Aufgabe 1

Für jeden Wert von Formula: a mit $Formula: a \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ $Formula: a \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ ist die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: f_a mit $Formula: f_a(x)=-3x^2\cdot \mathrm e^{a\cdot x}$ $Formula: f_a(x)=-3x^2\cdot \mathrm e^{a\cdot x}$ gegeben. Der Graph von wird mit Formula: G_a bezeichnet.

Abbildung 1 zeigt die Funktionsgraphen $Formula: G_{0,5}$ $Formula: G_{0,5}$ und $Formula: G_{0,75}.$ $Formula: G_{0,75}.$ Ordne die Graphen den Parametern Formula: a=0,5 und Formula: a=0,75 zu.

Koordinatensystem mit zwei Kurven, die bei x = 0 ein Maximum haben und links unterschiedliche Tiefpunkte zeigen.

Abbildung 1

2 BE

Begründe anhand des Funktionsterms für jeden Wert von Formula: a, dass Formula: f_a keine positiven Funktionswerte besitzt.

2 BE

Zeige, dass die folgende Aussage wahr ist:

Der Graph $Formula: G_{-a}$ $Formula: G_{-a}$ geht durch Spiegelung des Graphen an der -Achse hervor.

2 BE

Formula: G_a hat für jeden Wert von Formula: a genau zwei Extrempunkte, von denen einer im Koordinatenursprung liegt. Begründe, dass im Koordinatenursprung der Hochpunkt von liegt, und berechne die Formula: x -Koordinate des Tiefpunkts.

(zur Kontrolle: Formula: x -Koordinate des Tiefpunkts: $Formula: -\tfrac{2}{a}$ $Formula: -\tfrac{2}{a}$ )

4 BE

Es gibt einen positiven Wert von Formula: a, für den der Tiefpunkt von Formula: G_a Eckpunkt eines Quadrats ist, von dem zwei Seiten auf den Koordinatenachsen liegen. Ermittle diesen Wert von sowie den Flächeninhalt des zugehörigen Quadrats.

5 BE

Auf einem Einfamilienhaus ist eine Photovoltaikanlage installiert. An einem bestimmten Tag kann die von der Anlage im Zeitraum von 6:00 Uhr bis 20:00 Uhr abgegebene elektrische Leistung durch die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: k mit

$Formula: k(x)=2{,}4\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\cdot(x-7)\right)+1$ $Formula: k(x)=2{,}4\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\cdot(x-7)\right)+1$

beschrieben werden.

Die in diesem Zeitraum im Haus aufgenommene elektrische Leistung kann durch eine in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: h beschrieben werden.

Dabei ist Formula: x jeweils die seit 0:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden, Formula: k(x) die von der Photovoltaikanlage abgegebene elektrische Leistung und Formula: h(x) die im Haus aufgenommene elektrische Leistung, jeweils in der Einheit Kilowatt $Formula: (\mathrm{kW}).$ $Formula: (\mathrm{kW}).$

Abbildung 2 zeigt die zugehörigen Ausschnitte der Graphen von Formula: k und Formula: h.

Koordinatensystem mit zwei parabelförmigen Graphen k und h.

Abbildung 2

Um 13:00 Uhr gibt die Photovoltaikanlage die maximale elektrische Leistung ab. Ermittle rechnerisch einen Zeitpunkt, zu dem die Photovoltaikanlage eine elektrische Leistung abgibt, die $Formula: 50\,\%$ $Formula: 50\,\%$ dieser Leistung entspricht; gib die zugehörige Uhrzeit in Stunden und Minuten an.

4 BE

Ermittle grafisch die Zeitpunkte, zu denen die von der Photovoltaikanlage abgegebene elektrische Leistung genauso groß ist wie die im Haus aufgenommene elektrische Leistung.

3 BE

Die in einem bestimmten Zeitraum von der Photovoltaikanlage insgesamt abgegebene bzw. im Haus insgesamt aufgenommene elektrische Energie kann mithilfe des folgenden allgemeinen Zusammenhangs bestimmt werden:

Beschreibt eine Funktion Formula: p in einem Zeitraum, der durch ein Intervall Formula: [a;b] beschrieben wird, eine elektrische Leistung, so gibt $Formula: \int_a^b p(x)\,\mathrm{d}x$ $Formula: \int_a^b p(x)\,\mathrm{d}x$ die zugehörige elektrische Energie an. Wird dabei die Zeit in Stunden und die elektrische Leistung in $Formula: \mathrm{kW}$ $Formula: \mathrm{kW}$ angegeben, so gibt das Integral die elektrische Energie in $Formula: \mathrm{kWh}$ $Formula: \mathrm{kWh}$ an.

