Abi 2023 Analysis (zentral)

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=2 \cdot(1-x) \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2} \cdot(x-1)^2}$ und $x \in \mathbb{R}.$
Der Graph $G_f$ der Funktion $f$ ist punktsymmetrisch zum Wendepunkt $W_1(1 \mid 0).$
Die Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f.$

Abb.1

Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass $f$ genau eine Nullstelle hat.

(2 BE)

Zeige, dass die Funktion $F$ mit $F(x)=2 \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2} \cdot(x-1)^2}$ eine Stammfunktion der Funktion $f$ ist.

(3 BE)

Bestimme $b\gt 1$ so, dass $\displaystyle\int_1^b f(x)\; \mathrm d x=-1.$

(5 BE)

Neben $W_1(1 \mid 0)$ und $W_2(1+\sqrt{3} \mid f(1+\sqrt{3}))$ besitzt der Graph $G_f$ genau einen weiteren Wendepunkt $W_3.$
Skizziere die drei Wendepunkte in die Abbildung 1.
Begründe mithilfe der Abbildung 1, dass $W_3$ die $x$ -Koordinate $1-\sqrt{3}$ besitzt.

(4 BE)

Es gilt $\(f$
Die Steigung des Graphen $G_f$ im Wendepunkt $W_3$ beträgt ungefähr $0,89 .$
Ermittle jeweils die Steigung von $G_f$ in $W_1$ und $W_2.$

(2 BE)

Begründe mithilfe der Abbildung 1, dass die Funktionswerte der Ableitungsfunktion $\(f$ im Wertebereich $\(\left[f$ liegen.

(5 BE)

Skizziere in der Abbildung 1 unter Berücksichtigung von Teilaufgabe 1f) den Graphen der Ableitungsfunktion $\(f$

(3 BE)

Wird der Graph $G_f$ an der $x$ -Achse gespiegelt und anschließend so verschoben, dass der Wendepunkt $W_1$ im Ursprung liegt, so entsteht der Graph $G_g$ einer Funktion $g.$
Gib einen Funktionsterm von $g$ an, der nur die Variable $x$ enthält.

(2 BE)

Gegeben ist die Funktionenschar $h_{a; b}$ mit $h_{a ; b}(t)=a \cdot t \cdot \mathrm e^{b \cdot t^2}$ mit $a, b \in \mathbb{R} \text { und } t \in \mathbb{R} .$

Die Abbildung 2 zeigt einen Graphen der Funktionenschar $h_{a ; b} .$

Abb. 2

Gib das Vorzeichen des Parameters $a$ und das Vorzeichen des Parameters $b$ an.

(2 BE)

Nach der Einnahme eines Medikaments um 6.00 Uhr kann die Konzentration des Wirkstoffes im Blut durch eine der Funktionen $h_{a ; b}$ beschrieben werden. Dabei ist $t$ die Zeit in Stunden nach der Einnahme und $h_{a ; b}(t)$ ist die Konzentration des Wirkstoffes im Blut in Milligramm pro Liter. Es gilt $t \geq 0.$

Die maximale Konzentration des Wirkstoffes von $4 \frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}}$ wird zwei Stunden nach der Einnahme erreicht. Bestimme die entsprechenden Werte der Parameter $a$ und $b.$
Nutze dazu, dass gilt: $\(h_{a ; b}{ }$

(6 BE)

Die Funktion $k$ ist eine Funktion der Funktionenschar $h_{a ; b}$ und beschreibt in einem konkreten Fall die Konzentration des Wirkstoffes von 6.00 Uhr bis 9.30 Uhr.

$k(t)=h_{3,3 ;-0,125}(t)=3,3 \cdot t \cdot \mathrm e^{-0,125 \cdot t^2}$ und $0 \leq t \leq 3,5$

Es kann angenommen werden, dass danach der Wirkstoff linear mit derselben Änderungsrate wie zum Zeitpunkt 9.30 Uhr abgebaut wird.
Ermittle rechnerisch eine Gleichung einer Funktion $s$ , die diesen linearen Abbau beschreibt.
Berechnne den Zeitpunkt, zu dem das Medikament vollständig abgebaut ist.

