Wahlteil B

Aufgabe 1

Gegeben sind das rechtwinklige Dreieck $ABC$ und das gleichschenklige Dreieck $ADE.$

Es gilt:

$\overline{AB}=13,2\,\text{cm}$
$\alpha=55,0^\circ$
$\overline{CE}=8,0\,\text{cm}$
$\overline{AE}=\overline{DE}$

Berechne die Länge von $\overline{DF}.$
Berechne den Umfang des Vierecks $ABFE.$

(5 P)

Die Punkte $A(1\mid -8)$ und $B(3\mid -8)$ liegen auf einer nach oben geöffneten verschobenen Normalparabel $p.$

Gib die Funktionsgleichung der Parabel $p$ in der Normalform $y=x^2+bx+c$ an.

Die Schnittpunkte der Parabel $p$ mit der $x$ -Achse und die Punkte $A$ und $B$ bilden ein Viereck.

Berechne den Flächeninhalt dieses Vierecks.

Die Geraden $g$ und $h$ verlaufen jeweils auf den Diagonalen des Vierecks.
Sie schneiden sich im Punkt $Q.$

Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes $Q.$

Aufgabe 2

Der Punkt $A(-4\mid -1)$ liegt auf der Parabel $p_1$ mit der Funktionsgleichung $y=x^2+bx+7.$ Die Gerade $g$ schneidet die Parabel $p_1$ im Punkt $A$ und im Scheitelpunkt $S_1.$

Berechne die Funktionsgleichungen der Parabel $p_1$ und der Geraden $g.$

Durch Spiegelung des Scheitelpunkts $S_1$ an der $y$ -Achse entsteht der Punkt $S_2.$ $S_2$ ist der Scheitelpunkt einer nach oben geöffneten verschobenen Normalparabel $p_2.$

Gib die Funktionsgleichung von $p_2$ in der Form $y=x^2+bx+c$ an.

Der Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der $y$ -Achse ist der Scheitelpunkt $S_3$ der Parabel $p_3.$ Die Parabel $p_3$ der Form $y=ax^2+c$ geht außerdem durch die Scheitelpunkte $S_1$ und $S_2.$

Berechne die Funktionsgleichung der Parabel $p_3.$

(5 P)

In einer quadratischen Pyramide liegt das gleichschenklige Dreieck $EFS.$

Ein geometrisches Diagramm eines Pyramidenmodells mit beschrifteten Punkten und Linien.

Es gilt:

$\overline{AB}=\overline{EF}=12,6\,\text{cm}$
$\alpha=72,0^\circ$
$\overline{EF}\mid\mid\overline{AC}$

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $EFS.$
Berechne das Volumen der quadratischen Pyramide.

Aufgabe 3

Zehn gleich große Karten sind mit vier verschiedenen Symbolen (Handball, Radfahren, Laufen, Fußball) bedruckt.

Bilder von Sport-Icons, die verschiedene Aktivitäten wie Laufen, Radfahren und Fußball darstellen.

Sie sind nach den vier Symbolen in Stapeln sortiert (siehe Abbildung).
Die Karten werden gemischt und verdeckt auf den Tisch gelegt.
Sie werden für ein Glücksspiel eingesetzt.
Dabei werden zwei Karten gleichzeitig gezogen.
Für das Spiel wird der abgebildete Gewinnplan geprüft.

Ereignis	Gewinn
zweimal	9,00 €
und	6,00 €
und	3,00 €
andere Ereignisse	kein Gewinn
Einsatz pro Spiel: 1,00 €

Berechne den Erwartungswert.

Der Veranstalter möchte langfristig pro Spiel einen Erlös von $0,50$ $\text{€}$ erzielen.

Wie hoch muss dann der Gewinn für " und " sein, wenn alles andere unverändert bleibt?

(5 P)

Die Flugbahn eines Speers ist nahezu parabelförmig.

Grafik eines Athleten, der einen Speer wirft, mit einer Trajektorie und einem Bezugspunkt A.

(Skizze nicht maßstabsgetreu)

Der Abwurfpunkt A liegt 1,80 m über der Abwurflinie.
Der Speer erreicht nach 20 m, in horizontaler Richtung von der Abwurflinie gemessen, seine maximale Höhe von 9,80 m.

Berechne eine mögliche Funktionsgleichung der Flugkurve des Speers.
Wie weit fliegt der Speer?

Ein zweiter Wurfversuch kann mit der Funktionsgleichung $y=-\frac{1}{30}x^2+13$ beschrieben werden. Die Wurfweite beträgt 38,15 m.

Gib die Höhe dieses Abwurfpunktes an.

