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Aufgaben
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Aufgabe P 1:

(4P)
#dreieck

Aufgabe P 2:

Im rechtwinkligen Trapez $ABCD$ sind gegeben:
(4,5P)
#rechterwinkel#trapez

Aufgabe P 3:

(4P)
#zylinder#kegel

Aufgabe P 4:

Bei einer Umfrage wurden Frauen und Männer getrennt befragt.
„Wie viele Euro haben Sie für Ihr zuletzt gekauftes Paar Schuhe bezahlt?“
Preise der Frauenschuhe in Euro (gerundet):
3030506070809090100120140150160180200
Vervollständige den zugehörigen Boxplot.
Zum Boxplot der Preise der Männerschuhe gehört die unvollständig ausgefüllte Rangliste. Ergänze passende Werte.
Preise der Männerschuhe in Euro (gerundet):
Rang12345678910111213
Preis305050120140

(4P)
#boxplot

Aufgabe P 5:

Gebe die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der Gleichung an:
$\hspace{.5cm}\dfrac{x+3}{x}$$=\dfrac{9}{x²-3x}-\dfrac{3}{x-3}$
(3,5P)
#definitionsbereich#lösungsmenge#bruchgleichung

Aufgabe P 6:

Die Parabel $p$ hat die Gleichung $y = x² - 6x + 10,5$.
Eine Gerade $g$ mit der Steigung $m = 2$ geht durch den Scheitelpunkt der Parabel $p$.
Berechne die Koordianten des zweiten Schnittpunkts $Q$ der Parabel $p$ und der Geraden $g$.
(3,5P)
#scheitelpunkt#geradengleichung#parabel

Aufgabe P 7:

Hannah legt Buchstabenkärtchen.
Auf dem Tisch liegen bereits folgende vier Buchstabenkärtchen.
Daraus zieht Hannah zwei Buchstabenkärtchen gleichzeitig.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit den beiden gezogenen Buchstaben
(3,5P)
#baumdiagramm#wahrscheinlichkeit

Aufgabe P 8:

In der abgebildeten Weltkarte sind die Bevölkerungszahlen der Kontinente für das Jahr 2014 und die voraussichtlichen Werte für das Jahr 2050 dargestellt.
Um wie viel Prozent wird die Bevölkerungszahl von Europa im Zeitraum von 2014 bis 2050 voraussichtlich sinken?
In Afrika steigt die Bevölkerungszahl.
In den drei Jahren von 2014 bis 2017 nimmt sie jährlich durchschnittlich um 2,5 % zu.
Wie hoch ist die zu erwartende Bevölkerungszahl in Afrika im Jahr 2017?
Eine Zeitungsmeldung lautet: „Im Jahr 2050 ist etwa jeder vierte Mensch ein Afrikaner.“
Stimmt die Aussage? Begründe deine Antwort.
(3P)
#prozentrechnen
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Tipps
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Aufgabe P 1:

Zeichne dir zunächst ein, welche Werte und Angaben du bereits schon weißt und, welche dir noch fehlen.
$\blacktriangleright$ Länge $\overline{CD}$ berechnen
Zum Berechnen der Strecke $\overline{CD}$ musst du zunächst die Längen der Strecken $\overline{CE}$ und $\overline{DE}$ ausrechnen. Mit der Subtraktion $\overline{DE}$ von $\overline{CE}$ erhältst du dann $\overline{CD}$. Bei beiden Rechnungen kommt dir zugute, dass beide Dreiecke $BCE$ und $ACE$ jeweils einen rechten Winkel haben. Du kannst die trigonometrischen Formeln hierfür verwenden.
Du kannst zum Beispiel wie folgt vorgehen:
1. Berechne die Länge der Strecke $\overline{CE}$ mit dem Sinus, indem du das Dreieck ${BCE}$ betrachtest
2. Berechne die Größe des Winkels $\alpha_1$ über die Winkelsumme des Dreiecks ${AED}$
3. Berechne mit Hilfe von $\alpha_1$ und dem Sinus die Länge der Strecke $\overline{DE}$
4. Berechne die Länge der Strecke $\overline{CD}$ über die Differenz von $\overline{CE}$ und $\overline{DE}$
1. Schritt: Längenberechnung $\overline{CE}$
2. Schritt: Winkelberechnung $\boldsymbol{\alpha_1}$
Zunächst musst du den Winkel $\alpha_1$ innerhalb des Dreiecks $\text{ADE}$ berechnen. Die Winkelsumme ist in einem Dreieck immer $180°$.
3. Schritt: Streckenlänge $\overline{DE}$ berechnen
Die Streckenlänge kannst du mit Hilfe des Winkels $\alpha_1$ berechnen.
4. Schritt: Längenberechnung $\overline{CD}$
Abb. 1: Stecke $\overline{CD}$
Abb. 1: Stecke $\overline{CD}$
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{ADC}$ berechnen
Für die allgemeine Flächenberechnung eines Dreiecks benötigst du die allgemeine Dreiecks-Flächeninhaltsformel:
Flächeninhalt Dreieck
$\text{A}\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,\text{g}\,\cdot\,\text{h}$
Flächeninhalt Dreieck
$\text{A}\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,\text{g}\,\cdot\,\text{h}$
Dabei steht die Höhe $\text{h}$ orthogonal zu der „Grundseite“ $\text{g}$.
Abb. 2: Übersicht aller bekannten und unbekannten Werte
Abb. 2: Übersicht aller bekannten und unbekannten Werte
Du kannst zum Beispiel wie folgt vorgehen:
1. Längenberechnung der Grundseite $\overline{AC}$ des Dreieck
    1.1 Berechne die Länge der Strecke $\overline{AE}$ mit dem Kosinus, indem du das Dreieck ${ADE}$ betrachtest
    1.2 Berechne die Größe des Winkels $\alpha_{1+2}$ über die Umkehrung des Tangens des Dreiecks ${ACE}$
    1.3 Berechne mit Hilfe vom Kosinus und dem Winkel $\alpha_{1+2}$ die Länge der Strecke $\overline{AC}$, indem du das Dreieck $\text{ACE}$ betrachtest
2. Höhenberechnung des Dreiecks ${ACD}$
    2.1 Berechne den Winkel $\alpha_2$ mit Hilfe der Winkelsumme
    2.2 Berechne die Strecke $\overline{DF}$ über den Sinus, indem du dir das Dreieck $ADF$ anschaust
3. Schließlich kannst du mit den Streckenlängen $\overline{AC}$ und $\overline{DF}$ den Flächeninhalt des Dreiecks $ADC$ berechnen
1. Schritt: Längenberechnung $\text{g} \,=\,\overline{AC}$
Du benötigst zunächst die Streckenlänge $\overline{AE}$ und den Winkel $ \alpha_{1+2}$, damit du die Streckenlänge $\overline{AC}$ ausrechnen kannst:
    1.1 Schritt: Strecke $\overline{AE}$ berechnen
    1.2 Schritt: Winkelgröße $\alpha_{1+2}$ berechnen
    1.3 Schritt: Streckenlänge $\overline{AC}$ berechnen
2. Schritt: Höhenberechnung $\text{h}$ = $\overline{DF}$
Die Streckenlänge $\overline{DF}$ berechnest du, indem du zunächst den Winkel $\alpha_2$ berechnest. Hier kommt dir die Winkelsumme zur Hilfe, indem du schon $\alpha_{1+2}$ kennst. Nachdem du den Winkel $\alpha_2$ berechnet hast, kannst du mit diesem Winkel und der Streckenlänge $\overline{AD}$ über den Kosinus die fehlende Streckenlänge $\overline{DF}$ berechnen.
    2.1 Schritt: Winkel $\boldsymbol{\alpha_2}$ berechnen
    2.2 Schritt: Streckenlänge $\overline{DF}$ berechnen
Abb. 3: Dreieck $ACD$
Abb. 3: Dreieck $ACD$

Aufgabe P 2:

