Aufgabe 1

Gegeben ist die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: f mit $Formula: f(x)=5\cdot \mathrm e^{-\tfrac{3}{5}x}-5.$ $Formula: f(x)=5\cdot \mathrm e^{-\tfrac{3}{5}x}-5.$

Abbildung 1 zeigt den Graphen Formula: G_f von Formula: f.

Koordinatensystem mit einer fallenden Kurve G_f, die nahe dem Ursprung die x-Achse schneidet.

Abbildung 1

Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass Formula: G_f streng monoton fallend ist und durch den Koordinatenursprung verläuft. Gib den Grenzwert $Formula: \lim_{x\to+\infty}f(x)$ $Formula: \lim_{x\to+\infty}f(x)$ an.

4 BE

Bestimme den Wert des Integrals $Formula: \int_0^{\tfrac{5}{3}} f(x)\,\mathrm{d}x$ $Formula: \int_0^{\tfrac{5}{3}} f(x)\,\mathrm{d}x$ und veranschauliche diesen Wert in Abbildung 1.

2 BE

Begründe, dass die folgende Aussage wahr ist, ohne einen Term einer Stammfunktion von Formula: f zu verwenden:

Es gibt genau eine reelle Zahl Formula: k mit $Formula: k\gt 0,$ $Formula: k\gt 0,$ die Lösung der Gleichung $Formula: \int_{-1}^0 f(x)\,\mathrm{d}x=-\int_0^k f(x)\,\mathrm{d}x$ $Formula: \int_{-1}^0 f(x)\,\mathrm{d}x=-\int_0^k f(x)\,\mathrm{d}x$ ist.

4 BE

Nachfolgend sind die wesentlichen Schritte eines Lösungswegs zu einer Aufgabe im Zusammenhang mit der Funktion Formula: f dargestellt. Gib eine passende Aufgabenstellung an.

$Formula: V_1=\pi\cdot\displaystyle\int_0^4(f(x))^2\,\mathrm{d}x\approx 141{,}02$ $Formula: V_1=\pi\cdot\displaystyle\int_0^4(f(x))^2\,\mathrm{d}x\approx 141{,}02$
$Formula: V_2=\pi\cdot(f(4))^2\cdot 4\approx 259{,}74$ $Formula: V_2=\pi\cdot(f(4))^2\cdot 4\approx 259{,}74$
$Formula: \dfrac{V_1}{V_2}\approx 0{,}54,$ $Formula: \dfrac{V_1}{V_2}\approx 0{,}54,$ der gesuchte Anteil beträgt somit etwa $Formula: 54\,\%.$ $Formula: 54\,\%.$

3 BE

Gegeben ist die Schar der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktionen Formula: g_k mit $Formula: g_k(x)=\left(\tfrac{x}{k}+1\right)\cdot \mathrm e^{k-x}$ $Formula: g_k(x)=\left(\tfrac{x}{k}+1\right)\cdot \mathrm e^{k-x}$ und $Formula: k\in\mathbb{R}^+.$ $Formula: k\in\mathbb{R}^+.$

Für jedes $Formula: k\in\mathbb{R}^+$ $Formula: k\in\mathbb{R}^+$ wird der Graph von Formula: g_k mit bezeichnet.

Leite für jedes $Formula: k\in\mathbb{R}^+$ $Formula: k\in\mathbb{R}^+$ unter Verwendung geeigneter Rechnungen eine Gleichung der Wendetangente Formula: w_k her, die im einzigen Wendepunkt des Graphen Formula: G_k an den Graphen gelegt wird.

5 BE

Gegeben ist die Schar der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktionen Formula: t_k mit $Formula: t_k(x)=(4-k-x)\cdot\tfrac{\mathrm e^{2\cdot k-2}}{k}$ $Formula: t_k(x)=(4-k-x)\cdot\tfrac{\mathrm e^{2\cdot k-2}}{k}$ und $Formula: k\in\mathbb{R}^+.$ $Formula: k\in\mathbb{R}^+.$

Für jedes $Formula: k\in\mathbb{R}^+$ $Formula: k\in\mathbb{R}^+$ wird der Graph von Formula: t_k mit bezeichnet.

Für jedes $Formula: k\in\mathbb{R}^+$ $Formula: k\in\mathbb{R}^+$ gilt:

schneidet die -Achse genau einmal im Punkt
schneidet die -Achse genau einmal im Punkt
und besitzen genau einen gemeinsamen Punkt $Formula: S_k\left(2-k\mid\tfrac{2\cdot \mathrm e^{2\cdot k-2}}{k}\right).$ $Formula: S_k\left(2-k\mid\tfrac{2\cdot \mathrm e^{2\cdot k-2}}{k}\right).$
Das Dreieck ist gleichschenklig mit der Basis $Formula: \overline{N_kM_k}.$ $Formula: \overline{N_kM_k}.$

Zeige, dass für jedes $Formula: k\in\mathbb{R}^+$ $Formula: k\in\mathbb{R}^+$ die Länge der Strecke $Formula: \overline{N_kM_k}$ $Formula: \overline{N_kM_k}$ unabhängig von ist.

