Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Gemeinschaftsschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 9
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Fach & Lernbereich
Fach: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Grundkurs
Erweiterungskurs
Realschulabschluss
Werkrealschulabschluss
Hauptschulabschluss
Realschulabsc...
Prüfung
wechseln
Realschulabschluss
Werkrealschulabschluss
Hauptschulabschluss
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Wahlbereich

Aufgaben
Download als Dokument:PDF

Aufgabe W1

a)
(5,5 Punkte)
b)
(4,5 Punkte)
#rechtwinkligesdreieck#gleichseitigesdreieck

Aufgabe W2

a)
(5 Punkte)
b)
(5 Punkte)
#kegel#körpernetz#pyramide

Aufgabe W3

a)
(5,5 Punkte)
b)
Die Parabel $p$ der Form $y= ax^2+c$ hat den Scheitel $S(0\mid -4,5).$ Sie geht durch den Punkt $P(-3\mid 0).$
Die Gerade $g$ mit der Steigung $m=1,5$ geht durch den Punkt $R(0\mid 0,5).$ Sie schneidet die Parabel $p$ in den Punkten $A$ und $C.$
Die Punkte $A$ und $C$ sind Eckpunkte des Rechtecks $ABCD.$ Zudem sind die Punkte $A$ und $C$ Anfangs- und Endpunkt einer Diagonalen dieses Rechtecks.
Die Seiten des Rechtecks verlaufen parallel zur $x$- bzw. $y$-Achse.
Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks.
(4,5 Punkte)
#rechteck#gerade#schnittpunkt#parabel

Aufgabe W4

a)
Im Technikunterricht wurde für ein Schulfest ein Zufallsgerät gebaut, bei dem sich zwei Walzen unabhängig voneinander drehen. Die Walzen sind mit Symbolen beklebt. Auf jeder Walze sind vier Zitronen, zwei Glocken und eine Sieben abgebildet.
Wenn sie stehen bleiben, erkennt man im Sichtfenster zwei Symbole nebeneinander.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „zweimal Glocke“?
EreignisGewinn
zweimal Glocke$4,00\,€$
zweimal Sieben$10,00\,€$
sonstigekein Gewinn
Einsatz pro Spiel: $1,00\,€$
(5,5 Punkte)
b)
Ein Golfspieler schlägt seinen Golfball ab. Die Flugbahn des Golfballes ist annähernd parabelförmig. In einer horizontalen Entfernung von $95\,\text{m}$ zum Abschlag erreicht der Ball seine maximale Flughöhe von $25\,\text{m}$ über dem Boden.
Gib eine Gleichung der zugehörigen Parabel an.
Ein $15\,\text{m}$ hoher Baum steht in $45\,\text{m}$ Entfernung vom Abschlag. In welchem Abstand überfliegt der Ball die Baumspitze?
Das Loch befindet sich auf einer $2\,\text{m}$ höhergelegenen Ebene in $180\,\text{m}$ horizontaler Entfernung vom Abschlag.
In welcher Entfernung vom Loch trifft der Ball auf der höhergelegenen Ebene auf?
Wahlbereich
Abb. 6: Die Skizze ist nicht maßstabsgerecht
Wahlbereich
Abb. 6: Die Skizze ist nicht maßstabsgerecht
(4,5 Punkte)
#wahrscheinlichkeit#erwartungswert#parabel
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[6]
© – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF

Aufgabe W1Wahlbereich

a)
$\blacktriangleright$  Winkel berechnen
1. Schritt: Seitenlänge $\overline{AD}$ berechnen
Die Strecke $\overline{AD}$ ist die Höhe des Dreiecks $ABC$ zur Grundseite $\overline{BC}.$ Du kannst also die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks verwenden und die bekannten Werte einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{g\cdot h}{2} \\[5pt] A_{ABC}&=& \dfrac{\overline{BC}\cdot \overline{AD}}{2} \\[5pt] 54,0\,\text{cm}^2&=& \dfrac{11,6\,\text{cm}\cdot \overline{AD}}{2}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt] 108,0\,\text{cm}^2&=& 11,6\,\text{cm}\cdot \overline{AD} &\quad \scriptsize \mid\;:11,6\,\text{cm} \\[5pt] 9,3\,\text{cm} &\approx& \overline{AD} \end{array}$
$ \overline{AD}\approx 9,3\,\text{cm} $
2. Schritt: Winkel $\beta$ berechnen
Wahlbereich
Abb. 1: Einzeichnen des Winkels $\beta$
Wahlbereich
Abb. 1: Einzeichnen des Winkels $\beta$
3. Schritt: Seitenlänge $\overline{AC}$ berechnen
Du kannst den Kosinussatz im Dreieck $ABC$ anwenden, um $\overline{AC}$ zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}^2 &=& \overline{BC}^2 +\overline{AB}^2 -2\cdot \overline{BC} \cdot \overline{AB} \cdot \cos \beta \\[5pt] \overline{AC}^2&=& (11,6\,\text{cm})^2 + (12,0\,\text{cm})^2-2\cdot 11,6\,\text{cm}\cdot 12,0\,\text{cm} \cdot \cos 50,8^{\circ} &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] \overline{AC} &\approx & 10,1\,\text{cm} \end{array}$
$ \overline{AC} \approx 10,1\,\text{cm} $
4. Schritt: Winkel $\alpha$ berechnen
Du kannst nun den Sinussatz auf das Dreieck $ABC$ anwenden, um $\alpha$ zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{AC}}{\sin \beta}&=& \dfrac{\overline{BC}}{\sin \alpha} \\[5pt] \dfrac{10,1\,\text{cm} }{\sin 50,8^{\circ}}&=& \dfrac{11,6\,\text{cm}}{\sin \alpha} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sin \alpha\\[5pt] \dfrac{10,1\,\text{cm} }{\sin 50,8^{\circ}} \cdot \sin \alpha &=& 11,6\,\text{cm} &\quad \scriptsize \mid\;:\dfrac{10,1\,\text{cm} }{\sin 50,8^{\circ}} \\[5pt] \sin \alpha &=& 11,6\,\text{cm} \cdot \dfrac{\sin 50,8^{\circ}}{10,1\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\;\sin^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 62,9^{\circ} \end{array}$
$ \alpha\approx 62,9^{\circ} $
Der Winkel $\alpha$ ist ca. $62,9^{\circ}$ groß.
$\blacktriangleright$  Abstand berechnen
Wahlbereich
Abb. 2: Bezeichnungen im Dreieck
Wahlbereich
Abb. 2: Bezeichnungen im Dreieck
2. Schritt: Abstand berechnen
Der Abstand von $D$ zur Strecke $\overline{AB}$ entspricht der Höhe $h$ des Dreiecks $ABD$ zur Hypotenuse $\overline{AB}.$ Diese Höhe $h$ teilt das Dreieck $ABD$ widerum in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Betrachtest du das Teildreieck, das den Winkel $\alpha_1$ enthält, so kannst du $h$ über den Sinus berechnen:
Die Gegenkathete zum Winkel $\alpha_1$ ist $h.$ Die Hypotenuse ist $\overline{AD} = 9,3\,\text{cm}.$
$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha_1&=& \dfrac{h}{\overline{AD}} \\[5pt] \sin 39,2^{\circ} &=& \dfrac{h}{9,3\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 9,3\,\text{cm} \\[5pt] 5,9\,\text{cm} &\approx& h \end{array}$
$ h\approx 5,9\,\text{cm} $
Der Punkt $D$ hat von der Strecke $\overline{AB}$ ca. einen Abstand von $5,9\,\text{cm}.$
b)
$\blacktriangleright$  Flächengleichheit zeigen
Wahlbereich
Abb. 3: Bezeichnungen
Wahlbereich
Abb. 3: Bezeichnungen
Zudem kannst du auch $\gamma_2$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \gamma_2 &=& 90^{\circ} - \gamma_1 \\[5pt] &=& 90^{\circ} - 60^{\circ}\\[5pt] &=& 30^{\circ} \end{array}$
Es gilt also $\alpha = \gamma_2 = 30^{\circ}.$ Damit ist das Dreieck $ADC$ gleichschenklig und es gilt $\overline{AD} = \overline{CD}.$ Da wegen 1. $\overline{CD} = \overline{DB}$ gilt, gilt auch $\overline{AD} = \overline{CD} = \overline{DB}.$
