Aufgabe 1

Gegeben ist die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: f mit $Formula: f(x)=5\cdot \mathrm e^{-\tfrac{3}{5}x}-5.$ $Formula: f(x)=5\cdot \mathrm e^{-\tfrac{3}{5}x}-5.$

Abbildung 1 zeigt den Graphen Formula: G_f von Formula: f.

Koordinatensystem mit einer fallenden Kurve G_f, die nahe dem Ursprung die x-Achse schneidet.

Abbildung 1

Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass Formula: G_f streng monoton fallend ist und durch den Koordinatenursprung verläuft. Gib den Grenzwert $Formula: \lim_{x\to+\infty}f(x)$ $Formula: \lim_{x\to+\infty}f(x)$ an.

4 BE

Durch $Formula: F(x)=-\tfrac{25}{3}\cdot \mathrm e^{-\tfrac{3}{5}x}-5x$ $Formula: F(x)=-\tfrac{25}{3}\cdot \mathrm e^{-\tfrac{3}{5}x}-5x$ ist ein Term einer Stammfunktion von gegeben.

Berechne den Wert des Integrals $Formula: \int_0^{\tfrac{5}{3}} f(x)\,\mathrm{d}x.$ $Formula: \int_0^{\tfrac{5}{3}} f(x)\,\mathrm{d}x.$

2 BE

Begründe, dass die folgende Aussage wahr ist, ohne einen Term einer Stammfunktion von Formula: f zu verwenden:

Es gibt genau eine reelle Zahl Formula: k mit $Formula: k\gt 0,$ $Formula: k\gt 0,$ die Lösung der Gleichung $Formula: \int_{-1}^0 f(x)\,\mathrm{d}x=-\int_0^k f(x)\,\mathrm{d}x$ $Formula: \int_{-1}^0 f(x)\,\mathrm{d}x=-\int_0^k f(x)\,\mathrm{d}x$ ist.

4 BE

Nachfolgend sind die wesentlichen Schritte eines Lösungswegs zu einer Aufgabe im Zusammenhang mit der Funktion Formula: f dargestellt. Gib eine passende Aufgabenstellung an.

$Formula: V_1=\pi\cdot\displaystyle\int_0^4(f(x))^2\,\mathrm{d}x\approx 141{,}02$ $Formula: V_1=\pi\cdot\displaystyle\int_0^4(f(x))^2\,\mathrm{d}x\approx 141{,}02$
$Formula: V_2=\pi\cdot(f(4))^2\cdot 4\approx 259{,}74$ $Formula: V_2=\pi\cdot(f(4))^2\cdot 4\approx 259{,}74$
$Formula: \dfrac{V_1}{V_2}\approx 0{,}54,$ $Formula: \dfrac{V_1}{V_2}\approx 0{,}54,$ der gesuchte Anteil beträgt somit etwa $Formula: 54\,\%.$ $Formula: 54\,\%.$

3 BE

Die Umkehrfunktion von Formula: f wird mit Formula: g bezeichnet.

Abbildung 2 zeigt die Graphen von Formula: f und Formula: g.

Koordinatensystem mit zwei fallenden Graphen, die sich im Ursprung schneiden.

Abbildung 2

Gib den Definitionsbereich von Formula: g an und zeige, dass $Formula: g(x)=-\tfrac{5}{3}\cdot\ln\left(\tfrac{1}{5}x+1\right)$ $Formula: g(x)=-\tfrac{5}{3}\cdot\ln\left(\tfrac{1}{5}x+1\right)$ gilt.

4 BE

Eine der Tangenten an Formula: G_f hat die Steigung Formula: -1. Diese Tangente wird mit Formula: t bezeichnet; berührt im Punkt $Formula: Q(x_Q\mid f(x_Q)).$ $Formula: Q(x_Q\mid f(x_Q)).$

Berechne die Koordinaten von Formula: Q.

(zur Kontrolle: $Formula: x_Q=\tfrac{5}{3}\cdot\ln 3$ $Formula: x_Q=\tfrac{5}{3}\cdot\ln 3$ )

4 BE

Begründe ohne zu rechnen, dass die Tangente Formula: t auch den Graphen von Formula: g berührt und zwar im Punkt $Formula: P(f(x_Q)\mid x_Q).$ $Formula: P(f(x_Q)\mid x_Q).$

3 BE

Zeichne das Viereck Formula: PQRS mit $Formula: R(x_Q\mid g(x_Q))$ $Formula: R(x_Q\mid g(x_Q))$ und $Formula: S(g(x_Q)\mid x_Q)$ $Formula: S(g(x_Q)\mid x_Q)$ in Abbildung 2 ein. Begründe, dass der Flächeninhalt des Vierecks durch den folgenden Term angegeben wird:

