Abi 2022 Analysis (zentral)

Für einen industriellen Produktionsprozess wird ein Behälter verwendet. Im Laufe des Produktionsprozesses enthält der Behälter unterschiedliche Mengen einer Flüssigkeit. Die Füllhöhe der Flüssigkeit im Behälter in Zentimetern wird mit $h$ bezeichnet.

Die Funktion $M$ mit $M(h)=100\cdot\mathrm{e}^{-0,04\cdot h}$ beschreibt die Abhängigkeit einer Messgröße von $h.$ Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von $M.$

Abbildung 1

Gib den Wert von $M$ bei leerem Behälter an. Für die größte zugelassene Füllhöhe hat $M$ den Wert $2.$ Berechne die größte zugelassene Füllhöhe.

(4 BE)

Nimmt die Füllhöhe $h$ um $25 \,\text{cm}$ ab, so verändert sich der Wert von $M$ vom jeweiligen Ausgangswert zum $k-$ fachen dieses Ausgangswerts. Weise rechnerisch nach, dass der Faktor $k$ unabhängig von der Ausgangsfüllhöhe ist, und gib den Wert von $k$ an.

(4 BE)

Zeige, dass der Graph der Zuordnung $h\mapsto \,\text{ln}(100\cdot\mathrm{e}^{-0,04\cdot h})$ geradlinig verläuft. Gib für diesen Graphen die Steigung sowie die Koordinaten des Punkts an, den er mit der $y-$ Achse gemeinsam hat.

(5 BE)

Der betrachtete Behälter ist kugelförmig und hat einen Innendurchmesser von $100\,\text{cm}.$ Das Füllvolumen der Flüssigkeit im Behälter in Litern kann in Abhängigkeit von der Füllhöhe $h$ mit dem Term $V(h)=\dfrac{1}{1000}\cdot\displaystyle\int_{0}^{h}\pi\cdot(50^2-(50-x)^2) \;\mathrm dx$ berechnet werden.

Bestimme einen Term einer Stammfunktion der Funktion $i$ mit $i(x)=\pi\cdot(50^2-(50-x)^2).$

(4 BE)

Die Abbildung 2 zeigt einen vertikalen Schnitt durch den Mittelpunkt des Behälters. Gib die Bedeutung des Terms $\pi\cdot(50^2-(50-x)^2)$ im Sachzusammenhang an und begründe deine Angabe mithilfe der Abbildung 2. Beschreibe die Bedeutung des Faktors $\dfrac{1}{1000}$ im Term $V(h)$ im Sachzusammenhang.

rlp mathe abi 2022 wtr aufgabe 2 abbildung 1 mittelpunkt kreis behaelter

Abbildung 2

(6 BE)

Die Abbildung 3 zeigt den Graphen der Funktion $h\mapsto V(h).$ Begründe, dass der Wendepunkt dieses Graphen an der Stelle $h=50$ liegt, und berechne das zugehörige Füllvolumen.

rlp mathe abi 2022 wtr aufgabe 2 abbildung 2 graph von v

Abbildung 3

(5 BE)

Während des Produktionsprozesses wird dem Behälter kontinuierlich Flüssigkeit zugeführt und wieder entnommen. Die zeitliche Entwicklung des Füllvolumens der Flüssigkeit im Behälter lässt sich mithilfe des Terms $V(t)=150\cdot\text{sin}\left(\dfrac{\pi}{12}\cdot t\right)+300$ beschreiben. Dabei ist $t$ die seit Beginn des Produktionsprozesses vergangene Zeit in Minuten und $V(t)$ das Füllvolumen in Liter.

Begründe, dass das minimale Füllvolumen während des Produktionsprozesses $150$ Liter beträgt.

(2 BE)

Berechne diejenigen Zeitpunkte in der ersten halben Stunde nach Beginn des Produktionsprozesses, zu denen das Füllvolumen jeweils genau $375$ Liter beträgt.

(6 BE)

Bestimme unter Verwendung der Abbildung 3 die ungefähre Füllhöhe, die $50$ Minuten nach Beginn des Produktionsprozesses vorliegt.