$\blacktriangleright$ Umfang berechnen
Du sollst den Umfang des Dreiecks $ACD$ berechnen. Dafür musst du die Längen der Strecken $\overline{AC}$, $\overline{AD}$ und $\overline{CD}$ zusammenaddieren. Zeichne dir zunächst wieder ein, welche Strecken und Winkel du bereits schon kennst und, welche noch fehlen.
Abb. 4: Dreieck $\text{ACD}$
Abb. 4: Dreieck $\text{ACD}$
Zum Lösen der Aufgabe kannst du beispielsweise wie folgt vorgehen:
1. Ermittle die Länge der Strecke $\overline{AC}$.
    1.1 Berechne den Winkel $\beta_1$ durch den Sinus, indem du dir dafür das Dreieck $ABE$ anschaust.
    1.2 Als nächstes kannst du dann die Strecke $\overline{AB}$ mit dem Kosinus berechnen. Betrachte dafür das Dreieck $\text{ABE}$.
    1.3 Damit kannst du auch die Länge der Strecke von $\overline{BC}$ mit dem Kosinus berechnen. Betrachte dafür das Dreieck $ABE$.
    1.4 Anschließend berechnest du die Länge der Strecke von $\overline{AF}$ mit dem Sinus und schaust dir dafür das Dreieck $ABF$ an.
    1.5 Durch die Umkehrung des Kosinus kannst du nun den Winkel $\alpha_1$ berechnen. Hierzu betrachtest du das Dreieck $AEF$.
    1.6 Mit dem Winkel $\alpha_1$ kannst du nun durch Subtraktion von Winkel $\alpha_{1+2}$ $\alpha_2$ ausrechnen.
    1.7 Als nächstes kannst du die Länge der Strecke $\overline{BF}$ berechnen. Betrachte hierzu das Dreieck $ABF$ und verwende den Sinus.
    1.8 Nun kannst du auch den Winkel $\beta_2$ berechnen. Dazu betrachte das Dreieck $BCF$ und verwende den Sinus.
    1.9 Berechne die Länge der Strecke $\overline{CF}$, indem du den zuvor berechneten Winkel $\beta_2$ mit dem Sinus innerhalb des Dreiecks $BCF$ anwendest.
    1.10 Schließlich kannst du die Länge der Strecke $\overline{AC}$ berechnen, indem du die Strecken $\overline{AF}$ und $\overline{CF}$ zusammenaddierst.
2. Ermittle die Länge der Strecke $\overline{AD}$, indem du das Dreieck $ACD$ mit dem Kosinus betrachtest.
3. Die Länge der Strecke $\overline{CD}$ ermittelst du schließlich, indem du den Sinus anwendest. Betrachte hierzu erneut das Dreieck $ACD$.
4. Du kannst schließlich den Umfang des Dreiecks $ACD$ berechnen, indem du alle $3$ bekannten Längen der Strecken $\overline{AC}$, $\overline{AD}$ und $\overline{CD}$ zusammenrechnest.
1. Schritt: $\overline{AC}$ ermitteln
    1.1 Schritt: Winkel $\boldsymbol{\beta_1}$ berechnen
    Du benötigst hierfür die Streckenlängen von $\overline{AE}$ und $\overline{BE}$.
    1.2 Schritt: Strecke $\overline{AB}$ berechnen
    1.3 Schritt: Strecke von $\overline{BC}$
    Damit kennst du auch die Länge der Strecke von $\overline{BC}$: $\,\\overline{AB}\, =\,\overline{BC}\, $
    1.4 Schritt: Strecke $\overline{AF}$ berechnen
    1.5 Schritt: Winkel $\alpha_1$ berechen
    1.6 Schritt: Winkel $\alpha_2$ ermitteln
    Mit dem Winkel $\alpha_1$ kannst du nun den Winkel $\alpha_2$ und damit anschließend die Streckenlänge $\overline{BF}$ berechnen.
    1.7 Schritt: Länge der Strecke $\overline{BF}$ berechnen
    1.8 Schritt: Winkel $\beta_2$ berechnen:
    Als nächstes berechnest du den Winkel $\beta_2$, um anschließend die Länge der Strecke $\overline{CF}$ berechnen zu können.
    1.9 Schritt: Die Länge der Strecke $\overline{CF}$ berechnen
    1.10 Schritt: Die Länge der Strecke $\overline{AC}$ berechnen
2. Schritt: $\overline{AD}$ ermitteln
3. Schritt: $\overline{CD}$ ermitteln
4. Schritt: Dreiecks-Umfang berechnen

Aufgabe P 3:

$\blacktriangleright$ Volumendifferenz von Kegel und Zylinder berechnen
Für die Berechnung der Volumina beider Objekte benötigst du zunächst den Radius des Kegels. Danach berechnest du mit dem Radius die Höhe des Kegels, um damit dann das Volumen vom Kegel ausrechnen zu können. Für den Volumeninhalt des Zylinders, musst du als nächstes mit Hilfe der Mantelflächenformel die Höhe ausrechnen. Schließlich kannst du dann damit auch das Volumen des Zylinders ausrechnen.
Zylinder
Mantel: $\text{M}_{\text{Zylinder}} = \text{u} +\text{h} = 2\cdot\pi\cdot \text{r} \cdot \text{h}_{\text{Zylinder}} $
Volumen: $\text{V}_{\text{Zylinder}} = \text{g}\,\cdot\,\text{h}_{\text{Zylinder}} = \pi\cdot \text{r}²\,\cdot\,\text{h}_{\text{Zylinder}} $
Kegel
Mantel: $\text{M}_{\text{Zylinder}} = \text{u} +\text{h} = 2\cdot\pi\cdot \text{r} \cdot \text{h}_{\text{Zylinder}} $
Volumen: $\text{V}_{\text{Zylinder}} = \text{g}\,\cdot\,\text{h}_{\text{Zylinder}} = \pi\cdot \text{r}²\,\cdot\,\text{h}_{\text{Zylinder}} $
1. Schritt: Volumenberechnung Kegel
    1.1 Schritt: Berechnung des Radius
    1.2 Schritt: Berechnung der Höhe des Kegels
    Hierfür verwende den Satz des Pythagoras, da die Höhe, der Radius und der Mantel in Form eines rechtwinkeligen Dreiecks zusammenstehen. Da du den Radius und die Mantellänge schön kennst, kannst du somit die Höhe des Kegels berechnen.
    1.3 Schritt: Volumenberechnung des Kegels
2. Schritt: Volumenberechnung Zylinder
    2.1 Schritt: Berechnung des Radius
    Der Radius ist der Gleiche wie der der Grundfläche des Kegels. Diesen hast du bereits schon berechnet.
    2.2 Schritt: Berechnung der Höhe des Zylinders
    Setze hierfür die Werte in die Mantelformel für den Zylinder ein und löse nach $\text{h}_{\text{Zylinder}}$ auf.
    2.3 Schritt: Volumenberechnung des Zylinders
3. Schritt: Volumendifferenz von Kegel und Zylinder berechnen

Aufgabe P 4:

Du sollst im ersten Teil der Aufgabe zunächst den Median, sowie die Quartile für die Frauen berechnen und einzeichnen. Im zweiten Teil hast du bereits einen Boxplot angegeben. Du sollst nun umgekehrt die halb-ausgefüllte Rangliste mit den Werten aus dem Boxplot ergänzen und ausfüllen.
$\blacktriangleright$ Median, unteres und oberes Quartil berechnen (Frauen)
Für den Median ermittelst du die Anzahl aller in der Rangliste aufgelisteten Kästchen. Du schaust als nächstes, welcher Wert genau in der Mitte liegt. Dieser Wert ist dann der Median. Für die beiden Quartile betrachtest du jeweils den unteren und oberen Bereich der Rangliste. Konkret bedeutet dies, dass du einmal die Werte vom Minimum zu Median und einmal vom Median zum Maxium betrachtest. In beiden Bereichen schaust du nun, welcher Wert in der Mitte liegt und ermittelst somit das untere und das obere Quartil.
Achtung: Wichtig ist, dass die Liste für die Ermittlung der Quartile sortiert ist. Das heißt konkret, wie in der Aufgabenstellung abgebildet, dass die Werte aufsteigend von links nach rechts größer werden.
1. Schritt: Median ermitteln
Du kannst den Median ablesen. Dazu zählst du zunächst die Anzahl der Kästchen ab. Die Anzahl der Kästchen ist ungerade, also kannst du den Wert genau in der Mitte ablesen.
2. Schritt: Oberes und unteres Quartil ermitteln
Unteres Quartil:
    Hier kannst du wieder ablesen. Betrachte die linke Seite der Kästchen, also vom Minimum bis zum Median. Die Anzahl der Kästchen (inklusive Median) ist wieder ungerade. Mit dieser ungeraden Anzahl an Kästchen kannst du den mittleren Wert als unteres Quartil ablesen.
Oberes Quartil:
    Das obere Quartil kannst du ebenfalls ablesen. Betrachte hierzu nun die rechte Seite der Kästchen, also vom Median bis zum Maximum. Die Anzahl der Kästchen (inklusive Median) ist ebenfalls ungerade. Somit kannst du den mittleren Wert als oberes Quartil ablesen.
Zeichne nun den Median, das untere und das obere Quartil der Frauen ein.
$\blacktriangleright$ Tabelle mit Preisen ergänzen (Männer)
Im zweiten Teil der Aufgabe sollst du dann für die Männer die fehlenden Preise (in der Rangliste) ermitteln und eintragen. Lies zunächst die Werte ab, welche aus dem Bloxplot hervorgehen. Als nächstes trägst du diese Werte in die bereits angegebene Tabelle ein. Du solltest zum Schluss noch $3$ Ränge nicht ausgefüllt haben. Hier kannst du passende Werte noch unter der Berücksichtigung der Rangfolge ergänzen.
1. Schritt: Ablesen des Boxplots ergibt
2. Schritt: Übertragen dieser Werte in die Tabelle
Abgelesene Werte in der Tabelle ergänzen. Als nächstes füllst du noch die leeren Ranglistenfelder logisch mit Werten aus. Denk dran, dass dieses eine Rangliste ist und dementsprechend die Werte sortiert sind.