Betrachtest du also $\overline{AD}$ als Grundseite des Dreiecks $ADC$ und $\overline{DB}$ als Grundseite des Dreiecks $DBC,$ so haben beide Dreiecke eine gleichlange Grundseite.
Die Höhe zur Grundseite $\overline{AD}$ im Dreieck $ADC$ ist die eingezeichnete Höhe $h.$ Ebenso ist $h$ auch die Höhe zur Grundseite $\overline{DB}$ im Dreieck $DBC.$
Beide Dreiecke haben also eine gleichlange Grundseite und eine identische Höhe. Da sich der Flächeninhalt eines Dreiecks aus diesen beiden Größen berechnen lässt, haben beide Dreiecke den gleichen Flächeninhalt.
$\blacktriangleright$  Wert von $e$ berechnen
Da das Dreieck $ABC$ einen rechten Winkel bei $C$ besitzt, lässt sich sein Flächeninhalt wie folgt berechnen:
$A_{ABC} = \dfrac{\overline{AC}\cdot \overline{BC}}{2}$
Die Seitenlängen des Dreiecks $DBC$ sind alle gleichlang und können daher einheitlich mit $a$ bezeichnet werden:
$a = \overline{DB} = \overline{BC} = \overline{CD}=\overline{AD}$
Stellst du nun $\overline{AC}$ auch in Abhängigkeit von $a$ dar, dann kannst du eine Gleichung aufstellen, mit der du $a$ berechnen kannst und anschließend dann die Seitenlänge $\overline{AC}$ und den Wert $e$ berechnen kannst.
1. Schritt: Seitenlänge $\overline{AC}$ in Abhängigkeit von $a$ darstellen
Da $\overline{AD} = \overline{DB}$ ist $\overline{AB} = \overline{AD} + \overline{DB} = 2a$
Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich für die Seitenlänge $\overline{AC}:$
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}^2 + \overline{BC}^2&=& \overline{AB}^2 \\[5pt] \overline{AC}^2 + a^2 &=& (2a)^2 \\[5pt] \overline{AC}^2 + a^2 &=& 4a^2 &\quad \scriptsize \mid\;-a^2 \\[5pt] \overline{AC}^2&=& 3a^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] \overline{AC} &=& \sqrt{3}\cdot a \end{array}$
$ \overline{AC} = \sqrt{3}\cdot a $
2. Schritt: Wert von $a$ für den geforderten Flächeninhalt berechnen
Den Flächeninhalt kannst du nun vollständig in Abhängigkeit von $a$ darstellen und erhältst dann folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} A_{ABC}&=& \dfrac{\overline{AC}\cdot \overline{BC}}{2} &\quad \scriptsize \mid\; \overline{AC} = \sqrt{3}\cdot a;\overline{BC} = a; A_{ABC} = 200\,\text{cm}^2\\[5pt] 200\,\text{cm}^2&=& \dfrac{\sqrt{3}\cdot a\cdot a}{2} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt] 400\,\text{cm}^2&=& \sqrt{3}\cdot a^2 &\quad \scriptsize \mid\; :\sqrt{3}\\[5pt] \frac{400}{\sqrt{3}}\,\text{cm}^2 &=& a^2 \\[5pt] \sqrt{\frac{400}{\sqrt{3}}}\,\text{cm} &=& a \\[5pt] \end{array}$
$ a=\sqrt{\frac{400}{\sqrt{3}}}\,\text{cm} $
3. Schritt: Seitenlänge $\overline{AC}$ berechnen
Für die Seitenlänge $\overline{AC}$ folgt nun:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC} &=& \sqrt{3}\cdot a &\quad \scriptsize \mid\; a = \sqrt{\frac{400}{\sqrt{3}}}\,\text{cm} \\[5pt] &=& \sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{400}{\sqrt{3}}}\,\text{cm} \\[5pt] &=& \sqrt{\frac{3\cdot 400}{\sqrt{3}}}\,\text{cm} \\[5pt] &=& \sqrt{\sqrt{3}\cdot 400}\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
$ \overline{AC} = \sqrt{\sqrt{3}\cdot 400}\,\text{cm} $
4. Schritt: Wert von $e$ berechnen
Es ist also $\overline{AC} = \sqrt{\sqrt{3}\cdot 400}\,\text{cm}$ und $\overline{AC} = 4\cdot e\cdot \sqrt{3}.$ Setze also gleich:
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{\sqrt{3}\cdot 400}\,\text{cm}&=& 4\cdot e\cdot \sqrt{3} &\quad \scriptsize \mid\; : \sqrt{3} \\[5pt] \sqrt{ \frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 400 }\,\text{cm}&=& 4\cdot e \\[5pt] \sqrt{\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot 400}\,\text{cm}&=& 4\cdot e \\[5pt] \sqrt{\frac{1}{\sqrt{3}}}\cdot 20\,\text{cm}&=& 4\cdot e \\[5pt] \frac{1}{\sqrt[4]{3}}\cdot 20\,\text{cm}&=& 4\cdot e &\quad \scriptsize \mid\;:4 \\[5pt] \frac{5}{\sqrt[4]{3}}\,\text{cm} &=& e \\[5pt] \end{array}$
$ e=\frac{5}{\sqrt[4]{3}}\,\text{cm} $
Für $e=\frac{5}{\sqrt[4]{3}}\,\text{cm}$ beträgt der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ $200\,\text{cm}^2.$