Bestimme den Zeitpunkt eines Tages, zu dem die seit 6 Uhr morgens insgesamt von der Photovoltaikanlage abgegebene elektrische Energie $Formula: 31,7\;\text{kWh}$ $Formula: 31,7\;\text{kWh}$ beträgt.

4 BE

Begründe mithilfe von Abbildung 2 die Aussage $Formula: \int_6^{20}(k(x)-h(x))\,\mathrm{d}x\lt 0$ $Formula: \int_6^{20}(k(x)-h(x))\,\mathrm{d}x\lt 0$ und interpretiere diese im Sachzusammenhang.

4 BE

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Der Graph Formula: (1) ist $Formula: G_{0,5}$ $Formula: G_{0,5}$ und Graph Formula: (2) ist $Formula: G_{0,75}.$ $Formula: G_{0,75}.$

Wegen $Formula: x^2 \geq 0$ $Formula: x^2 \geq 0$ und $Formula: \mathrm e^{a \cdot x}>0$ $Formula: \mathrm e^{a \cdot x}>0$ gilt $Formula: f_a(x)=-3 x^2 \cdot \mathrm e^{a \cdot x} \leq 0,$ $Formula: f_a(x)=-3 x^2 \cdot \mathrm e^{a \cdot x} \leq 0,$ somit besitzt keine positiven Funktionswerte.

$Formula: \begin{array}[t]{rll} f_{-a}(-x) & = & -3(-x)^2 \cdot \mathrm e^{-a \cdot(-x)} \\[5pt] & = & -3 x^2 \cdot \mathrm e^{a \cdot x} \\[5pt] & = & f_{a}(x) \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} f_{-a}(-x) & = & -3(-x)^2 \cdot \mathrm e^{-a \cdot(-x)} \\[5pt] & = & -3 x^2 \cdot \mathrm e^{a \cdot x} \\[5pt] & = & f_{a}(x) \end{array}$

Somit ist die Aussage wahr.

Formula: G_a Lage begründen

Da Formula: f_a keine positiven Funktionswerte besitzt, muss der Hochpunkt im Koordinatenursprung liegen.

$Formula: \boldsymbol{x}$ $Formula: \boldsymbol{x}$ -Koordinate berechnen

Für die erste Ableitung von Formula: f_a liefert das CAS:

$Formula: f_a'(x)=-3 x \cdot(2+a \cdot x) \cdot \mathrm e^{a \cdot x}$ $Formula: f_a'(x)=-3 x \cdot(2+a \cdot x) \cdot \mathrm e^{a \cdot x}$

Anwenden der notwendigen Bedingung für Extremstellen Formula: f_a'(x)=0 und Auflösen nach Formula: x mit dem CAS liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} x_1&=&0 \\[5pt] x_2&=&-\dfrac{2}{a} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_1&=&0 \\[5pt] x_2&=&-\dfrac{2}{a} \end{array}$

Da Formula: x_1=0 zum Hochpunkt gehört und es laut Aufgabenstellung genau zwei Extremstellen gibt, kann die Überprüfung der hinreichenden Bedingung für Extremstellen vernachlässigt werden und somit ist $Formula: x_2=-\tfrac{2}{a}$ $Formula: x_2=-\tfrac{2}{a}$ die -Koordinate des Tiefpunkts. Für die Formula: y -Koordinate des Tiefpunkts ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} f_a\left(-\dfrac{2}{a}\right)&=&-3 \cdot\left(-\dfrac{2}{a}\right)^2 \cdot \mathrm e^{-\tfrac{2}{a} a} \\[5pt] &=&-\dfrac{12}{a^2} \mathrm e^{-2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f_a\left(-\dfrac{2}{a}\right)&=&-3 \cdot\left(-\dfrac{2}{a}\right)^2 \cdot \mathrm e^{-\tfrac{2}{a} a} \\[5pt] &=&-\dfrac{12}{a^2} \mathrm e^{-2} \end{array}$

Der Tiefpunkt hat somit die Koordinaten $Formula: T\left(-\dfrac{2}{a}\,\bigg\vert\,-\dfrac{12}{a^2} \mathrm e^{-2}\right).$ $Formula: T\left(-\dfrac{2}{a}\,\bigg\vert\,-\dfrac{12}{a^2} \mathrm e^{-2}\right).$