(4 BE)

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Aus dem Graphen der Funktion lässt sich der Wert für den leeren Behälter mit $M(0) \approx 100$ ablesen.

$\begin{array}[t]{rll} M(h)&=&2 \\[5pt] 100 \cdot \mathrm e^{-0,04 \cdot h}&=&2 &\quad \scriptsize \mid\; :100 \\[5pt] \mathrm e^{-0,04 \cdot h}&=& 0,02 &\quad \scriptsize \mid\; \ln(\;)\\[5pt] -0,04 \cdot h&=& \ln(0,02) &\quad \scriptsize \mid\;:(-0,04) \\[5pt] h&\approx & 97,5 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} M(h) \cdot k&=& M(h-25) &\quad \scriptsize \mid\;:M(h) \\[5pt] k&=& \dfrac{M(h-25)}{M(h)} \\[5pt] k&=& \dfrac{\mathrm e^{-0,04 \cdot (h-25)}}{\mathrm e^{-0,04 \cdot h}} \\[5pt] k&=& \dfrac{\mathrm e^{-0,04 \cdot h+1}}{\mathrm e^{-0,04 \cdot h}} \\[5pt] k&=& \mathrm e \end{array}$

Wegen $k= \mathrm e$ ist der Faktor $k$ unabhängig von der Ausgangsfüllhöhe.

Unter Anwendung des ersten Logarithmusgesetzes (Logarithmus eines Produktes) folgt:

Rechenweg anzeigen

$... \approx 4,61+0,04 \cdot h$

Die Form des Terms $4,61-0,04 \cdot h$ entspricht einer linearen Funkionsgleichung und somit verläuft der Graph von $h$ geradlinig.
Folglich kann die Steigung mit $-0,04$ abgelesen werden. Der Graph $h$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $(0 \mid 4,61).$

Durch Umformung ergibt sich:

$\pi \cdot (2500 -(50-x)^2)$ $= \pi \cdot 2500 -\pi \cdot 2500 + \pi \cdot 100 \cdot x - \pi \cdot x^2$ $=\pi \cdot 100 \cdot x - \pi \cdot x^2$

$\begin{array}[t]{rll} & &\displaystyle\int \pi \cdot 100 \cdot x - \pi \cdot x^2 \;\mathrm dx \\[5pt] &=& \pi \cdot \dfrac{100}{2}x^2- \dfrac{\pi}{3}\cdot x^3 \\[5pt] &=& \pi \cdot 50 \cdot x^2- \dfrac{\pi}{3}\cdot x^3 \end{array}$

Eine Stammfunktion wäre $I(x)= \pi \cdot 50 \cdot x^2- \dfrac{\pi}{3}\cdot x^3+1.$

Mit dem Satz des Pythagoras und aus der Skizze folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 50^2&=& (50-x)^2 +y^2 \\[5pt] 50^2-(50-x)^2&=& y^2 \end{array}$

Skizze

Mit dem Term $\pi \cdot (50^2-(50-x)^2) = \pi \cdot y^2$ wird im Sachzusammenhang der Flächeninhalt der Flüssigkeitsoberfläche bestimmt. Die Flüssigkeitsoberfläche innerhalb der Kugel entspricht einer Kreisfläche, wobei $y$ der Radius der Kreisfläche ist.

Der Umrechnungsfaktor in Liter entspricht dem Faktor $\dfrac{1}{1000},$ weshalb der Term $V(h)$ das Füllvolumen der Flüssigkeit im Behälter in Litern angibt.

An der Stelle $h=50$ ist die Steigung des Graphen der Funktion am größten. Hier ändert sich die Krümmung: Der Graph verläuft von einer Linkskurve in eine Rechtskurve. Deshalb handelt es sich an der Stelle $h=50$ um einen Links-Rechts-Wendepunkt.

Rechenweg anzeigen

$V(h) = ...$

Mit $h=50$ folgt: $V(50)=\dfrac{250}{3}\cdot \pi \approx 261,8.$

Es muss $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\cdot t \right) =-1$ gelten.
Der Graph der $\sin$ -Funktion verläuft periodisch und hat somit unendlich viele Tiefpunkte, die alle $-1$ als kleinsten Funktionswert annehmen.