Aufgabe W2

a)
Wahlbereich
Abb. 4: Skizze
Wahlbereich
Abb. 4: Skizze
1. Schritt: Schenkellänge $r$ bestimmen
Die Schenkel dieses Dreiecks reichen vom Kreismittelpunkt bis zur Kreislinie und haben daher die Länge des Kreisradius:
$r= \frac{d_{\text{Kegel}}}{2}=\frac{13,0\,\text{cm}}{2} = 6,5\,\text{cm}.$
2. Schritt: Innenwinkel $\alpha$ berechnen
Die Innenwinkel der acht Dreiecke, die am Kreismittelpunkt liegen, bilden gemeinsam $360^{\circ}.$
$\alpha = 360^{\circ}:8 = 45^{\circ}$
3. Schritt: Seitenlänge $s$ des Dreiecks berechnen
Mit dem Kosinussatz erhältst du nun:
$\begin{array}[t]{rll} s^2&=& r^2 +r^2 -2\cdot r\cdot r \cdot \cos \alpha \\[5pt] s^2&=& (6,5\,\text{cm})^2+ (6,5\,\text{cm})^2 -2\cdot 6,5\,\text{cm}\cdot6,5\,\text{cm}\cdot \cos 45^{\circ} \\[5pt] s&=& \sqrt{(6,5\,\text{cm})^2+ (6,5\,\text{cm})^2 -2\cdot 6,5\,\text{cm}\cdot6,5\,\text{cm}\cdot \cos 45^{\circ}} \\[5pt] s&\approx& 5,0\,\text{cm} \end{array}$
$ s\approx 5,0\,\text{cm} $
4. Schritt: Höhe des Dreiecks berechnen
Wahlbereich
Abb. 5: Skizze
Wahlbereich
Abb. 5: Skizze
5. Schritt: Flächeninhalt eines Dreiecks und der gesamten Pyramidengrundfläche berechnen
Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks folgt nun:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Dreieck}}&=& \dfrac{s\cdot h}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{5,0\,\text{cm} \cdot 6,0\,\text{cm}}{2} \\[5pt] &=& 15\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
Die achteckige Grundfläche hat demnach folgenden Flächeninhalt:
$\begin{array}[t]{rll} G_{\text{Pyramide}}&=& 8\cdot A_{\text{Dreieck}} \\[5pt] &=& 8\cdot 15\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 120\,\text{cm}^2 \end{array}$
6. Schritt: Flächeninhalt der Kegelgrundfläche berechnen
Die Kegelgrundfläche ist ein Kreis mit dem Durchmesser $d_{\text{Kegel}},$ also dem Radius $r = \frac{d_{\text{Kegel}}}{2}=\frac{13,0\,\text{cm}}{2} = 6,5\,\text{cm}.$
Für den Flächeninhalt ergibt sich also:
$\begin{array}[t]{rll} G_{\text{Kegel}}&=& \pi \cdot r^2 \\[5pt] &=& \pi \cdot (6,5\,\text{cm})^2\\[5pt] &\approx& 132,7\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
7. Schritt: Höhe des Kegels und der Pyramide berechnen
Die Höhe der Pyramide stimmt mit der des ursprünglichen Kegels überein. Mit dem angegebenen Volumen und der Formel für das Volumen eines Kegels kannst du diese Höhe berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Kegel}}&=& \frac{1}{3}\cdot G_{\text{Kegel}} \cdot h_{\text{Kegel}} \\[5pt] 500\,\text{cm}^3&=& \frac{1}{3}\cdot 132,7\,\text{cm}^2 \cdot h_{\text{Kegel}} &\quad \scriptsize \mid\; :\left(\frac{1}{3}\cdot 132,7\,\text{cm}^2 \right)\\[5pt] 11,3\,\text{cm}&\approx& h_{\text{Kegel}} \\[5pt] \end{array}$
$ h_{\text{Kegel}} \approx 11,3\,\text{cm} $
Es ist also auch $h_{\text{Pyramide}} \approx 11,3\,\text{cm}.$
8. Schritt: Volumen der Pyramide berechnen
Mit der Formel für das Volumen einer Pyramide folgt:
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Pyramide}}&=& \frac{1}{3} \cdot G_{\text{Pyramide}}\cdot h_{\text{Pyramide}} \\[5pt] &\approx& \frac{1}{3} \cdot 120\,\text{cm}^2\cdot 11,3\,\text{cm} \\[5pt] &=& 452\,\text{cm}^3 \\[5pt] \end{array}$
$ V_{\text{Pyramide}}\approx 452\,\text{cm}^3 $
Das Volumen der entstehenden Pyramide beträgt ca. $452\,\text{cm}^3.$
b)
$\blacktriangleright$  Höhe der Pyramide berechnen
