)&=&22 \\[5pt] -x^2+9x&=&22 &\quad\scriptsize\mid\;-22 \\[5pt] -x^2+9x-22&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-1) \\[5pt] x^2-9x+22&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} t'(x)&=&22 \\[5pt] -x^2+9x&=&22 &\quad\scriptsize\mid\;-22 \\[5pt] -x^2+9x-22&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-1) \\[5pt] x^2-9x+22&=&0 \end{array}$

Mit der Formula: pq -Formel ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} x_{1;2}&=&\dfrac{9}{2}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{9}{2}\right)^2-22} \\[5pt] &=&\dfrac{9}{2}\pm\sqrt{\dfrac{81}{4}-\dfrac{88}{4}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_{1;2}&=&\dfrac{9}{2}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{9}{2}\right)^2-22} \\[5pt] &=&\dfrac{9}{2}\pm\sqrt{\dfrac{81}{4}-\dfrac{88}{4}} \end{array}$

Da der Wert unter der Wurzel negativ ist, gibt es keine Lösung und somit keine solchen Zeitpunkte.

3 Analytische Geometrie

Der Richtungsvektor der Gerade Formula: g stimmt mit dem Normalenvektor der Ebene überein. Somit steht senkrecht zu Formula: E. Einsetzen der Koordinaten $Formula: (2\mid3\mid-1)$ $Formula: (2\mid3\mid-1)$ in die Ebenengleichung liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} -3+2\cdot(-1)&=&-5 \\[5pt] -5&=&-5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -3+2\cdot(-1)&=&-5 \\[5pt] -5&=&-5 \end{array}$

Somit liegt der Punkt in Formula: E.

Gleichsetzen des Ortsvektors von Formula: P mit der Geradengleichung liefert folgendes lineares Gleichungssystem:

$Formula: \begin{array}{lrll} \text{I}\quad&2&=& 2 \\ \text{II}\quad&2&=&3-r \\ \text{III}\quad&1&=&-1+2r \\ \end{array}$ $Formula: \begin{array}{lrll} \text{I}\quad&2&=& 2 \\ \text{II}\quad&2&=&3-r \\ \text{III}\quad&1&=&-1+2r \\ \end{array}$

Gleichung $Formula: \text{II}$ $Formula: \text{II}$ liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} 2&=&3-r &\quad\scriptsize\mid\;+r \\[5pt] 2+r&=&3 &\quad\scriptsize\mid\;-2 \\[5pt] r&=&1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 2&=&3-r &\quad\scriptsize\mid\;+r \\[5pt] 2+r&=&3 &\quad\scriptsize\mid\;-2 \\[5pt] r&=&1 \end{array}$

Einsetzen in Gleichung $Formula: \text{III}$ $Formula: \text{III}$ liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} 1&=&-1+2\cdot1 \\[5pt] 1&=&1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 1&=&-1+2\cdot1 \\[5pt] 1&=&1 \end{array}$

Somit liefert Formula: r=1 den Punkt Formula: P. Da der Richtungsvektor von Formula: g der Normalenvektor von Formula: E ist und der Ortsvektor nach Teilaufgabe a in der Ebene liegt, ergeben sich somit mit Formula: r=2 und Formula: r=-2 passende Punkte Formula: Q_1 und Formula: Q_2:

$Formula: \overrightarrow{O Q_1}=\left(\begin{array}{c}2 \\3 \\-1\end{array}\right)+2 \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\-1 \\2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2 \\1 \\3\end{array}\right)$ $Formula: \overrightarrow{O Q_1}=\left(\begin{array}{c}2 \\3 \\-1\end{array}\right)+2 \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\-1 \\2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2 \\1 \\3\end{array}\right)$

$Formula: \overrightarrow{O Q_2}=\left(\begin{array}{c}2 \\3 \\-1\end{array}\right)-2 \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\-1 \\2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2 \\5 \\-5\end{array}\right)$ $Formula: \overrightarrow{O Q_2}=\left(\begin{array}{c}2 \\3 \\-1\end{array}\right)-2 \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\-1 \\2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2 \\5 \\-5\end{array}\right)$

4 Stochastik

Für die Wahrscheinlichkeiten gilt:

$Formula: \boldsymbol{k}$ $Formula: \boldsymbol{k}$
$Formula: \boldsymbol{P(X=k)}$ $Formula: \boldsymbol{P(X=k)}$	$Formula: \dfrac{1}{2}$ $Formula: \dfrac{1}{2}$	$Formula: \dfrac{1}{6}$ $Formula: \dfrac{1}{6}$	$Formula: \dfrac{1}{6}$ $Formula: \dfrac{1}{6}$	$Formula: \dfrac{1}{6}$ $Formula: \dfrac{1}{6}$

Damit ergibt sich für den Erwartungswert von Formula: X:

$Formula: \begin{array}{rlll} E(X)&=&1 \cdot \dfrac{1}{2}+2 \cdot \dfrac{1}{6}+3 \cdot \dfrac{1}{6}+4 \cdot \dfrac{1}{6} \\[5pt] &=&2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} E(X)&=&1 \cdot \dfrac{1}{2}+2 \cdot \dfrac{1}{6}+3 \cdot \dfrac{1}{6}+4 \cdot \dfrac{1}{6} \\[5pt] &=&2 \end{array}$

Für die Wahrscheinlichkeiten gilt:

$Formula: \boldsymbol{k}$ $Formula: \boldsymbol{k}$
$Formula: \boldsymbol{P(X=k)}$ $Formula: \boldsymbol{P(X=k)}$	$Formula: \dfrac{4}{6}$ $Formula: \dfrac{4}{6}$	$Formula: \dfrac{1}{6}$ $Formula: \dfrac{1}{6}$	$Formula: \dfrac{1}{6}$ $Formula: \dfrac{1}{6}$

Es ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} E(X)&=&3 \\[5pt] 2 \cdot \dfrac{4}{6}+a \cdot \dfrac{1}{6}+b \cdot \dfrac{1}{6}&=&3 &\quad\scriptsize\mid\;-\dfrac{8}{6} \\[5pt] (a+b)\cdot\dfrac{1}{6}&=&\dfrac{10}{6} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot6 \\[5pt] a+b&=&10 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} E(X)&=&3 \\[5pt] 2 \cdot \dfrac{4}{6}+a \cdot \dfrac{1}{6}+b \cdot \dfrac{1}{6}&=&3 &\quad\scriptsize\mid\;-\dfrac{8}{6} \\[5pt] (a+b)\cdot\dfrac{1}{6}&=&\dfrac{10}{6} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot6 \\[5pt] a+b&=&10 \end{array}$

Mögliche Werte sind somit z.B. Formula: a=4 und Formula: b=6.

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