Für den gesuchten positiven Wert von Formula: a ist $Formula: \left(\left.-\tfrac{2}{a} \right\rvert\,-\tfrac{2}{a}\right)$ $Formula: \left(\left.-\tfrac{2}{a} \right\rvert\,-\tfrac{2}{a}\right)$ der dem Koordinatenursprung gegenüberliegende Eckpunkt des Quadrats. Der gesuchte Wert von ergibt sich damit wie folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} f\left(-\dfrac{2}{a}\right)&=&-\dfrac{2}{a} \\[5pt] -3\cdot\left(-\dfrac{2}{a}\right)^2\cdot \mathrm e^{a\cdot\left(-\tfrac{2}{a}\right)}&=&-\dfrac{2}{a} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot a^2 \\[5pt] -12\mathrm e^{-2}&=&-2a &\quad\scriptsize\mid\;:(-2) \\[5pt] \dfrac{6}{\mathrm e^2}&=&a \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f\left(-\dfrac{2}{a}\right)&=&-\dfrac{2}{a} \\[5pt] -3\cdot\left(-\dfrac{2}{a}\right)^2\cdot \mathrm e^{a\cdot\left(-\tfrac{2}{a}\right)}&=&-\dfrac{2}{a} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot a^2 \\[5pt] -12\mathrm e^{-2}&=&-2a &\quad\scriptsize\mid\;:(-2) \\[5pt] \dfrac{6}{\mathrm e^2}&=&a \end{array}$

Für den Flächeninhalt des zugehörigen Quadrats ergibt sich somit:

$Formula: \begin{array}{rlll} A&=&\left(-\dfrac{2}{\tfrac{6}{\mathrm e^2}}\right)^2 \\[5pt] &=&\dfrac{\mathrm e^4}{9} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A&=&\left(-\dfrac{2}{\tfrac{6}{\mathrm e^2}}\right)^2 \\[5pt] &=&\dfrac{\mathrm e^4}{9} \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} 0,5\cdot k(13)&=&0,5\cdot\left(2,4 \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{12} \cdot(13-7)\right)+1\right) \\[5pt] &=&1,7 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 0,5\cdot k(13)&=&0,5\cdot\left(2,4 \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{12} \cdot(13-7)\right)+1\right) \\[5pt] &=&1,7 \end{array}$

Für einen möglichen Wert von Formula: x ergibt sich somit:

$Formula: \begin{array}{rlll} k(x)&=&1,7 \\[5pt] 2,4 \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{12} \cdot(x-7)\right)+1&=&1,7 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} k(x)&=&1,7 \\[5pt] 2,4 \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{12} \cdot(x-7)\right)+1&=&1,7 \end{array}$

Auflösen nach Formula: x mit dem CAS liefert z.B. $Formula: x\approx 8,13.$ $Formula: x\approx 8,13.$

Da $Formula: 0,13\cdot60\approx8$ $Formula: 0,13\cdot60\approx8$ gilt, folgt ein möglicher Zeitpunkt somit als ca. 8:08 Uhr.

Koordinatensystem mit zwei Kurven, die zwischen x = 6 und x = 20 verlaufen.

Die gesuchten Zeitpunkte sind somit 10 und 16 Uhr.

Der zum gesuchten Zeitpunkt zugehörige Wert von Formula: x erfüllt folgende Gleichung:

$Formula: \displaystyle\int_6^x k(t)\;\mathrm d t=31,7$ $Formula: \displaystyle\int_6^x k(t)\;\mathrm d t=31,7$

Auflösen nach Formula: x mit dem CAS liefert für die kleinste Lösung $Formula: x\neq 6:$ $Formula: x\neq 6:$

$Formula: x\approx19,97$ $Formula: x\approx19,97$

Somit werden $Formula: 31,7\;\text{kWh}$ $Formula: 31,7\;\text{kWh}$ ungefähr zwischen 6 und 20 Uhr abgegeben.

Koordinatensystem mit zwei Kurvengraphen und schraffierten Flächen A₁, A₂ und A₃.

Der Flächeninhalt Formula: A_2 ist kleiner als die Summe der Flächeninhalte Formula: A_1 und Formula: A_3. Damit gilt die Aussage aus der Aufgabenstellung.

Im Sachzusammenhang bedeutet das, dass die Photovoltaikanlage im Zeitraum von 6:00 Uhr bis 20:00 Uhr insgesamt weniger elektrische Energie abgibt als im Haus in diesem Zeitraum insgesamt aufgenommen wird.

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