Aufgabe P 4:

Du sollst im ersten Teil der Aufgabe zunächst den Median, sowie die Quartile für die Frauen berechnen und einzeichnen. Im zweiten Teil hast du bereits einen Boxplot angegeben. Du sollst nun umgekehrt die halb-ausgefüllte Rangliste mit den Werten aus dem Boxplot ergänzen und ausfüllen.
$\blacktriangleright$ Median, unteres und oberes Quartil berechnen (Frauen)
Für den Median ermittelst du die Anzahl aller in der Rangliste aufgelisteten Kästchen. Du schaust als nächstes, welcher Wert genau in der Mitte liegt. Dieser Wert ist dann der Median.
Für die beiden Quartile multiplizierst du die Anahl der Werte mit $\frac{1}{4}$ beziehungsweise $\frac{3}{4}$. Ist das Ergebnis ganzzahlig, ist das Quartil der Mittelwert aus dem Wert und dem nächst größeren. Ist das Ergebnis nicht ganzzahlig, ist das Quartil der Wert an der nächstgrößeren Stelle der Rangliste.
Achtung: Wichtig ist, dass die Liste für die Ermittlung der Quartile sortiert ist. Das heißt konkret, wie in der Aufgabenstellung abgebildet, dass die Werte aufsteigend von links nach rechts größer werden.
$\blacktriangleright$ Tabelle mit Preisen ergänzen (Männer)
Im zweiten Teil der Aufgabe sollst du dann für die Männer die fehlenden Preise (in der Rangliste) ermitteln und eintragen. Lies zunächst die Werte ab, welche aus dem Bloxplot hervorgehen. Als nächstes trägst du diese Werte in die bereits angegebene Tabelle ein. Du solltest zum Schluss noch $3$ Ränge nicht ausgefüllt haben. Hier kannst du passende Werte noch unter der Berücksichtigung der Rangfolge ergänzen.

Aufgabe P 6:

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt von Gerade und Parabel berechnen
Du sollst die Koordinaten des zweiten Schnittpunkts der Geraden und der Parabel berechnen. Für den ersten Schnittpunkt hast du bereits angegeben, dass die Gerade mit der Steigung $m$ = $2$ durch den Scheitelpunkt der Parabel verläuft. Du berechnest also zunächst den Scheitelpunkt der Parabel, um die Koordinaten des ersten Schnittpunkts von Gerade und Parabel zu ermitteln. Als nächstes kannst du mit dem Scheitelpunkt die vollständige Gleichung für die Gerade aufstellen, indem du in die allgemeine Geradengleichung $y = m \cdot x + n$ (=Normalenform) die bereits bekannten Werte einsetzt. Als letzten Schritt setzt du dann Geradengleichung und Parabelgleichung gleich. Damit erhätlst du den zweiten Schnittpunkt.
1. Schritt: Scheitelpunkt berechnen
Einsetzen der Parabelgleichung $\left(f(x)=ax²+bx+c\right)$ in die allgemeine Scheitelpunkt-Formel:
$ S \,\left(-\frac{b}{2 \cdot a}\, \mid \, c-\frac{b²}{4\cdot a}\right)$
Damit kannst du die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel und gleichzeitiger Schnittpunkt mit der Geraden (=$P$) berechnen.
2. Schritt: Vollständige Geradengleichung ermitteln
Mit dem gerade ermittelten Scheitelpunkt und der Steigung $m$ = $2$ kannst du nun die vollständige Geradengleichung aufstellen, indem du in die Geraden Normalenform einsetzt.
3. Schritt: Zweiten Schnittpunkt $Q$ von Gerade und Parabel ermitteln
    3.1 Schritt: Gleichsetzen der Geradengleichung mit der Parabelgleichung
    3.2 Schritt: $pq$-Formel anwenden
    3.3 Schritt: Berechnung des $y$-Wertes für den zweiten Schnittpunkt $Q$
    Mit dem bereits bekannten ersten Schnittpunkt $P$, musst du also nun nur noch den $x$-Wert von $Q$ in eine der beiden Gleichungen einsetzen. Damit erhätlst du den vollständigen zweiten Schnittpunkt $Q$.

Aufgabe P 7:

Du sollst berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass Hannah aus $10$ verschiedenen Buchstaben das Wort „$\text{SCHA}$“ durch ziehen von 2 Buchstaben einmal zu „$\text{SchaLL}$“ und einmal zu „$\text{SchaTZ}$“ ergänzen kann. Zähle zunächst die Anzahl der einzelnen Buchstaben. Mit der Anzahl der einzelnen Buchstaben kannst du dann ein Baumdiagramm erstellen, um mit diesem die Wahrscheinlichkeit entlang der Pfadregeln berechnen zu können.
Im ersten Aufgabenteil berechnest du zunächst die Wahrscheinlichkeit das Wort „$\text{Schall}$“ zu ziehen. Anschließend berechnest du im zweiten Aufgabenteil die Wahrscheinlichkeit, dass Hannah das Wort „$\text{Schatz}$“ zieht.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für das Wort „SchaLL“ berechnen
Hier sollst du berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass Hannah beim gleichzeitigen Ziehen, also ohne Zurücklegen, zweimal den Buchstaben „$\text{L}$“ aus $10$ Buchstaben zieht. Du hast bereits oben das Wahscheinlichkeitsbaumdiagramm erstellt. Mit Hilfe der Pfadregeln, kannst du nun die Wahrscheinlichkeit für das Wort „SchaLL“ berechnen. Gehe dazu den entsprechenden Pfad entlang.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für das Wort „SchaTZ“ berechnen
Hier sollst du berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass Hannah beim Ziehen von $2$ aus $10$ Buchstaben, einmal den Buchstaben „$\text{T}$“ und einmal den Buchstaben „$\text{Z}$“ zieht. Die Reihenfolge der Ziehung der Buchstaben ist egal, da beide gleichzeitig gezogen werden.

Aufgabe P 8:

$\blacktriangleright$ Prozentsatz ausrechnen
Du sollst berechnen, um wie viel Prozent die Bevölkerungszahl in Europa von $2017$ bis $2050$ sinkt. Zur Berechnung verwendest du einen Dreisatz. Berechne dazu jedoch zunächst die Bevölkerungsdifferenz von $2014$ zu $2050$ in Europa.
1. Schritt: Europa-Bevölkerungsdifferenz berechnen
2. Schritt: Dreisatz aufstellen und berechnen
$\blacktriangleright$ Prozentanteil berechnen
Du sollst berechnen, wie groß die Bevölkerung in Afrika in $2017$ sein wird, wenn seit $2014$ diese jährlich um immer $2,5\,\%$ gewachsen ist. Du kannst hier die Zinseszins-Formel verwenden, da du jährlich einen neuen Ausgangswert hast, zu dem du einen $2,5$ prozentualen Anteil hinzuaddieren sollst.
$\blacktriangleright$ Prozentanteil berechnen
Du sollst berechnen, inwiefern die Zeitungsartikelmeldung „Im Jahr $2050$ ist etwa jeder vierte Mensch ein Afrikaner.“ wahr oder falsch ist. Als ersten Schritt addierst du dafür die Bevölkerungszahlen aller $5$ Kontinente von $2050$ zusammen. Als nächstes musst du kontrollieren, ob die Bevölkerungsanzahl von Afrika ein Viertel, also $25\,\%$ der Gesamtbevölkerung ausmacht.
1. Schritt: Bevölkerungszahlen bis $2050$ addieren
2. Schritt: $\boldsymbol{25\,\%}$ Anteil an Gesamtbevölkerung berechnen
Bildnachweise [nach oben]
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Aufgabe P 1:

$\blacktriangleright$ Länge $\overline{CD}$ berechnen
Abb. 1: Trigonometrische Formeln
Abb. 1: Trigonometrische Formeln
Zeichne dir zunächst ein, welche Werte und Angaben du bereits schon weißt und, welche dir noch fehlen. In Abbildung $2$ sind alle bekannten Werte in „grün“ eingezeichnet. „Rot“ hingegen ist die gesuchte Strecke, die du zur Aufgabenlösung benötigst. „Blau“ sind die Längen und Winkel, die du als Zwischenschritte benötigst, um die Länge der rote Strecke $\overline{CD}$ berechnen zu können:
Abb. 2: Übersicht aller bekannten und unbekannten Werte
Abb. 2: Übersicht aller bekannten und unbekannten Werte
Du kannst zum Beispiel wie folgt vorgehen:
1. Berechne die Länge der Strecke $\overline{CE}$ mit dem Sinus, indem du das Dreieck ${BCE}$ betrachtest
2. Berechne die Größe des Winkels $\alpha_1$ über die Winkelsumme des Dreiecks ${AED}$
3. Berechne mit Hilfe von $\alpha_1$ und dem Sinus die Länge der Strecke $\overline{DE}$
4. Berechne die Länge der Strecke $\overline{CD}$ über die Differenz von $\overline{CE}$ und $\overline{DE}$
Abb. 3: Strecke $\overline{CE}$
Abb. 3: Strecke $\overline{CE}$
Abb. 4: Strecke $\overline{DE}$
Abb. 4: Strecke $\overline{DE}$
Abb. 5: Stecke $\overline{CD}$
Abb. 5: Stecke $\overline{CD}$
Die Strecke $\overline{CD}$ ist ungefähr $4,8\,\text{cm}$ lang.
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{ADC}$ berechnen
Für die allgemeine Flächenberechnung eines Dreiecks benötigst du die allgemeine Dreiecks-Flächeninhaltsformel:
Flächeninhalt Dreieck
$\text{A}\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,\text{g}\,\cdot\,\text{h}$
Flächeninhalt Dreieck
$\text{A}\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,\text{g}\,\cdot\,\text{h}$
Dabei steht die Höhe $\text{h}$ orthogonal zu der „Grundseite“ $\text{g}$. Schaust du dir das Dreieck an ,so ist die Grundseite $\text{g}=\,\overline{AC}$, sowie die zu ihr orthogonal stehende Höhe $\text{h}\,=\,\overline{FD}$ (s. Abb. 6). Danach kannst du den Flächeninhalt vom Dreieck $\text{ADC}$ mit der Formel berechnen.
Zeichne dir zunächst wieder ein, welche Werte und Angaben du bereits schon weißt, und welche dir noch fehlen:
Abb. 6: Übersicht aller bekannten und unbekannten Werte
Abb. 6: Übersicht aller bekannten und unbekannten Werte
Du kannst zum Beispiel wie folgt vorgehen:
1. Längenberechnung der Grundseite $\overline{AC}$ des Dreieck
    1.1 Berechne die Länge der Strecke $\overline{AE}$ mit dem Kosinus, indem du das Dreieck ${ADE}$ betrachtest
    1.2 Berechne die Größe des Winkels $\alpha_{1+2}$ über die Umkehrung des Tangens des Dreiecks ${ACE}$
    1.3 Berechne mit Hilfe vom Kosinus und dem Winkel $\alpha_{1+2}$ die Länge der Strecke $\overline{AC}$, indem du das Dreieck ${ACE}$ betrachtest
2. Höhenberechnung des Dreiecks ${ACD}$
    2.1 Berechne den Winkel $\alpha_2$ mit Hilfe der Winkelsumme
    2.2 Berechne die Strecke $\overline{DF}$ über den Sinus, indem du dir das Dreieck $ADF$ anschaust
3. Schließlich kannst du mit den Streckenlängen $\overline{AC}$ und $\overline{DF}$ den Flächeninhalt des Dreiecks $ADC$ berechnen
1. Schritt: Längenberechnung $\text{g} \,=\,\overline{AC}$
Du benötigst zunächst die Streckenlänge $\overline{AE}$ und den Winkel $ \alpha_{1+2}$, damit du die Streckenlänge $\overline{AC}$ ausrechnen kannst:
Abb. 7: Stecke $\overline{AE}$
Abb. 7: Stecke $\overline{AE}$
Abb. 8: Winkel $ \alpha_{1+2}$
Abb. 8: Winkel $ \alpha_{1+2}$
Abb. 9: Strecke $\overline{AC}$
Abb. 9: Strecke $\overline{AC}$
Die Stecke $\overline{AC}$ (und somit die „Grundseite“ $\text{g}$ des Dreiecks $ACD$) ist ca. $10,05 \text{ cm}$ lang.
2. Schritt: Höhenberechnung $\text{h}$ = $\overline{DF}$
Die Streckenlänge $\overline{DF}$ berechnest du, indem du zunächst den Winkel $\alpha_2$ berechnest. Hier kommt dir die Winkelsumme zur Hilfe, indem du schon $\alpha_{1+2}$ kennst. Nachdem du den Winkel $\alpha_2$ berechnet hast, kannst du mit diesem Winkel und der Streckenlänge $\overline{AD}$ über den Kosinus die fehlende Streckenlänge $\overline{DF}$ berechnen.
    2.1 Schritt: Winkel $\boldsymbol{\alpha_2}$ berechnen
    $\begin{array}[t]{rll} \alpha_{2} &=& \alpha_{1+2}\,-\,\alpha_{1} \\[5pt] \alpha_{2}&=& 47,2°\,-\,20,6°\,\\[5pt] \alpha_{2}&=& 26,6° \\[5pt] \end{array}$
Abb. 10: Strecke $\overline{DF}$
Abb. 10: Strecke $\overline{DF}$
Die Strecke $\overline{DF}$ (und somit die Höhe $\text{h}$ des Dreiecks $ACD$) ist ca. $3,27\text{ cm}$ lang.
Abb. 11: Dreieck $ACD$
Abb. 11: Dreieck $ACD$
Der Flächeninhalt des Dreiecks $ACD$ beträgt ungefähr $16,43 \text{ cm}²$.
#trigonometrie#kathete#rechtwinkligesdreieck

Aufgabe P 2:

$\blacktriangleright$ Umfang berechnen
Du sollst den Umfang des Dreiecks $ACD$ berechnen. Dafür musst du die Längen der Strecken $\overline{AC}$, $\overline{AD}$ und $\overline{CD}$ zusammenaddieren. Zeichne dir zunächst wieder ein, welche Strecken und Winkel du bereits schon kennst und, welche noch fehlen.
Abb. 12: Dreieck $ACD$
Abb. 12: Dreieck $ACD$
Zum Lösen der Aufgabe kannst du beispielsweise wie folgt vorgehen:
1. Ermittle die Länge der Strecke $\overline{AC}$.
    1.1 Berechne den Winkel $\beta_1$ durch den Sinus, indem du dir dafür das Dreieck $ABE$ anschaust.
    1.2 Als nächstes kannst du dann die Strecke $\overline{AB}$ mit dem Kosinus berechnen. Betrachte dafür das Dreieck $ABE$.
    1.3 Damit kannst du auch die Länge der Strecke von $\overline{BC}$ mit dem Kosinus berechnen. Betrachte dafür das Dreieck $ABE$.
    1.4 Anschließend berechnest du die Länge der Strecke von $\overline{AF}$ mit dem Sinus und schaust dir dafür das Dreieck $ABF$ an.
    1.5 Durch die Umkehrung des Kosinus kannst du nun den Winkel $\alpha_1$ berechnen. Hierzu betrachtest du das Dreieck $AEF$.
    1.6 Mit dem Winkel $\alpha_1$ kannst du nun durch Subtraktion von Winkel $\alpha_{1+2}$ $\alpha_2$ ausrechnen.
    1.7 Als nächstes kannst du die Länge der Strecke $\overline{BF}$ berechnen. Betrachte hierzu das Dreieck $ABF$ und verwende den Sinus.
    1.8 Nun kannst du auch den Winkel $\beta_2$ berechnen. Dazu betrachte das Dreieck $BCF$ und verwende den Sinus.
    1.9 Berechne die Länge der Strecke $\overline{CF}$, indem du den zuvor berechneten Winkel $\beta_2$ mit dem Sinus innerhalb des Dreiecks $BCF$ anwendest.
    1.10 Schließlich kannst du die Länge der Strecke $\overline{AC}$ berechnen, indem du die Strecken $\overline{AF}$ und $\overline{CF}$ zusammenaddierst.
2. Ermittle die Länge der Strecke $\overline{AD}$, indem du das Dreieck $ACD$ mit dem Kosinus betrachtest.
3. Die Länge der Strecke $\overline{CD}$ ermittelst du schließlich, indem du den Sinus anwendest. Betrachte hierzu erneut das Dreieck $ACD$.
4. Du kannst schließlich den Umfang des Dreiecks $ACD$ berechnen, indem du alle $3$ bekannten Längen der Strecken $\overline{AC}$, $\overline{AD}$ und $\overline{CD}$ zusammenrechnest.
1. Schritt: $\overline{AC}$ ermitteln
    1.1 Schritt: Winkel $\boldsymbol{\beta_1}$ berechnen
    Du benötigst hierfür die Streckenlängen von $\overline{AE}$ und $\overline{BE}$:
      $\begin{array}[t]{rll} \text{sin}(\beta_{1}) &=& \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\\[5pt] \text{sin}(\beta_{1}) &=& \frac{\overline{AE}}{\overline{BE}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Werte einsetzen}\\[5pt] \text{sin}(\beta_{1}) &=& \frac{3,1\text{ cm}}{8,4 \text{ cm}} \\[5pt] \beta_{1} &=& \text{sin}^{-1}(\frac{3,1\text{ cm}}{8,4 \text{ cm}}) \\[5pt] \beta_{1} &\approx& 21,66° \\[5pt] \end{array}$
    1.2 Schritt: Strecke $\overline{AB}$ berechnen
      $\begin{array}[t]{rll} \text{cos }(\beta_{1}) &=& \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\\[5pt] \text{cos }(\beta_{1}) &=& \frac{\overline{AB}}{\overline{BE}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Werte einsetzen}\\[5pt] \text{cos }(21,66)&=& \frac{\overline{AB}}{8,4 \text{ cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 8,4 \text{ cm}\\[5pt] \text{cos }(21,66) \cdot 8,4 \text{ cm} &=& \overline{AB}\\[5pt] \overline{AB} &\approx& 7,81 \text{ cm} \\[5pt] \end{array}$
    1.3 Schritt: Strecke von $\overline{BC}$
    Damit kennst du auch die Länge der Strecke von $\overline{BC}$:
      $\overline{AB}\, \approx\,\overline{BC}\, \approx\,7,81 \text{ cm}$
    1.4 Schritt: Strecke $\overline{AF}$ berechnen
      $\begin{array}[t]{rll} \text{sin }(\beta_{1}) &=& \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\\[5pt] \text{sin }(\beta_{1}) &=& \frac{\overline{AF}}{\overline{AB}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Werte einsetzen}\\[5pt] \text{sin }(21,66)&\approx& \frac{\overline{AF}}{7,81 \text{ cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 7,81 \text{ cm}\\[5pt] \text{sin }(21,66) \cdot 7,81 \text{ cm} &\approx& \overline{AF}\\[5pt] \overline{AF} &\approx& 2,88 \text{ cm} \\[5pt] \end{array}$
    1.5 Schritt: Winkel $\alpha_1$ berechen
      $\begin{array}[t]{rll} \text{cos}(\alpha_{1}) &=& \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\\[5pt] \text{cos}(\alpha_{1}) &=& \frac{\overline{AF}}{\overline{AE}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Werte einsetzen}\\[5pt] \text{cos}(\alpha_{1}) &=& \frac{2,88\text{ cm}}{3,1 \text{ cm}} \\[5pt] \alpha_{1}&\approx& \text{cos}^{-1}(\frac{2,88\text{ cm}}{3,1 \text{ cm}} )\\[5pt] \alpha_{1} &\approx& 21,71° \\[5pt] \end{array}$
    1.6 Schritt: Winkel $\alpha_2$ ermitteln
    Mit dem Winkel $\alpha_1$ kannst du nun den Winkel $\alpha_2$ und damit anschließend die Streckenlänge $\overline{BF}$ berechnen:
      $\begin{array}[t]{rll} \alpha_2&=& 90°- \alpha_1 \\[5pt] \alpha_2&=& 90°-21,71° \\[5pt] \alpha_2&=& 68,29° \\[5pt] \end{array}$
    1.7 Schritt: Länge der Strecke $\overline{BF}$ berechnen
      $\begin{array}[t]{rll} \text{sin }(\alpha_{2}) &=& \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\\[5pt] \text{sin }(\alpha_{2}) &=& \frac{\overline{BF}}{\overline{AB}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Werte einsetzen}\\[5pt] \text{sin }(68,29°)&\approx& \frac{\overline{BF}}{7,81 \text{ cm}} \\[5pt] \text{sin }(68,29°) \cdot 7,81 \text{ cm} &\approx& \overline{BF} \\[5pt] 7,26 \text{ cm}&\approx& \overline{BF} \\[5pt] \end{array}$
    1.8 Schritt: Winkel $\beta_2$ berechnen:
    Als nächstes berechnest du den Winkel $\beta_2$, um anschließend die Länge der Strecke $\overline{CF}$ berechnen zu können:
      $\begin{array}[t]{rll} \text{cos}(\beta_2) &=& \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\\[5pt] \text{cos}(\beta_2) &=& \frac{\overline{BF}}{\overline{BC}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Werte einsetzen}\\[5pt] \text{cos}(\beta_2) &\approx& \frac{7,26\text{ cm}}{7,81\text{ cm}} \\[5pt] \beta_2 &\approx& \text{cos}^{-1}(\frac{7,26\text{ cm}}{7,81\text{ cm}}) \\[5pt] \beta_2 &\approx& 21,63° \\[5pt] \end{array}$
    1.9 Schritt: Die Länge der Strecke $\overline{CF}$ berechnen
      $\begin{array}[t]{rll} \text{sin }(\beta_2) &=& \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\\[5pt] \text{sin }(\beta_2) &=& \frac{\overline{CF}}{\overline{BC}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Werte einsetzen}\\[5pt] \text{sin }(21,63°)&\approx& \frac{\overline{CF}}{7,81 \text{ cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot7,81 \text{ cm}\\[5pt] \text{sin }(21,63°) \cdot7,81 \text{ cm} &\approx& \overline{CF} \\[5pt] 2,88 \text{ cm}&\approx& \overline{CF} \\[5pt] \end{array}$
    1.10 Schritt: Die Länge der Strecke $\overline{AC}$ berechnen
      $\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}&=& \overline{AF}\,+\,\overline{CF} \\[5pt] \overline{AC}&\approx& 2,88\text{ cm}+\,2,88\text{ cm} \\[5pt] \overline{AC}&\approx& 5,76 \text{ cm} \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: $\overline{AD}$ ermitteln
    $\begin{array}[t]{rll} \text{cos }(\alpha_{1}) &=& \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\\[5pt] \text{cos }(\alpha_{1}) &=& \frac{\overline{AD}}{\overline{AC}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Werte einsetzen}\\[5pt] \text{cos }(21,71°)&\approx& \frac{\overline{AD}}{5,76 \text{ cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 5,76 \text{ cm}\\[5pt] \text{cos }(21,71°) \cdot 5,76 \text{ cm} &\approx& \overline{AD} \\[5pt] \overline{AD} &\approx& 5,35 \text{ cm} \\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: $\overline{CD}$ ermitteln
    $\begin{array}[t]{rll} \text{sin }(\alpha_{1}) &=& \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\\[5pt] \text{sin }(\alpha_{1}) &=& \frac{\overline{CD}}{\overline{AC}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Werte einsetzen}\\[5pt] \text{sin }(21,71°)&\approx& \frac{\overline{CD}}{5,76 \text{ cm}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 5,76 \text{ cm}\\[5pt] \text{sin }(21,71°) \cdot 5,76 \text{ cm} &\approx& \overline{CD} \\[5pt] 2,13 \text{ cm} &\approx& \overline{CD}\\[5pt] \end{array}$
4. Schritt: Dreiecks-Umfang berechnen
    $\begin{array}[t]{rll} \text{U}_{\text{ACD}}&=& \overline{AC}\,+\,\overline{AD}\,+\,\overline{CD} \\[5pt] \text{U}_{\text{ACD}}&\approx& 5,76\text{ cm}+\,5,35\text{ cm}\,+\,2,13\text{ cm}\\[5pt] \text{U}_{\text{ACD}}&\approx& 13,24\text{ cm}\\[5pt] \end{array}$
Der Umfang des Dreiecks $ACD$ beträgt ungefähr $13,24 \text{ cm}$.
#kathete#trigonometrie

Aufgabe P 3:

$\blacktriangleright$ Volumendifferenz von Kegel und Zylinder berechnen
Für die Berechnung der Volumina beider Objekte benötigst du zunächst den Radius des Kegels. Danach berechnest du mit dem Radius die Höhe des Kegels, um damit dann das Volumen vom Kegel ausrechnen zu können. Für den Volumeninhalt des Zylinders, musst du als nächstes mit Hilfe der Mantelflächenformel die Höhe ausrechnen. Schließlich kannst du dann damit auch das Volumen des Zylinders ausrechnen.
Zylinder
Mantel: $\text{M}_{\text{Zylinder}} = \text{u} +\text{h} = 2\cdot\pi\cdot \text{r} \cdot \text{h}_{\text{Zylinder}} $
Volumen: $\text{V}_{\text{Zylinder}} = \text{g}\,\cdot\,\text{h}_{\text{Zylinder}} = \pi\cdot \text{r}²\,\cdot\,\text{h}_{\text{Zylinder}} $
Kegel
Mantel: $\text{M}_{\text{Zylinder}} = \text{u} +\text{h} = 2\cdot\pi\cdot \text{r} \cdot \text{h}_{\text{Zylinder}} $
Volumen: $\text{V}_{\text{Zylinder}} = \text{g}\,\cdot\,\text{h}_{\text{Zylinder}} = \pi\cdot \text{r}²\,\cdot\,\text{h}_{\text{Zylinder}} $
1. Schritt: Volumenberechnung Kegel
    1.1 Schritt: Berechnung des Radius
    $\begin{array}[t]{rll} \text{M}_{\text{Kegel}}\,&=& \, \pi\cdot\,\text{r}\,\cdot\,\text{s} \\[5pt] 340\text{ cm}²\, &=&\, \pi\cdot\,\text{r}\,\cdot\,18\text{ cm} &\quad \scriptsize \mid\; :18\,\text{cm}\\[5pt] \frac{170}{9}\text{ cm}\, &=&\, \pi\cdot\,\text{r} & \quad \scriptsize \mid\; :\pi\\[5pt] 6,01 \text{ cm} \, &\approx&\, \text{r} \\[5pt]\end{array}$
    1.2 Schritt: Berechnung der Höhe des Kegels
    Hierfür verwende den Satz des Pythagoras, da die Höhe, der Radius und der Mantel in Form eines rechtwinkeligen Dreiecks zusammenstehen. Da du den Radius und die Mantellänge schön kennst, kannst du somit die Höhe des Kegels berechnen:
    $\begin{array}[t]{rll} \text{s}_{\text{Kegel}}²\,&=& \, \text{r}²\,+\,\text{h}_{\text{Kegel}}²\\[5pt] (18\,\text{ cm})²\,&\approx& \, (6,01\,\text{cm})²\,+\,(\text{h}_{\text{Kegel}})² &\quad \scriptsize \mid\; \text{quadrieren}\\[5pt] 324\,\text{ cm}²\,&\approx& \, 36,12\,\text{cm}²\,+\,\text{h}_{\text{Kegel}}²&\quad \scriptsize \mid\; -\,36,12\text{ cm}²\\[5pt] 287,88\,\text{ cm}²\,&\approx& \, \text{h}_{\text{Kegel}}²&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] 16,97 \text{ cm} \, &\approx&\, \text{h}_{\text{Kegel}} \\[5pt]\end{array}$
    1.3 Schritt: Volumenberechnung des Kegels
    $\begin{array}[t]{rll} \text{V}_{\text{Kegel}}\,&=& \,\frac{1}{3}\, \cdot\,\text{G}_{\text{Kegel}}\,\cdot\,\text{h}_{\text{Kegel}} \,=\,\frac{1}{3}\, \cdot\,\pi\,\cdot\,\text{r}²\,\cdot\,\text{h}_{\text{Kegel}} \\[5pt] \text{V}_{\text{Kegel}}\,&\approx& \,\frac{1}{3}\, \cdot\,\pi\,\cdot\,(6,01\text{ cm})²\,\cdot\,16,97\text{ cm} \\[5pt] \text{V}_{\text{Kegel}}\,&\approx&\, 641,89\text{ cm}³\\[5pt]\end{array}$
2. Schritt: Volumenberechnung Zylinder
    2.1 Schritt: Berechnung des Radius
    Der Radius ist der Gleiche wie der der Grundfläche des Kegels. Diesen hast du bereits schon berechnet: $\text{r}\, \approx 6,01\,\text{cm}$
    2.2 Schritt: Berechnung der Höhe des Zylinders
    Setze hierfür die Werte in die Mantelformel für den Zylinder ein und löse nach $\text{h}_{\text{Zylinder}}$ auf.
    $\begin{array}[t]{rll} \text{M}_{\text{Zylinder}}\,&=& 2\,\cdot\pi\,\cdot\,\text{r}\,\cdot\,\text{h}_{\text{Zylinder}}\\[5pt] 340 \text{ cm}²\,&\approx&\, 2\,\cdot\pi\,\cdot\,6,01\text{ cm}\,\cdot\,\text{h}_{\text{Zylinder}} &\quad \scriptsize \mid\; :2 \; :\pi\,:6,01\text{ cm} \\[5pt] 9,00 \text{ cm} \, &\approx&\, \text{h}_{\text{Zylinder}} \\[5pt] \end{array}$
    2.3 Schritt: Volumenberechnung des Zylinders
    $\begin{array}[t]{rll} \text{V}_{\text{Zylinder}}\,&=& \,\text{G}_{\text{Zylinder}}\,\cdot\,\text{h}_{\text{Zylinder}} \,= \,\pi\,\cdot\,\text{r}²\,\cdot\,\text{h}_{\text{Zylinder}} \\[5pt] \text{V}_{\text{Zylinder}}\,&\approx& \,\pi\,\cdot\,(6,01\text{ cm})²\,\cdot\,9,00\text{ cm} \\[5pt] \text{V}_{\text{Zylinder}}\,&\approx&\, 1.021,27\text{ cm}³\\[5pt]\end{array}$
3. Schritt: Volumendifferenz von Kegel und Zylinder berechnen
    $\text{V}_{\text{Zylinder}}\,-\,\text{V}_{\text{Kegel}}\,\approx 1.021,27\text{ cm}³\,-\,641,89\text{ cm}³\, \approx \, 379,38\text{ cm}³$
Die Volumendifferenz von Kegel und Zylinder beträgt $379,38\text{ cm}³$.
#kegel#zylinder

Aufgabe P 4:

Du sollst im ersten Teil der Aufgabe zunächst den Median, sowie die Quartile für die Frauen berechnen und einzeichnen. Im zweiten Teil hast du bereits einen Boxplot angegeben. Du sollst nun umgekehrt die halb-ausgefüllte Rangliste mit den Werten aus dem Boxplot ergänzen und ausfüllen.
$\blacktriangleright$ Median, unteres und oberes Quartil berechnen (Frauen)
Für den Median ermittelst du die Anzahl aller in der Rangliste aufgelisteten Kästchen. Du schaust als nächstes, welcher Wert genau in der Mitte liegt. Dieser Wert ist dann der Median.
Für die beiden Quartile multiplizierst du die Anahl der Werte mit $\frac{1}{4}$ beziehungsweise $\frac{3}{4}$. Ist das Ergebnis ganzzahlig, ist das Quartil der Mittelwert aus dem Wert und dem nächst größeren. Ist das Ergebnis nicht ganzzahlig, ist das Quartil der Wert an der nächstgrößeren Stelle der Rangliste.
Achtung: Wichtig ist, dass die Liste für die Ermittlung der Quartile sortiert ist. Das heißt konkret, wie in der Aufgabenstellung abgebildet, dass die Werte aufsteigend von links nach rechts größer werden.
1. Schritt: Median ermitteln
Du kannst den Median ablesen. Dazu zählst du zunächst die Anzahl der Kästchen ab. Hier solltest du auf $15$ Kästchen kommen. Die Anzahl der Kästchen ist ungerade, also kannst du den Wert genau in der Mitte ablesen. Der Median liegt also bei $90 €$.
2. Schritt: Oberes und unteres Quartil ermitteln
Unteres Quartil:
$n\cdot \frac{1}{4} = 15\cdot \frac{1}{4} = 3,75$. Lies also den vierten Wert aus der Rangliste ab. Das untere Quartil ist also $60$.
Oberes Quartil:
$n\cdot \frac{3}{4} = 15\cdot \frac{3}{4} = 11,25$. Lies also den zwölften Wert aus der Rangliste ab. Das obere Quartil ist also $150$.
Den Median der Frauen zeichnest du bei $90€$, das untere Quartil bei $60€$ und das obere Quartil bei $150€$ ein:
Abb. 13: Boxplot Frauen
Abb. 13: Boxplot Frauen
$\blacktriangleright$ Tabelle mit Preisen ergänzen (Männer)
Im zweiten Teil der Aufgabe sollst du dann für die Männer die fehlenden Preise (in der Rangliste) ermitteln und eintragen. Lies zunächst die Werte ab, welche aus dem Bloxplot hervorgehen. Als nächstes trägst du diese Werte in die bereits angegebene Tabelle ein. Du solltest zum Schluss noch $3$ Ränge nicht ausgefüllt haben. Hier kannst du passende Werte noch unter der Berücksichtigung der Rangfolge ergänzen.
1. Schritt: Ablesen des Boxplots ergibt
Minimum: $30$
Maximum: $170$
unteres Quartil: $50$
oberes Quartil: $120$
Median: $70$
2. Schritt: Übertragen dieser Werte in die Tabelle
Abgelesene Werte in der Tabelle ergänzen:
Rang12345678910111213
Preis3030 50505070 120120140 170
Die Ränge $3$, $8$ und $9$ kannst du nun noch mit Werten ausfüllen.
Beachte, dass für den Rang $3$ die Zahl zwischen $30$ und $50$ liegen muss. Für die Ränge $8$ und $9$ können Werte zwischen $70$ und $120$ eingetragen werden. Dabei muss Rang $8$ $\leq$ Rang $9$ sein. So könnte also die vollständig ausgefüllte Tabelle aussehen:
Rang12345678910111213
Preis3030405050507090110120120140 170
#quartil#boxplot#median