(6 BE)

Weiter lernen mit SchulLV Plus!

monatlich kündbarSchulLV Plus-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] 2\cdot(1-x)\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{2}\cdot(x-1)^2}&=&0 \end{array}$

Da $2\neq0$ und $\mathrm e ^{-\frac{1}{2}\cdot(x-1)^2}\neq0$ ist, ist die Gleichung nach dem Satz vom Nullprodukt nur erfüllt, wenn $1-x=0$ ist. Das ist nur dann der Fall, wenn $x=1$ ist. Somit hat $f$ genau eine Nullstelle.

Kettenregel anwenden:

$\(F$ $=2\cdot(1-x)\cdot \mathrm e ^{-\frac{1}{2}\cdot(x-1)^2}$ $=f(x)$

Die Funktion $F$ ist eine Stammfunktion der Funktion $f$ , da $\(F$ ist.

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{1}^{b}f(x)\;\mathrm dx&=&\left[2\cdot \mathrm e ^{-\frac{1}{2}\cdot(x-1)^2}\right]_1 ^b &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& F(b)-F(1)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&2\cdot \mathrm e ^{-\frac{1}{2}\cdot(b-1)^2}-2 &\quad \scriptsize \end{array}$

Da $\displaystyle\int_1^b f(x)\; \mathrm d x=-1$ gelten soll, folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot \mathrm e ^{-\frac{1}{2}\cdot(b-1)^2}-2&=& -1&\quad \scriptsize \mid\;+2 \\[5pt] 2\cdot \mathrm e ^{-\frac{1}{2}\cdot(b-1)^2}&=&1 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] \mathrm e ^{-\frac{1}{2}\cdot(b-1)^2}&=&\dfrac{1}{2} &\quad \scriptsize \mid\;\ln() \\[5pt] -\dfrac{1}{2}\cdot(b-1)^2&=&\ln\left(\dfrac{1}{2}\right) &\quad \scriptsize \mid\;\cdot(-2) \\[5pt] (b-1)^2&=&-2\cdot \ln\left(\dfrac{1}{2}\right) &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\quad} \\[5pt] \end{array}$

1. Fall:

$\begin{array}[t]{rll} b-1&=&\sqrt{-2\cdot \ln\left(\dfrac{1}{2}\right)} \quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] b&=&\sqrt{-2\cdot \ln\left(\dfrac{1}{2}\right)}+1 \quad \scriptsize \\[5pt] b&\approx& 2,18 \end{array}$

2. Fall:

$\begin{array}[t]{rll} b-1&=&-\sqrt{-2\cdot \ln\left(\dfrac{1}{2}\right)} \quad \scriptsize \mid\;+1 \\[5pt] b&=&-\sqrt{-2\cdot \ln\left(\dfrac{1}{2}\right)}+1 \quad \scriptsize \\[5pt] b&\approx&-0,18. \end{array}$

Da $b\gt1$ sein soll, folgt: $b\approx 2,18.$

Abbildung Exponentialfunktion, Punkte eingezeichnet

$W_3$ besitzt die $x$ -Koordinate $1-\sqrt{3}$ , da der Graph der Funktion $f$ punktsymmetrisch bezüglich des Punktes $W_1(1\mid0)$ ist. Somit müssen die $x$ -Werte der beiden Wendepunkte $W_2$ und $W_3$ den gleichen Abstand zum $x$ -Wert des Wendepunktes $W_1$ haben.

Die Steigung von $G_f$ in $W_1$ ermitteln
$\(f$ $=-2\cdot\mathrm e^0=-2\cdot1=-2$

Daraus folgt: Die Steigung von $G_f$ in $W_1$ beträgt $-2.$

Die Steigung von $G_f$ in $W_2$ ermitteln

Die Steigung von $G_f$ in $W_2$ beträgt aufgrund der Punktsymmetrie auch ungefähr $0,89.$

Anhand der Abbildung 1 ist erkennbar, dass an der Wendestelle $x=1$ die Steigung am geringsten und an den Wendestellen $x=1+\sqrt{3}$ und $x=1-\sqrt{3}$ die Steigung am größten ist. Die Funktionswerte der Ableitungsfunktion geben immer die Steigung an den jeweiligen Stellen an. Somit müssen die Funktionswerte der Ableitungsfunktion im Wertebereich $\(\left[f$ liegen.