4 BE

In Abbildung 2 ist der Graph Formula: G_p der in $Formula: \mathbb{R}^+$ $Formula: \mathbb{R}^+$ definierten Funktion Formula: p mit $Formula: p(x)=\tfrac{2\cdot\mathrm e^{2\cdot x-2}}{x}$ $Formula: p(x)=\tfrac{2\cdot\mathrm e^{2\cdot x-2}}{x}$ dargestellt. besitzt an der Stelle $Formula: x=\tfrac{1}{2}$ $Formula: x=\tfrac{1}{2}$ seinen einzigen Tiefpunkt.

Begründe mit Hilfe von Abbildung 2, dass das Dreieck $Formula: N_{\tfrac{1}{2}}M_{\tfrac{1}{2}}S_{\tfrac{1}{2}}$ $Formula: N_{\tfrac{1}{2}}M_{\tfrac{1}{2}}S_{\tfrac{1}{2}}$ unter allen Dreiecken Formula: N_kM_kS_k mit $Formula: k\in\mathbb{R}^+$ $Formula: k\in\mathbb{R}^+$ minimalen Flächeninhalt besitzt.

Koordinatensystem mit einer nach oben geöffneten Kurve, die bei etwa x = 0,5 ihr Minimum hat.

Abbildung 2

4 BE

Bestimme alle Werte von Formula: k, für die das Dreieck Formula: N_kM_kS_k rechtwinklig ist.

4 BE

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Da Formula: G_f gegenüber dem streng monoton fallenden Graphen der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion $Formula: x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$ $Formula: x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$ gestreckt und verschoben ist, ist streng monoton fallend. Einsetzen von Formula: x=0 in die Funktionsgleichung liefert:

$Formula: f(0)=5 \cdot \mathrm e^{-\tfrac{3}{5}\cdot0}-5=0$ $Formula: f(0)=5 \cdot \mathrm e^{-\tfrac{3}{5}\cdot0}-5=0$

Somit verläuft der Graph durch den Koordinatenursprung. Für den gesuchten Grenzwert gilt:

$Formula: \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-5$ $Formula: \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-5$

Mit dem CAS ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_0^{\tfrac{5}{3}} f(x) \;\mathrm{d}x & = & -\dfrac{25}{3} \cdot \mathrm e^{-1} \\[5pt] & \approx & -3,066 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_0^{\tfrac{5}{3}} f(x) \;\mathrm{d}x & = & -\dfrac{25}{3} \cdot \mathrm e^{-1} \\[5pt] & \approx & -3,066 \end{array}$

Einzeichnen in der Abbildung liefert:

Graph einer fallenden Funktion mit markierter Fläche des Integrals von 0 bis 5/3.

Koordinatensystem mit fallendem Funktionsgraphen und markierten Flächenintegralen über den Intervallen −1 bis 0 und 0 bis k.

Formula: -A_k wächst mit zunehmendem Wert von Formula: k. Da zudem Formula: -A_1<A und Formula: -A_2>A gilt, ist die Aussage wahr.

Betrachtet wird der Körper, der bei Rotation des Graphen von Formula: f um die Formula: x -Achse im Bereich $Formula: 0 \leq x \leq 4$ $Formula: 0 \leq x \leq 4$ entsteht. Berechne den Anteil des Volumens dieses Körpers an dem eines Zylinders mit dem Radius Formula: |f(4)| und der Höhe Formula: 4.

Für die ersten beiden Ableitungen von Formula: g_k folgt mit dem CAS:

$Formula: g_k'(x)=\left(\dfrac{1-x-k}{k}\right)\cdot\mathrm e^{k-x}$ $Formula: g_k'(x)=\left(\dfrac{1-x-k}{k}\right)\cdot\mathrm e^{k-x}$

$Formula: g_k''(x)=\left(\dfrac{x-2+k}{k}\right)\cdot\mathrm e^{k-x}$ $Formula: g_k''(x)=\left(\dfrac{x-2+k}{k}\right)\cdot\mathrm e^{k-x}$

Anwenden der notwendigen Bedingung für Wendestellen Formula: g_k''(x)=0 und Auflösen nach Formula: x mit dem CAS liefert:

Formula: x=2-k

Da laut Aufgabenstellung genau eine Wendestelle existiert, kann die Überprüfung der hinreichenden Bedingung vernachlässigt werden. Für die Formula: y -Koordinate ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} g_k(2-k)&=&\left(\dfrac{2-k}{k}+1\right) \cdot \mathrm{e}^{k-(2-k)} \\[5pt] &=&\dfrac{2 \cdot \mathrm e^{2 \cdot k-2}}{k} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} g_k(2-k)&=&\left(\dfrac{2-k}{k}+1\right) \cdot \mathrm{e}^{k-(2-k)} \\[5pt] &=&\dfrac{2 \cdot \mathrm e^{2 \cdot k-2}}{k} \end{array}$