Die Fläche des quadratischen Papiers wird in drei Arten von Flächen aufgeteilt:
  • Die quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge $a$ und der Diagonalen $d.$
  • Die vier Dreiecke, die ausgeschnitten werden müssen und in der Abbildung weiß sind. Diese sind alle gleichgroß und gleichschenklig. Sie besitzen die Basis $b= 20,0\,\text{cm},$ den Winkel $\epsilon = 140^{\circ},$ die beiden Basiswinkel $\beta$ und die Höhe $h.$
  • Die vier dreieckigen Seitenflächen der Pyramide, die in der Abbildung grün sind. Diese sind ebenfalls gleichschenklig. Sie besitzen die Höhe $h_{\text{Seite}}.$
Wahlbereich
Abb. 6: Skizze eines ausgeschnittenen Dreiecks
Wahlbereich
Abb. 6: Skizze eines ausgeschnittenen Dreiecks
2. Schritt: Höhe der ausgeschnittenen Dreiecke berechnen
Die Höhe $h$ eines ausgeschnittenen Dreiecks teilt das Dreieck wiederum in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Die Höhe $h$ ist in einem solchen Teildreieck die Gegenkathete zum Basiswinkel $\beta.$ Die halbe Seite $b$ ist die Ankathete zu $\beta.$ Du kannst also den Sinus verwenden um $h$ zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \beta &=& \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \\[5pt] \tan \beta &=& \dfrac{h}{\frac{b}{2}}\\[5pt] \tan 20^{\circ}&=& \dfrac{h}{\frac{20,0\,\text{cm}}{2}} \\[5pt] \tan 20^{\circ}&=& \dfrac{h}{10,0\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 10,0\,\text{cm}\\[5pt] 3,6\,\text{cm} &\approx& h \end{array}$
$ h\approx 3,6\,\text{cm} $
Wahlbereich
Abb. 7: Skizze der Diagonale
Wahlbereich
Abb. 7: Skizze der Diagonale
4. Schritt: Seitenlängen der quadratischen Grundfläche berechnen
Mit dem Satz des Pythagoras kannst du mithilfe der Diagonale $d$ nun die Seitenlänge $a$ des Quadrats berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} a^2 +a^2 &=& d^2 \\[5pt] 2a^2 &=& (12,8\,\text{cm})^2 \\[5pt] 2a^2 &=& 163,84\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] a^2 &=& 81,92\,\text{cm}^2 \\[5pt] a&\approx& 9,1\,\text{cm} \end{array}$
$ a\approx 9,1\,\text{cm} $
5. Schritt: Diagonale des quadratischen Papiers berechnen
$\begin{array}[t]{rll} b^2 + b^2 &=& d_{\text{Papier}}^2 \\[5pt] (20,0\,\text{cm})^2 + (20,0\,\text{cm})^2 &=& d_{\text{Papier}}^2 \\[5pt] 800 \,\text{cm}^2 &=& d_{\text{Papier}}^2 \\[5pt] 28,3\,\text{cm} &\approx& d_{\text{Papier}} \\[5pt] \end{array}$
$ d_{\text{Papier}}\approx 28,3\,\text{cm} $
Wahlbereich
Abb. 8: Skizze der Seitenhöhen
Wahlbereich
Abb. 8: Skizze der Seitenhöhen
7. Schritt: Pyramidenhöhe berechnen
Die Höhe der Pyramide bildet im aufgebauten Zustand gemeinsam mit der Höhe der Seitenflächen und der halben Seite der quadratischen Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck. Mit dem Satz des Pythagoras kannst du nun also die Höhe der Pyramide berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} h_{\text{Pyramide}}^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2&=& h_{\text{Seite}}^2 \\[5pt] h_{\text{Pyramide}}^2+ \left(\frac{9,1\,\text{cm}}{2}\right)^2 &=& (9,6\,\text{cm} )^2 \\[5pt] h_{\text{Pyramide}}^2 + 20,7025\,\text{cm}^2 &=& 92,16\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\;-20,7025\,\text{cm}^2 \\[5pt] h_{\text{Pyramide}}^2 &=& 71,4575\,\text{cm}^2 \\[5pt] h_{\text{Pyramide}}&\approx& 8,5\,\text{cm} \end{array}$
$ h_{\text{Pyramide}}\approx 8,5\,\text{cm} $
Die Höhe der quadratischen Pyramide beträgt ca. $8,5\,\text{cm}.$