Abbildung Exponentialfunktion, Punkte eingezeichnet und Ableitung eingezeichnet

Damit der Wendepunkt $W_1$ im Ursprung liegt, muss der gespiegelte Graph noch um $-1$ Einheiten in $x$ -Richtung verschoben werden.
Daraus folgt: $g(x)=-2\cdot(1-(x+1)) \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2} \cdot((x+1)-1)^2}$ $=-2\cdot x\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}x^2}$

Die Funktionenschar setzt sich aus einerem linearen Term und einem exponentiellen Term zusammen. Es gilt $\lim\limits_{t\to\infty}a \cdot t \cdot \mathrm e^{b \cdot t^2}=0$ und $\lim\limits_{t\to -\infty}a \cdot t \cdot \mathrm e^{b \cdot t^2}=0$ , da der lineare Term langsamer gegen (minus) unendlich strebt als die Exponentialfunktion gegen Null. Somit muss $b$ negativ sein und $a$ positiv.

Aus der Aufgabenstellung resultieren folgende Bedingungen:

$\(\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&h_{a;b}(2)&=& 4 &\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&h_{a;b}{}$

$t=2$ einsetzten:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&a\cdot2\cdot\mathrm e^{b\cdot2^2}&=& 4 &\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&a\cdot(1+2\cdot b\cdot2^2)\cdot\mathrm e^{b\cdot2^2}&=& 0&\quad \\ \end{array}$

Erste Gleichung nach $a$ auflösen:

$\begin{array}{lrll} &a\cdot2\cdot\mathrm e^{b\cdot2^2}&=& 4 &\quad \scriptsize\mid\;:2\cdot \mathrm e^{b\cdot2^2}\\ \quad&a&=&\dfrac{4}{2\cdot \mathrm e^{b\cdot2^2}} &\quad \\ \quad&a&=&\dfrac{2}{\mathrm e ^{4b}} &\quad \\ \end{array}$

$a=\dfrac{2}{\mathrm e^{4b}}$ in die zweite Gleichung einsetzten und nach $b$ auflösen:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2}{\mathrm e^{4b}}\cdot(1+2\cdot b\cdot2^2)\cdot \mathrm e ^{4b}&=& 0&\quad \scriptsize \\[5pt] 2\cdot(1+2\cdot b\cdot2^2)&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] 2\cdot(1+8b)&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] 2+16b&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] 16b&=& -2&\quad \scriptsize \mid\;:16 \\[5pt] b&=&-\dfrac{1}{8} \end{array}$

Daraus folgt: $a=\dfrac{2}{\mathrm e^{-\frac{1}{2}}}$ $\approx3,30.$

Gleichung der Funktion $s$ aufstellen

Der Punkt $P(3,5\mid k(3,5))$ liegt auf dem Graphen der Funktion $s.$ Die Steigung folgt mit $\(k$

Um den Funktionsterm der Funktion $s$ aufzustellen, wird die allgemeine Tangentengleichung verwendet.

$\(s(t)=k$

Für $u=3,5$ folgt: $\(s(t)=k$ )

Werte berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} k(3,5)&=&3,3\cdot3,5\cdot\mathrm e^{-0,125\cdot3,5^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 2,498 \end{array}$

Rechenweg anzeigen

$\( k$

Werte einsetzten:

$\begin{array}[t]{rll} s(t)&=&-1,47\cdot(t-3,5)+2,498 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&-1,47t +5,145+2,498 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& -1,47t+7,643&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Schnittstelle von $s$ mit der $t$ -Achse berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} s(t)&=& 0&\quad \scriptsize \\[5pt] -1,47+7,643&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;-7,643 \\[5pt] -1,47t&=& -7,643&\quad \scriptsize \mid\;:(-1,47) \\[5pt] t&\approx&5,20 \end{array}$

Daraus folgt: Zum Zeitpunkt $t=5,20$ ist das Medikament vollständig abgebaut. Das entspricht $6\;\text{h}+5,2\;\text{h}=11,2\;\text{h}=11\;\text{h}\;12\;\text{min},$ also 11.12 Uhr.

Weiter lernen mit SchulLV Plus!

monatlich kündbarSchulLV Plus-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?