Für die Steigung der Wendetangente gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} g_k'(2-k)&=&\left(\dfrac{1-(2-k)-k}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{k-(2-k)} \\[5pt] &=&-\dfrac{ \mathrm e^{2 \cdot k-2}}{k} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} g_k'(2-k)&=&\left(\dfrac{1-(2-k)-k}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{k-(2-k)} \\[5pt] &=&-\dfrac{ \mathrm e^{2 \cdot k-2}}{k} \end{array}$

Einsetzen der Koordinaten der Wendepunkts sowie der Steigung Formula: m in die allgemeine Tangentengleichung Formula: w_k(x)=mx+b ergibt:

$Formula: \dfrac{2 \cdot \mathrm e^{2 \cdot k-2}}{k}=-\dfrac{ \mathrm e^{2 \cdot k-2}}{k}\cdot(2-k)+b$ $Formula: \dfrac{2 \cdot \mathrm e^{2 \cdot k-2}}{k}=-\dfrac{ \mathrm e^{2 \cdot k-2}}{k}\cdot(2-k)+b$

Auflösen nach Formula: b mit dem CAS liefert den Achsenabschnitt $Formula: b=(4-k) \cdot \tfrac{\mathrm e^{2 \cdot k-2}}{k}.$ $Formula: b=(4-k) \cdot \tfrac{\mathrm e^{2 \cdot k-2}}{k}.$ Somit folgt für die gesuchte Tangentengleichung:

$Formula: w_k(x)=-\dfrac{\mathrm e^{2 \cdot k-2}}{k} \cdot x+(4-k) \cdot \dfrac{\mathrm e^{2 \cdot k-2}}{k}$ $Formula: w_k(x)=-\dfrac{\mathrm e^{2 \cdot k-2}}{k} \cdot x+(4-k) \cdot \dfrac{\mathrm e^{2 \cdot k-2}}{k}$

Auflösen von Formula: g_k(x)=0 nach Formula: x mit dem CAS liefert:

Formula: x=-k

Auflösen von Formula: t_k(x)=0 nach Formula: x mit dem CAS liefert:

Formula: x=-k+4

Da die Strecke $Formula: \overline{N_kM_k}$ $Formula: \overline{N_kM_k}$ vollständig auf der Formula: x -Achse liegt, ergibt sich der Abstand wie folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \left\vert\overline{N_kM_k}\right\vert&=&\left\vert (-k+4)-(-k)\right\vert \\[5pt] &=&4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \left\vert\overline{N_kM_k}\right\vert&=&\left\vert (-k+4)-(-k)\right\vert \\[5pt] &=&4 \end{array}$

Da die Länge der Strecke $Formula: \overline{N_k M_k}$ $Formula: \overline{N_k M_k}$ unabhängig von Formula: k ist, ist der Flächeninhalt des Dreiecks Formula: N_k M_k S_k nur abhängig von der Höhe zur Basis $Formula: \overline{N_k M_k}.$ $Formula: \overline{N_k M_k}.$ Diese Höhe entspricht der Formula: y -Koordinate von Formula: S_k.

Der Flächeninhalt des Dreiecks Formula: N_k M_k S_k ist folglich proportional zu $Formula: \tfrac{2 \cdot \mathrm e^{2 \cdot k-2}}{k},$ $Formula: \tfrac{2 \cdot \mathrm e^{2 \cdot k-2}}{k},$ d.h. minimal für $Formula: k=\tfrac{1}{2}.$ $Formula: k=\tfrac{1}{2}.$

Da jedes Dreieck Formula: S_k N_k M_k gleichschenklig ist, ist aufgrund der Innenwinkelsumme genau dann rechtwinklig, wenn der Graph Formula: T_k die Formula: x -Achse in einem Winkel von $Formula: 45^\circ$ $Formula: 45^\circ$ schneidet. Die Steigung von muss also Formula: -1 oder Formula: 1 betragen. Für die Steigung der Geradenschar liefert Ablesen in der Funktionsgleichung $Formula: -\tfrac{\mathrm e^{2 \cdot k-2}}{k}.$ $Formula: -\tfrac{\mathrm e^{2 \cdot k-2}}{k}.$ Da $Formula: k\in\mathbb{R}^+$ $Formula: k\in\mathbb{R}^+$ gilt und die $Formula: \mathrm e$ $Formula: \mathrm e$ -Funktion stets positiv ist, ist die Steigung immer negativ. Somit kommt nur Formula: -1 als mögliche Steigung infrage:

$Formula: -\dfrac{\mathrm e^{2 \cdot k-2}}{k}=-1$ $Formula: -\dfrac{\mathrm e^{2 \cdot k-2}}{k}=-1$

Auflösen nach Formula: k mit dem CAS liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} k_1&=&1 \\[5pt] k_2&\approx&0,203 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} k_1&=&1 \\[5pt] k_2&\approx&0,203 \end{array}$

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