Aufgabe W3

a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung der Parabel bestimmen
Da $p_1$ eine verschobene Normalparabel ist, hat ihre Funktionsgleichung folgende Form:
$p_1(x)= (x-x_S)^2 -y_S$
Dabei sind $(x_S\mid y_S)$ die Koordinaten des Scheitelpunkts. Eine Normalparabel ist immer achsensymmetrisch zur Geraden mit der Gleichung $y = x_S,$ die durch ihren Scheitelpunkt verläuft und parallel zur $y$-Achse ist.
Aus der Abbildung kannst du ablesen, dass $p_1$ die $x$-Achse in den Punkten $P_1(-5\mid 0)$ und $P_2(1\mid 0)$ schneidet. Wegen der Symmetrie, muss die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts genau mittig dazwischen liegen. Also ist $x_S= -2.$ Setzt du diese nun gemeinsam mit den Koordinaten von $P_1$ oder $P_2$ in die Funktionsgleichung ein, so kannst du $y_S$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} p_1(x)&=& (x-(-2))^2 +y_S &\quad \scriptsize \mid\; P_2(1\mid 0) \\[5pt] 0 &=& (1+2)^2 +y_S \\[5pt] 0&=& 9 +y_S &\quad \scriptsize \mid\;-9 \\[5pt] -9&=& y_S \end{array}$
$ y_S=-9 $
Eine Funktionsgleichung von $p_1$ lautet also:
$p_1(x)= (x+2)^2 -9$
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung der Gerade bestimmen
Mithilfe eines Steigungsdreiecks kannst du aus der Abbildung ablesen, dass die Gerade $g$ eine Steigung von $m= 3$ besitzt. Außerdem schneidet sie die $y$-Achse im Punkt $(0\mid 1).$
Eine Funktionsgleichung der Geraden $g$ lautet also:
$g(x)= 3x+1 $
$\blacktriangleright$  Lage des Schnittpunkts prüfen
1. Schritt: Funktionsgleichung von $p_2$ aufstellen
Mit der Scheitelpunktform erhältst du:
$p_2(x)= (x-5)^2-2$
2. Schritt: Schnittpunkt berechnen
$\begin{array}[t]{rll} p_1(x)&=& p_2(x) \\[5pt] (x+2)^2 -9 &=& (x-5)^2-2 \\[5pt] x^2 +4x +4 -9 &=& x^2 -10x +25 -2 \\[5pt] x^2 +4x -5 &=& x^2 -10x +23 &\quad \scriptsize \mid\;-x^2 \\[5pt] 4x-5 &=& -10x +23 &\quad \scriptsize \mid\;+10x \\[5pt] 14x-5 &=& 23 &\quad \scriptsize \mid\; +5\\[5pt] 14x &=& 28 &\quad \scriptsize \mid\; :14\\[5pt] x&=& 2 \end{array}$
$ x=2 $
Die beiden Parabeln schneiden sich an der Stelle $x=2.$ Durch Einsetzen in eine der beiden Funktionsgleichungen erhältst du die zugehörige $y$-Koordinate:
$\begin{array}[t]{rll} p_1(2)&=& (2+2)^2 -9 \\[5pt] &=& 7 \end{array}$
Der Schnittpunkt hat also die Koordinaten $Q(2\mid 7).$
3. Schritt: Punktprobe auf der Geraden durchführen
Für die Gerade $g$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} g(2)&=& 3\cdot 2+1 \\[5pt] &=& 7 \end{array}$
Die Gerade $g$ verläuft also ebenfalls durch den Punkt $Q(2\mid 7).$ Der Schnittpunkt $Q$ der beiden Parabeln liegt also auf der Geraden $g.$
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung der Geraden $h$ berechnen
Die beiden Scheitelpunkte sind $S_1(-2\mid -9)$ und $S_2(5\mid -2).$
1. Schritt: Steigung berechnen
Die Steigung der Geraden $h$ durch diese beiden Punkte kannst du mit dem Differenzenquotienten berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} m_h &=& \dfrac{y_2 - y_1}{ x_2-x_1} \\[5pt] &=& \dfrac{-2-(-9)}{5-(-2)} \\[5pt] &=& \dfrac{7}{7}\\[5pt] &=& 1 \end{array}$