$Formula: \dfrac{\left|\overline{PQ}\right|+\left|\overline{RS}\right|}{2}\cdot\dfrac{\left|\overline{PQ}\right|-\left|\overline{RS}\right|}{2}$ $Formula: \dfrac{\left|\overline{PQ}\right|+\left|\overline{RS}\right|}{2}\cdot\dfrac{\left|\overline{PQ}\right|-\left|\overline{RS}\right|}{2}$

6 BE

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Da Formula: G_f gegenüber dem streng monoton fallenden Graphen der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion $Formula: x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$ $Formula: x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$ gestreckt und verschoben ist, ist streng monoton fallend. Einsetzen von Formula: x=0 in die Funktionsgleichung liefert:

$Formula: f(0)=5 \cdot \mathrm e^{-\tfrac{3}{5}\cdot0}-5=0$ $Formula: f(0)=5 \cdot \mathrm e^{-\tfrac{3}{5}\cdot0}-5=0$

Somit verläuft der Graph durch den Koordinatenursprung. Für den gesuchten Grenzwert gilt:

$Formula: \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-5$ $Formula: \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-5$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_0^{\tfrac{5}{3}} f(x) \;\mathrm{d}x & = & F\left(\dfrac{5}{3}\right)-F(0) \\[5pt] & = & -\dfrac{25}{3} \cdot \mathrm e^{-\tfrac{3}{5}\cdot\tfrac{5}{3}}-5\cdot\dfrac{5}{3}-\left(-\dfrac{25}{3}\right) \\[5pt] & = & -\dfrac{25}{3} \cdot \mathrm e^{-1} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_0^{\tfrac{5}{3}} f(x) \;\mathrm{d}x & = & F\left(\dfrac{5}{3}\right)-F(0) \\[5pt] & = & -\dfrac{25}{3} \cdot \mathrm e^{-\tfrac{3}{5}\cdot\tfrac{5}{3}}-5\cdot\dfrac{5}{3}-\left(-\dfrac{25}{3}\right) \\[5pt] & = & -\dfrac{25}{3} \cdot \mathrm e^{-1} \end{array}$

Koordinatensystem mit fallendem Funktionsgraphen und markierten Flächenintegralen über den Intervallen −1 bis 0 und 0 bis k.

Formula: -A_k wächst mit zunehmendem Wert von Formula: k. Da zudem Formula: -A_1<A und Formula: -A_2>A gilt, ist die Aussage wahr.

Betrachtet wird der Körper, der bei Rotation des Graphen von Formula: f um die Formula: x -Achse im Bereich $Formula: 0 \leq x \leq 4$ $Formula: 0 \leq x \leq 4$ entsteht. Berechne den Anteil des Volumens dieses Körpers an dem eines Zylinders mit dem Radius Formula: |f(4)| und der Höhe Formula: 4.

Definitionsbereich angeben

$Formula: D=\,]-5;+\infty[$ $Formula: D=\,]-5;+\infty[$

Funktionsgleichung zeigen

Auflösen der Funktionsgleichung von Formula: f nach Formula: x ergibt:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&5 \cdot \mathrm e^{-\tfrac{3}{5} x}-5 &\quad\scriptsize\mid\; +5 \\[5pt] y+5&=&5\cdot\mathrm e^{-\tfrac{3}{5} x} &\quad\scriptsize\mid\;:5 \\[5pt] \dfrac{y+5}{5}&=&\mathrm e^{-\tfrac{3}{5} x} &\quad\scriptsize\mid\;\ln \\[5pt] \ln\left(\dfrac{y+5}{5}\right)&=&-\dfrac{3}{5} x &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\left(-\tfrac{5}{3}\right) \\[5pt] -\dfrac{5}{3} \cdot \ln \left(\dfrac{y+5}{5}\right)&=&x \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&5 \cdot \mathrm e^{-\tfrac{3}{5} x}-5 &\quad\scriptsize\mid\; +5 \\[5pt] y+5&=&5\cdot\mathrm e^{-\tfrac{3}{5} x} &\quad\scriptsize\mid\;:5 \\[5pt] \dfrac{y+5}{5}&=&\mathrm e^{-\tfrac{3}{5} x} &\quad\scriptsize\mid\;\ln \\[5pt] \ln\left(\dfrac{y+5}{5}\right)&=&-\dfrac{3}{5} x &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\left(-\tfrac{5}{3}\right) \\[5pt] -\dfrac{5}{3} \cdot \ln \left(\dfrac{y+5}{5}\right)&=&x \end{array}$