Daraus folgt das minimale Füllvolumen mit:

$\begin{array}[t]{rll} & & 150 \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{12}\cdot t \right)+300 \\[5pt] &=& 150 \cdot (-1)+300 \\[5pt] &=&150 \, [\text{l}] \end{array}$

Rechenweg anzeigen

$\sin \left(\dfrac{\pi}{12} \cdot t \right)= 0,5$

Durch Gleichsetzen ergeben sich nicht alle Schnittstellen. Um alle Schnittstellen im Intervall $[0; 30]$ zu bestimmen, muss zuerst überlegt werden, an welchen Stellen $\sin(t_S)=0,5$ gilt (wegen $\sin \left(\dfrac{\pi}{12} \cdot t \right)=0,5).$
Dazu ist es hilfreich die Sinusfunktion $\sin(t)$ zu skizzieren und die entsprechenden Stellen abzulesen.

Graph der Sinusfunktion

Aus der Abbildung lassen sich die $t$ -Koordinaten der Schnittpunkte ablesen: $t_{S_1} = \dfrac{\pi}{2}\cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\cdot \pi,$ $t_{S_2}= \pi - \dfrac{1}{6}\cdot \pi = \dfrac{5}{6}\cdot \pi$ und $t_{S_3}= 2 \pi +\dfrac{1}{6}\cdot \pi= \dfrac{13}{6}\cdot \pi.$

Es gilt $\sin(t_S)=0,5$ und $\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\cdot t \right)=0,5.$ Daraus folgt $t_{S}= \dfrac{\pi}{12}\cdot t.$

Im Folgenden werden durch Gleichsetzen die $t$ -Werte berechnet:

$\begin{array}[t]{rll} t_{S_1}&=& \dfrac{\pi}{12}\cdot t \\[5pt] \dfrac{1}{6}\cdot \pi &=& \dfrac{\pi}{12}\cdot t &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{12}{\pi}\\[5pt] \pi&=& t_1 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} t_{S_2}&=& \dfrac{\pi}{12}\cdot t \\[5pt] \dfrac{5}{6}\cdot \pi &=& \dfrac{\pi}{12}\cdot t &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{12}{\pi}\\[5pt] 10 &=& t_2 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} t_{S_3}&=& \dfrac{\pi}{12}\cdot t \\[5pt] \dfrac{13}{6}\cdot \pi &=& \dfrac{\pi}{12}\cdot t&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{12}{\pi}\\[5pt] 26 &=& t_3 \end{array}$

Alternative Lösung für $t_3:$

Es gilt: $p= \dfrac{2 \cdot \pi}{\dfrac{\pi}{12}}=24$

Daraus folgt: $t_3=t_1+p=2+24=26$

Um zu zeigen, dass keine weitere Schnittstelle im Intervall $[0;30]$ existiert, wird die nächste Schnittstelle $t_{S_4}= 3\pi - \dfrac{1}{6}\cdot \pi = \dfrac{17}{6}\cdot \pi$ überprüft:

$\begin{array}[t]{rll} t_{S_4}&=& \dfrac{\pi}{12}\cdot t \\[5pt] \dfrac{17}{6}\cdot \pi &=&\dfrac{\pi}{12}\cdot t &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{12}{\pi}\\[5pt] 34 &=& t_4 \gt 30 \end{array}$

$t_1=2 \,\text{min},$ $t_2=10\,\text{min}$ und $t_3=26\,\text{min}$ entsprechen denjenigen Zeitpunkten in der ersten halben Stunde, zu denen das Füllvolumen jeweils genau 375 Liter beträgt.

Zunächst wird $t=50$ in $V(t)$ eingesetzt:

$V(50)= 150 \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{12} \cdot 50 \right)+300 =375$

Die Füllhöhe $h$ wird bestimmt, indem aus der Abbildung 3 das zu $V(h)=375$ gehörige $h$ abgelesen wird.

50 Minuten nach Beginn des Produktionsprozesses beträgt die Füllhöhe folglich $h\approx 65\,\text{cm}.$

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