2. Schritt: $y$-Achsenabschnitt berechnen
Durch eine Punktprobe kannst du nun den $y$-Achsenabschnitt $b$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& m\cdot x + b \\[5pt] h(x)&=& 1\cdot x + b&\quad \scriptsize \mid\; S_1(-2\mid -9) \\[5pt] -9&=& 1\cdot (-2) + b &\quad \scriptsize \mid\; +2\\[5pt] -7 &=& b \end{array}$
$ b=-7 $
Eine Funktionsgleichung von $h$ ist also
$h(x) = x-7$
b)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt des Rechtecks berechnen
1. Schritt: Funktionsgleichung der Parabel bestimmen
Mithilfe einer Punktprobe von $S$ erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} -4,5 &=& a\cdot 0^2 +c \\[5pt] -4,5 &=& c \end{array}$
Nun kannst du mithilfe einer Punktprobe von $P(-3\mid 0)$ den Wert von $a$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} p(x) &=& ax^2 +c &\quad \scriptsize \mid\;c = -4,5 \\[5pt] p(x)&=& ax^2 -4,5 &\quad \scriptsize \mid\; P(-3\mid 0)\\[5pt] 0&=& a\cdot (-3)^2 -4,5 &\quad \scriptsize \mid\;+4,5 \\[5pt] 4,5 &=& 9a &\quad \scriptsize \mid\; :9\\[5pt] 0,5 &=& a \end{array}$
$ a=0,5 $
Eine Gleichung der Parabel $p$ lautet also $y= 0,5x^2-4,5.$
2. Schritt: Geradengleichung angeben
Aus den Informationen in der Aufgabe kannst du die Geradengleichung direkt aufstellen:
$g:\quad y = 1,5x +0,5$
3. Schritt: Schnittpunkte berechnen
$\begin{array}[t]{rll} p(x)&=& g(x) \\[5pt] 0,5x^2-4,5&=& 1,5x+0,5 &\quad \scriptsize \mid\;-0,5 \\[5pt] 0,5x^2 -5 &=& 1,5x &\quad \scriptsize \mid\;-1,5x \\[5pt] 0,5x^2 -1,5x -5 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt] x^2 -3x-10 &=&0 &\quad \scriptsize \mid\;pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1/2}&=& -\frac{-3}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{-3}{2}\right)^2 -(-10)} \\[5pt] &=& 1,5\pm 3,5 \\[5pt] x_1&=& 1,5- 3,5 \\[5pt] &=& -2 \\[10pt] x_2&=& 1,5+ 3,5 \\[5pt] &=& 5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -2 \\[10pt] x_2&=& 5 \end{array}$
Einsetzen in die Geradengleichung liefert die zugehörigen $y$-Koordinaten.
$\begin{array}[t]{rll} y_1 &=& 1,5\cdot (-2) +0,5 \\[5pt] &=& -2,5 \\[10pt] y_2 &=& 1,5\cdot 5 +0,5 \\[5pt] &=& 8 \end{array}$
Die Punkte $A$ und $C$ haben also die Koordinaten $A(-2\mid -2,5)$ und $C(5\mid 8).$
4. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Da die Seiten des Rechtecks parallel zur $x$- bzw. $y$-Achse verlaufen, ergeben sich die Seitenlängen aus den Differenzen der $y$- und $x$-Koordinaten von $A$ und $C.$
$\begin{array}[t]{rll} a&=& y_C -y_A \\[5pt] &=& 8-(-2,5) \\[5pt] &=& 10,5 \\[10pt] b&=& x_C-x_A \\[5pt] &=& 5-(-2) \\[5pt] &=&7 \end{array}$
Der Flächeninhalt ergibt sich daher wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& a\cdot b \\[5pt] &=& 10,5\cdot 7 \\[5pt] &=& 73,5 \end{array}$
Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt ca. $73,5$ Flächeneinheiten.