Aufgabe P 5:

$\blacktriangleright$ Definitionsmenge berechnen
Eine Definitionsmenge gibt den Zahlenbereich an, welcher für $x$ eingesetzt werden darf. Da du in der Gleichung für $x$ jede beliebige Zahl einsetzen kannst, weißt du, dass der Definitionsbereich im Bereich der reellen Zahlen liegt ($\mathrel{\widehat{=}}$ $\mathbb{R}$). Du hast allerdings Brüche in der Gleichung. Du weißt auch, dass der Nenner eines Bruchs nie Null werden darf. Du musst also schauen, für welche Zahlen, die du für $x$ einsetzen kannst, der Nenner $0$ wird. Diese Zahlen liegen dann außerhalb des Definitonsbereichs. („Wann wird der Nenner $0$?“)
1. Schritt: Linke Seite der Gleichung betrachten
„Wann wird der Nenner des Bruchs auf der linken Seite der Gleichung $0$?“:
$\frac{x+3}{x}$
Hier wird die Gleichung nur Null, wenn man für $x\,=\,0$ einsetzt. Damit hast du den ersten Wert, den du aus der Definitionsmenge ausschließen kannst und schreibst:
$\mathbb{D}\,=\,\mathbb{R}\setminus\{0\}$
2. Schritt: Rechte Seite der Gleichung betrachten
„Wann wird der Nenner der Brüche auf der rechten Seite der Gleichung $0$?“:
    2.1 Schritt: Den Nenner von $\frac{9}{x²-3x}$ betrachten
      Setze den Nenner gleich Null und löse nach $x$ auf:
      $\begin{array}[t]{rll} x²-3x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{x ausklammern}\\[5pt] x(x-3) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{erste Lösung: x}=0\\[5pt] x-3 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +3\\[5pt] x&=& 3 \\[5pt] \end{array}$
    Die Gleichung wird bei $x=0$ und $x=3$ Null. Somit sind die $3$ und die $0$ nicht im Definitonsbereich enthalten.
2.2 Schritt: Den Nenner des Bruchs $\frac{3}{x-3}$ betrachten
    Setze den Nenner gleich Null und löse nach $x$ auf:
    $\begin{array}[t]{rll} x-3 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; + 3\\[5pt] x &=& 3 \\[5pt] \end{array}$
    Die $3$ hast du bereits schon als Zahl außerhalb des Definitonsbereichs ermittelt.
Der Definitonsbereich der Gleichung lautet: $\mathbb{D}\,=\,\mathbb{R}\setminus\{0,3\}$.
$\blacktriangleright$ Lösungsmenge berechnen
Die Lösungsmenge ist der Bereich bzw. Menge der Zahlen, die als Lösung einer Gleichung rauskommen kann.
1. Schritt: Gleichung nach $x$ auflösen
Du sollst die Gleichung lösen, indem du nach $x$ auflöst. Dazu muliplizierst du zunächst mit dem Nenner, um die $x$ aus dem Nenner zu bekommen. Anschließend ist der Satz vom Nullprodukt, sowie die $pq$-Formel hilfreich, um danach $x$ aufzulösen..
$\begin{array}[t]{rll} \frac{x+3}{x} &=& \frac{9}{x²-3x} \,-\,\frac{3}{x-3} &\quad \scriptsize \mid\; \text{rechte Seite auf einen Nenner bringen}\\[5pt] \frac{x+3}{x} &=& \frac{9-3x}{x²-3x} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x\, \,\, \cdot(x²-3x)\\[5pt] (x+3)\cdot(x²-3x) &=& (9-3x)\cdot x \\[5pt] x³-3x²+3x²-9x&=& 9x-3x²\\[5pt] x³-9x&=& 9x-3x²\\[5pt] x³-9x&=& 9x-3x²& \quad \scriptsize \mid\; \text{alles auf eine Seite bringen}\\[5pt] x³+ 3x²-18x&=& 0 & \quad \scriptsize \mid\; \text{: x}\\[5pt] x(x²+ 3x-18) &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Hier wäre das erste $x=0$. Die Null liegt jedoch nicht in der Definitonsmenge und ist daher keine Lösung.
2. Schritt: Quadratische Gleichung auflösen
    $\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&= & -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)²-q}&\quad \scriptsize \mid\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] x_{1,2}&=& -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)²+18}\\[5pt] x_{1,2}&=& -1,5 \pm \sqrt{20,25}\\[5pt] x_{1,2}&=& -1,5 \pm 4,5\\[5pt] \end{array}$
Das Ergebnis liefert:
$x_1= (-1,5-4,5)=-6$ und
$x_2= (-1,5+4,5)=3$
Die $x_2=3$ entfällt der Lösungsmenge, da du diese bereits als Zahl der Definitonsmenge ausgeschlossen hast. Die Gleichung ist mit $x_2=3$ nicht lösbar. Die Lösungsmenge ist $L\,=\,\{-6\}$.
Der Definitonsbereich von $\frac{x+3}{x}\,=\, \frac{9}{x²-3x} \,-\,\frac{3}{x-3}$ lautet $\mathbb{D}\,=\,\mathbb{R}\setminus\{0,3\}$ und die Lösungsmenge ist $L\,=\,\{-6\}$.
#definitionsbereich#bruchgleichung#quadratischegleichung

Aufgabe P 6:

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt von Gerade und Parabel berechnen
Du sollst die Koordinaten des zweiten Schnittpunkts der Geraden und der Parabel berechnen. Für den ersten Schnittpunkt hast du bereits angegeben, dass die Gerade mit der Steigung $m$ = $2$ durch den Scheitelpunkt der Parabel verläuft. Du berechnest also zunächst den Scheitelpunkt der Parabel, um die Koordinaten des ersten Schnittpunkts von Gerade und Parabel zu ermitteln. Als nächstes kannst du mit dem Scheitelpunkt die vollständige Gleichung für die Gerade aufstellen, indem du in die allgemeine Geradengleichung $y = m \cdot x + n$ (=Normalenform) die bereits bekannten Werte einsetzt. Als letzten Schritt setzt du dann Geradengleichung und Parabelgleichung gleich. Damit erhätlst du den zweiten Schnittpunkt.
1. Schritt: Scheitelpunkt berechnen
Einsetzen der Parabelgleichung ($f(x)=ax²+bx+c$) in die allgemeine Scheitelpunkt-Formel:
    $\begin{array}[t]{rll} S \,\left(-\frac{b}{2 \cdot a}\, \mid \, c-\frac{b²}{4\cdot a}\right) &=& S \,\left(-\left(\frac{-6}{2 \cdot 1}\right)\, \mid\, 10,5 -\left(\frac{(-6)²}{4\cdot 1}\right) \right)\\[5pt] &=& S\, \left(\frac{6}{2}\,\mid\, 10,5 -\frac{36}{4}\right) \\[5pt] &=& S\,\left(3\, \mid\, 10,5 -9\right) \\[5pt] &=& S\, \left(3\, \mid \, 1,5\right) \\[5pt] \end{array}$
Der Scheitelpunkt der Parabel und Schnittpunkt mit der Geraden (=$P$) besitzt die Koordinaten $(3\, \mid \, 1,5)$.
2. Schritt: Vollständige Geradengleichung ermitteln
Mit dem $P\, (3\, \mid \, 1,5)$ und der Steigung $m$ = $2$ kannst du nun die vollständige Geradengleichung aufstellen, indem du in die Normalenform einsetzt:
    $\begin{array}[t]{rll} y &=& m\cdot x\,+n & &\quad \scriptsize \mid\;\text{Werte einsetzen} \\[5pt] 1,5 &=& 2\cdot 3\,+n & &\quad \scriptsize \mid\;-6 \\[5pt] -4,5 &=& n\\[5pt] \end{array}$
Die Geradengleichung lautet damit: $y\, = \,2\cdot x-4,5$
3. Schritt: Zweiten Schnittpunkt $Q$ von Gerade und Parabel ermitteln
    3.1 Schritt: Gleichsetzen der Geradengleichung mit der Parabelgleichung
      $\begin{array}[t]{rll} 2\cdot x-4,5 &=& x²-6x+10,5 &\quad \scriptsize \mid\;-2x\,\,+4,5 \\[5pt] 0&=& x²-8x+15 \end{array}$
    3.2 Schritt: $pq$-Formel anwenden
      $\begin{array}[t]{rll} & & -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)²-q}&\quad \scriptsize \mid\; \text{Werte einsetzen}\\[5pt] &=& -\frac{-8}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-8}{2}\right)²-15}\\[5pt] &=& 4 \pm \sqrt{1}\\[5pt] &=& 4 \pm 1\\[5pt] \end{array}$
    Damit erhätlst du für $x_1=(4+1)= 5$ und für $x_2= (4-1)=3$
    3.3 Schritt: Berechnung des $y$-Wertes für den zweiten Schnittpunkt $Q$
    Mit dem bereits bekannten ersten Schnittpunkt $P \,(3\, \mid \, 1,5)$, musst du also nun nur noch $x$ = $5$ in eine der beiden Gleichungen einsetzen. Damit erhätlst du:
      $\begin{array}[t]{rll} y&=& 2x - 4,5&\quad \scriptsize \mid\;\text{$x$ = $5$ einsetzen und nach $y$ auflösen} \\[5pt] y&=& (2\cdot 5) - 4,5 \\[5pt] y&=& 5,5 \\[5pt] \end{array}$
Der zweite Schnittpunkt $Q$ liegt bei $Q\,(5\, \mid \, 5,5)$.
#scheitelpunktform#pq-formel#geradengleichung