Somit gilt $Formula: g(x)=-\tfrac{5}{3} \cdot \ln \left(\tfrac{x+5}{5}\right).$ $Formula: g(x)=-\tfrac{5}{3} \cdot \ln \left(\tfrac{x+5}{5}\right).$

Für die erste Ableitung von Formula: f folgt:

$Formula: f'(x)=-3\mathrm e^{-\tfrac{3}{5} x}$ $Formula: f'(x)=-3\mathrm e^{-\tfrac{3}{5} x}$

Für die gesuchte Stelle ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} f'(x)&=&-1 \\[5pt] -3\mathrm e^{-\tfrac{3}{5} x}&=&-1 &\quad\scriptsize\mid\;:(-3) \\[5pt] \mathrm e^{-\tfrac{3}{5} x}&=&\dfrac{1}{3} &\quad\scriptsize\mid\;\ln \\[5pt] -\dfrac{3}{5} x&=&\ln\left(\dfrac{1}{3}\right) &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\left(-\tfrac{5}{3}\right) \\[5pt] x&=&\ln\left(\dfrac{1}{3}\right)\cdot\left(-\dfrac{5}{3}\right) \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f'(x)&=&-1 \\[5pt] -3\mathrm e^{-\tfrac{3}{5} x}&=&-1 &\quad\scriptsize\mid\;:(-3) \\[5pt] \mathrm e^{-\tfrac{3}{5} x}&=&\dfrac{1}{3} &\quad\scriptsize\mid\;\ln \\[5pt] -\dfrac{3}{5} x&=&\ln\left(\dfrac{1}{3}\right) &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\left(-\tfrac{5}{3}\right) \\[5pt] x&=&\ln\left(\dfrac{1}{3}\right)\cdot\left(-\dfrac{5}{3}\right) \end{array}$

Mit $Formula: x_Q=\ln\left(\tfrac{1}{3}\right)\cdot\left(-\tfrac{5}{3}\right)$ $Formula: x_Q=\ln\left(\tfrac{1}{3}\right)\cdot\left(-\tfrac{5}{3}\right)$ $Formula: =\ln(3)\cdot\tfrac{5}{3}$ $Formula: =\ln(3)\cdot\tfrac{5}{3}$ folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} f\left(\ln(3)\cdot\dfrac{5}{3}\right)&=&5 \cdot \mathrm e^{-\tfrac{3}{5}\cdot\ln(3)\cdot\tfrac{5}{3}}-5 \\[5pt] &=&10 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f\left(\ln(3)\cdot\dfrac{5}{3}\right)&=&5 \cdot \mathrm e^{-\tfrac{3}{5}\cdot\ln(3)\cdot\tfrac{5}{3}}-5 \\[5pt] &=&10 \end{array}$

Die gesuchten Koordinaten sind somit durch $Formula: Q\left(\ln(3)\cdot\tfrac{5}{3}\mid10\right)$ $Formula: Q\left(\ln(3)\cdot\tfrac{5}{3}\mid10\right)$ gegeben.

Formula: t hat die Steigung Formula: -1 und ist daher symmetrisch bezüglich der Gerade mit der Gleichung Formula: y=x. Da der Graph von Formula: g aus Formula: G_f durch Spiegelung an dieser Gerade erzeugt werden kann, berührt auch den Graphen von Formula: g, und zwar in dem Punkt, der sich aus der Spiegelung von Formula: Q ergibt.

Viereck einzeichnen

Koordinatensystem mit zwei Kurven und den markierten Punkten P, Q, R, S und T.

Flächeninhalt begründen

Das Viereck ist aufgrund seiner Symmetrie bezüglich der Gerade mit der Gleichung Formula: y=x ein Trapez. Damit beträgt der Flächeninhalt $Formula: \tfrac{|\overline{PQ}|+|\overline{RS}|}{2}\cdot h,$ $Formula: \tfrac{|\overline{PQ}|+|\overline{RS}|}{2}\cdot h,$ wobei Formula: h der Abstand der parallelen Seiten ist.

Aufgrund der genannten Symmetrie und der Tatsache, dass Formula: S die gleiche Formula: y -Koordinate wie Formula: P hat, gilt $Formula: \sphericalangle QPS=45^{\circ}.$ $Formula: \sphericalangle QPS=45^{\circ}.$ Damit ist das Dreieck Formula: SPT gleichschenklig und es gilt $Formula: h=\tfrac{|\overline{PQ}|-|\overline{RS}|}{2}.$ $Formula: h=\tfrac{|\overline{PQ}|-|\overline{RS}|}{2}.$

Somit ist der Flächeninhalt durch den Term aus der Aufgabenstellung gegeben.

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