Aufgabe W4

a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Das Bedienen des Zufallsgeräts lässt sich als zweistufiges Zufallsexperiment mit Ziehen mit Zurücklegen betrachten. Die Walzen sind jeweils mit $4+2+1 = 7$ Symbolen beklebt, wovon zwei Glocken sind.
Auf jeder Walze beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Glocke angezeigt wird, also $\frac{2}{7}.$ Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{„zweimal Glocke“})&=& \frac{2}{7} \cdot \frac{2}{7} \\[5pt] &=& \frac{4}{49} \end{array}$
$ … = \frac{4}{49} $
Die Wahrscheinlichkeit für „zweimal Glocke“ beträgt also $\frac{4}{49}.$
$\blacktriangleright$  Erwartungswert berechnen
Um den Erwartungswert berechnen zu können, benötigst du zunächst die Wahrscheinlichkeit für „zweimal Sieben“ und sonstige.
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{„zweimal Sieben“})&=& \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{7} \\[5pt] &=& \frac{1}{49} \\[5pt] P(\text{sonstige})&=& 1- P(\text{„zweimal Glocke“}) - P(\text{„zweimal Sieben“}) \\[5pt] &=& 1- \frac{4}{49} -\frac{1}{49} \\[5pt] &=& \frac{44}{49} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{„zweimal Sieben“})&= \frac{1}{49} \\[5pt] P(\text{sonstige})&= \frac{44}{49} \end{array}$
Für den erwarteten Gewinn eines Spielers gilt dann:
$\begin{array}[t]{rll} E(G) &=& P(\text{„zweimal Glocke“})\cdot \text{Gewinn}(\text{„zweimal Glocke“}) \\[5pt] && +P(\text{„zweimal Sieben“})\cdot \text{Gewinn}(\text{„zweimal Sieben“})\\[5pt] && +P(\text{sonstige})\cdot \text{Gewinn}(\text{sonstige}) - \text{Einsatz pro Spiel} \\[5pt] &=&\frac{4}{49}\cdot 4,00\,€ + \frac{1}{49}\cdot 10,00\,€ + \frac{44}{49}\cdot 0,00\,€ -1,00\,€ \\[5pt] &=& -\frac{23}{49}\,€ \\[5pt] &\approx& -0,47\,€ \end{array}$
$ E(G)\approx -0,47\,€$
Der Erwartungswert beträgt ca. $-0,47\,€.$ Der Spieler macht also im Schnitt $0,47\,€$ Verlust pro Spiel.
$\blacktriangleright$  Neuen Gewinn überprüfen
Du kannst die gleiche Formel wie oben verwenden. Setze nun allerdings $E(G)=-0,47\,€$ fest, setze für $\text{Gewinn}(\text{„zweimal Sieben“})$ eine Unbekannte $x$ ein und ändere den Einsatz auf $1,20\,€ :$
$\begin{array}[t]{rll} E(G) &=& P(\text{„zweimal Glocke“})\cdot \text{Gewinn}(\text{„zweimal Glocke“}) \\[5pt] && +P(\text{„zweimal Sieben“})\cdot \text{Gewinn}(\text{„zweimal Sieben“})\\[5pt] && +P(\text{sonstige})\cdot \text{Gewinn}(\text{sonstige}) - \text{Einsatz pro Spiel} \\[5pt] -0,47\,€&=&\frac{4}{49}\cdot 4,00\,€ + \frac{1}{49}\cdot x + \frac{44}{49}\cdot 0,00\,€ -1,20\,€ \\[5pt] -0,47\,€ &=& -\frac{214}{245} \,€ + \frac{1}{49} \cdot x &\quad \scriptsize \mid\; +\frac{214}{245} \,€ \\[5pt] 0,40\,€ &\approx& \frac{1}{49} \cdot x &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 49\\[5pt] 19,6\,€ &\approx& x \end{array}$
$ x\approx 19,6\,€ $
Der Gewinn für „zweimal Sieben“ müsste also ca. $20\,€$ betragen. Merle hat recht.
b)
$\blacktriangleright$  Parabelgleichung angeben
Du kannst beispielsweise den Abschlagspunkt als Koordinatenursprung wählen und je Meter eine Einheit im Koordinatensystem verwenden.
Der Scheitelpunkt der Parabel ist der Punkt mit der höchsten Flughöhe des Balls. Der Scheitelpunkt hat dann also die Koordinaten $S(95\mid 25).$
Mithilfe der Scheitelpunktform hat die Parabel $p$ dann folgende vorläufige Gleichung:
$p(x)= a\cdot(x-95)^2 +25 $
Den Parameter $a$ musst du nun mithilfe einer Punktprobe so bestimmen, dass der Abschlagspunkt, also der Koordinatenursprung $(0\mid 0)$ auf der Parabel liegt.
$\begin{array}[t]{rll} p(x) &=& a\cdot (x-95)^2 +25 &\quad \scriptsize \mid\;p(0)=0 \\[5pt] 0&=& a\cdot (0-95)^2 +25 \\[5pt] 0&=& a\cdot 9.025 +25 &\quad \scriptsize \mid\;-25 \\[5pt] -25 &=& a\cdot 9.025 &\quad \scriptsize \mid\;:9.025 \\[5pt] -\frac{1}{361}&=& a \end{array}$
$ a=-\frac{1}{361} $
Eine Gleichung der zugehörigen Parabel lautet also $p(x)= -\frac{1}{361} \cdot (x-95)^2 +25.$
$\blacktriangleright$  Abstand zur Baumspitze bestimmen
Die Flughöhe des Balles an der Stelle des Baumes wird durch $p(45)$ beschrieben:
$\begin{array}[t]{rll} p(45)&=& -\frac{1}{361} \cdot (45-95)^2 +25 \\[5pt] &\approx& 18,07 \\[5pt] \end{array}$
$ p(45)\approx 18,07$
Über dem Baum befindet sich der Ball also in einer Höhe von $18,07\,\text{m}$ über dem Erdboden. Der Baum ist $15\,\text{m}$ hoch. Der Ball überfliegt die Baumspitze also mit einem Abstand von ca. $3,07\,\text{m}.$
$\blacktriangleright$  Entfernung zum Loch berechnen
Berechne, an welcher Stelle der Ball die Flughöhe $2\,\text{m}$ erreicht, also für welches $x$ die Parabel den Funktionswert $2$ annimmt:
$\begin{array}[t]{rll} p(x)&=& -\frac{1}{361} \cdot (x-95)^2 +25 &\quad \scriptsize \mid\; p(x)=2 \\[5pt] 2 &=& -\frac{1}{361} \cdot (x-95)^2 +25 &\quad \scriptsize \mid\;-25 \\[5pt] -23 &=& -\frac{1}{361} \cdot (x-95)^2 &\quad \scriptsize \mid\;:\left(-\frac{1}{361} \right) \\[5pt] 8.303 &=& (x-95)^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] \pm \sqrt{8.303}&=& x-95 &\quad \scriptsize \mid\; +95\\[5pt] 95 \pm \sqrt{8.303} &=& x \\[5pt] \end{array}$
$ x=95 \pm \sqrt{8.303} $
Für die beiden Stellen ergibt sich also:
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 95-\sqrt{8.303} \\[5pt] &\approx& 3,88 \\[10pt] x_2&=& 95+\sqrt{8.303} \\[5pt] &\approx& 186,12 \end{array}$
Der erste Wert gibt den ersten Punkt nach dem Abschlag an, zu dem der Ball eine Höhe von $2\,\text{m}$ erreicht, zu der Zeit wo er noch auf dem Weg zu seinem höchsten Punkt ist. Der zweite Wert gibt den gesuchten Auftreffpunkt an.
Das Loch befindet sich an der Stelle $x=180.$ Der Ball trifft also in einer Entfernung von ca. $6,12 \,\text{m}$ zum Loch auf der höhergelegenen Ebene auf.
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[8]
© – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App