Aufgabe P 7:

Du sollst berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass Hannah aus $10$ verschiedenen Buchstaben das Wort „$\text{SCHA}$“ durch Ziehen von 2 Buchstaben einmal zu „$\text{SchaLL}$“ und einmal zu „$\text{SchaTZ}$“ ergänzen kann. Zähle zunächst die Anzahl der einzelnen Buchstaben. Du solltest auf $6$ für „$L$“, $3$ für „$T$“ und einmal „$Z$“ kommen. Mit diesen Angaben kannst du ein Baumdiagramm erstellen. Mit Hilfe dieses Baumdiagramms kannst du die Wahrscheinlichkeit entlang den Pfadregeln (= grün) berechnen.
Im ersten Aufgabenteil berechnest du zunächst die Wahrscheinlichkeit das Wort „$\text{Schall}$“ zu ziehen. Anschließend berechnest du im zweiten Aufgabenteil die Wahrscheinlichkeit, dass Hannah das Wort „$\text{Schatz}$“ zieht.
Abb. 14: Wahrscheinlichkeit-Übersicht für das Ziehen von $2$ Buchstaben
Abb. 14: Wahrscheinlichkeiten-Übersicht für das Ziehen von $2$ Buchstaben
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für das Wort „SchaLL“ berechnen
Hier sollst du berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass Hannah beim gleichzeitigen Ziehen, also ohne Zurücklegen, zweimal den Buchstaben „$\text{L}$“ aus $10$ Buchstaben zieht. Du hast bereits oben das Wahscheinlichkeitsbaumdiagramm erstellt. Mit Hilfe der Pfadregeln, kannst du nun die Wahrscheinlichkeit für das Wort „SchaLL“ berechnen. Gehe dazu den entsprechenden Pfad entlang.
Abb. 15: Wahrscheinlichkeit „$\text{LL}$“
Abb. 15: Wahrscheinlichkeit „$\text{LL}$“
Die Wahrscheinlichkeit, das Wort Scha„$\text{LL}$“ zu legen und zweimal das „$\text{L}$“ zu ziehen liegt bei $\,0, \overline{3}\,\approx\, 33,3\%$.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für das Wort „SchaTZ“ berechnen
Hier sollst du berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass Hannah beim Ziehen von $2$ aus $10$ Buchstaben, einmal den Buchstaben „$\text{T}$“ und einmal den Buchstaben „$\text{Z}$“ zieht. Du weißt bereits, dass der Buchstabe „$\text{L}$“ $6$ mal, „$\text{T}$“ $3$ mal und „$\text{Z}$“ einmal vorkommt. Die Reihenfolge der Ziehung der Buchstaben ist egal, da beide gleichzeitig gezogen werden
Abb. 16: Wahrscheinlichkeit „$\text{TZ}$“
Abb. 16: Wahrscheinlichkeit „$\text{TZ}$“
Die Wahrscheinlichkeit das Wort Scha„$\text{TZ}$“, und damit einmal den Buchstaben „$\text{T}$“ und einmal den Buchstaben „$\text{Z}$“ zu ziehen, liegt bei $\,0,067 \approx\, 6,7\%$.
Die Wahrschenlichkeit, dass Hannah die Buchstabenkärtchen zu Scha„$\text{LL}$“ ergänzen kann, liegt bei $33,\overline{3}\%$. Für das Wort Scha„$\text{TZ}$“ liegt die Wahrscheinlichkeit hingegen bei $6,7\%$.
#baumdiagramm#pfadregeln

Aufgabe P 8:

$\blacktriangleright$ Prozentsatz ausrechnen
Du sollst berechnen, um wie viel Prozent die Bevölkerungszahl in Europa von $2017$ bis $2050$ sinkt. Zur Berechnung verwendest du einen Dreisatz. Berechne dazu jedoch zunächst die Bevölkerungsdifferenz von $2014$ zu $2050$ in Europa.
1. Schritt: Bevölkerungsdifferenz berechnen
    $\begin{array}[t]{rll} 741 \text{ Mio.} - 726 \text{ Mio.} &=& 15\text{ Mio.} \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Dreisatz aufstellen und berechnen
    $:741$
    $\begin{array}{rrcll} & 741 \text{ Mio.}&\mathrel{\widehat{=}}& 100\,\%\\[5pt] & 1\text{ Mio.}&\mathrel{\widehat{=}}& \frac{100}{741}\,\%\\[5pt] & 15\text{ Mio.}&\approx& 2,02\,\%\\[5pt] \end{array}$
    $:741$
    $\cdot 15$
    $\cdot 15$
Die Bevölkerung in Europa wird von $2014$ bis zum Jahr $2050$ um circa $2\,\%$ sinken.
$\blacktriangleright$ Prozentanteil berechnen
Du sollst berechnen, wie groß die Bevölkerung in Afrika in $2017$ sein wird, wenn seit $2014$ diese jährlich um immer $2,5\,\%$ gewachsen ist. Du kannst hier die Zinseszins-Formel verwenden, da du jährlich einen neuen Ausgangswert hast, zu dem du einen $2,5$ prozentualen Anteil hinzuaddieren sollst.
    $\begin{array}[t]{rll} K_{\text{Endwert}}\,&=& \,K_{\text{Anfangswert}}\,\cdot\,\left(1\,+\,\frac{p}{100}\right)^{\text{n}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Werte einsetzen}\\[5pt] K_{\text{Endwert}}\,&=& \,1.136\text{Mio.}\,\cdot\,\left(1\,+\,\frac{2,5}{100}\right)^3 \\[5pt] K_{\text{Endwert}}\,&\approx& \,1.223,35\text{ Mio.}\\[5pt] \end{array}$
Im Jahr $2017$ wird erwartet, dass die Anzahl der Bevölkerung auf $1.223\text{ Mio.}$ Menschen gestiegen sein wird.
$\blacktriangleright$ Prozentanteil berechnen
Du sollst berechnen, inwiefern die Zeitungsartikelmeldung „Im Jahr $2050$ ist etwa jeder vierte Mensch ein Afrikaner.“ wahr oder falsch ist. Als ersten Schritt addierst du dafür die Bevölkerungszahlen aller $5$ Kontinente von $2050$ zusammen. Als nächstes musst du kontrollieren, ob die Bevölkerungsanzahl von Afrika ein Viertel, also $25\,\%$ der Gesamtbevölkerung ausmacht.
1. Schritt: Bevölkerungszahlen bis $2050$ addieren
    $\begin{array}[t]{rll} && 1.217\text{ Mio. [Amerika]} \\[5pt] &+& 2.428\text{ Mio. [Afrika]} \\[5pt] &+& 726\text{ Mio. [Europa]} \\[5pt] &+& 5.252\text{ Mio. [Asien]} \\[5pt] &+& 60\text{ Mio. [Australien]} \\[5pt] &=& 9.683\text{ Mio. [Gesamt]} \end{array}$
2. Schritt: $\boldsymbol{25\,\%}$ Anteil an Gesamtbevölkerung berechnen
    $:100$
    $\begin{array}{rrcll} & 9.683 \text{ Mio.}&\mathrel{\widehat{=}}& 100\,\%\\[5pt] & 96,83\text{ Mio.}&\mathrel{\widehat{=}}& 1\,\%\\[5pt] & 2.420,75\text{ Mio.}&\mathrel{\widehat{=}}& 25\,\%\\[5pt] \end{array}$
    $:100$
    $\cdot 25$
    $\cdot 25$
$2.420,75\text{ Mio.}\,\approx\,2.421\text{ Mio.}$ ist annähernd so groß wie $2.428\text{ Mio. [Afrika]}$.
Die Zeitungsmeldung ist somit richtig, wenn sich die Bevölkerungszahlen tatsächlich nach dem angegebenen Modell entwickeln.
#dreisatz#prozentrechnen
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