Aufgabe 4

Die Gerade $g$ und die verschobene Normalparabel $p$ gehen durch die beiden Punkte $A(2\mid 3)$ und $B(6\mid 11).$
Der Punkt $C(4\mid y_c)$ liegt auf der Parabel $p.$
Die Gerade $h$ steht senkrecht auf $g$ und geht durch $C.$
Die Gerade $h$ schneidet die beiden Koordinatenachsen in den Punkten $P$ und $Q.$

Berechne die Koordinaten von $P$ und $Q.$

(5 P)

Ein DIN-A4-Blatt hat die Eckpunkte $A$ , $B$ , $C$ und $D.$

Grafik eines Rechtecks mit den Maßen 29,7 cm x 21,0 cm und beschrifteten Ecken A, B, C, D.

Diagramm mit zwei Formen und Pfeilen, die Drehungen anzeigen, beschriftet mit Buchstaben und Punkten.

Die Punkte $M_1$ und $M_2$ halbieren die Seitenlängen des DIN-A4-Blatts.
Das DIN-A4-Blatt wird wie abgebildet gefaltet. Der Punkt $A$ wird zu $\(A$ und liegt nach dem Falten auf $M_1.$
Der Punkt $C$ wird zum Punkt $\(C$ Die beiden Papierkanten stoßen entlang von $\overline{M_1F}$ aneinander.

Berechne die Flächeninhalte des Dreiecks $EM_1D$ und des Vierecks $\(FBM_2C$ .

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Lösung 1

Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{DF}}$ berechnen

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AE}}$ berechnen

Dazu wird zunächst die Länge der Strecke $\overline{AC}$ berechnet:
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot\overline{AC}\;\\[5pt] \cos(\alpha)\cdot \overline{AC}&=&\overline{AB} \quad \scriptsize \mid\; :\cos(\alpha) \\[5pt] \overline{AC}&=&\dfrac{\overline{AB}}{\cos(\alpha)}\\[5pt] \overline{AC} &=&\dfrac{13,2\,\text{cm}}{\cos(55^\circ)}\\[5pt] \overline{AC} &=& 23,01\,\text{cm} \end{array}$

Damit kann nun die Länge der Strecke $\overline{AE}$ berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AE}&=& \overline{AC}-\overline{CE} \\[5pt] &=& 23,01\,\text{cm}-8,0\,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{ 15,01\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{DF}}$ berechnen

Das Dreieck $ECF$ ist gleichschenklig.

Begründung:
1. $\sphericalangle ECF=\sphericalangle ACB=180^\circ-90^\circ-55^\circ$ $=35^\circ$
2. $\sphericalangle AED=180^\circ-55^\circ-55^\circ=70^\circ$
3. $\sphericalangle FEC=180^\circ-70^\circ=110^\circ$
4. $\sphericalangle CFE=180^\circ-110^\circ-35^\circ=35^\circ$

Daraus folgt: $\overline{EF}=\overline{CE}=8,0\,\text{cm}$

Da das Dreieck $ADE$ gleichschenklig ist, gilt: $\overline{DE}=\overline{AE}=15,01\,\text{cm}$

Damit kann nun die Länge der Strecke $\overline{DF}$ berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{DF}&=& \overline{DE}-\overline{EF} \\[5pt] &=& \overline{AE}-\overline{EF} \\[5pt] &=& 15,01\,\text{cm}-8,0\,\text{cm} \\[5pt] &=& 7,01\,\text{cm}\\[5pt] &=& \underline{\underline{ 7\,\text{cm}}} \end{array}$

Umfang des Vierecks $\boldsymbol{ABFE}$ berechnen

1. Schritt: Länge der Strecke $\overline{BF}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=& \dfrac{\overline{BF}}{\overline{DF}}\quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{DF} \\[5pt] \sin(\alpha)\cdot\overline{DF} &=& \overline{BF}\\[5pt] \sin(55^\circ)\cdot 7\,\text{cm} &=& \overline{BF}\\[5pt] 5,73\,\text{cm} &\approx& \overline{BF}\\ \overline{BF} &\approx&\underline{ 5,73\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Umfang berechnen

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} u&=&\overline{AB}+\overline{BF}+\overline{EF}+\overline{AE} \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 41,9\,\text{cm} }}\end{array}$

Funktionsgleichung der Parabel angeben

$p:y=x^2+bx+c$

$A$ und $B$ in $p$ eingesetzt, ergibt ein lineares Gleichungssystem:

Rechenweg anzeigen

$b=-4$

$b=-4$ in $\(\text{I$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} 8&=& -1-(-4)-c \quad \scriptsize \\[5pt] 8&=& 3-c \quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt] 5&=& -c \quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1)\\[5pt] -5&=& c \quad \scriptsize \\[5pt] c&=& -5 \end{array}$

Die Funktionsgleichung der Parabel lautet $\underline{\underline{ p:y=x^2-4x-5}}.$

Flächeninhalt des Vierecks berechnen

Schnittpunkte mit der $x$ -Achse berechnen:

Rechenweg anzeigen

$x_1=-1$
$x_2=5$

$S_1(-1\mid 0)$ , $S_2(5\mid 0)$

Es handelt sich um ein Trapez mit folgendem Flächeninhalt:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{a+c}{2}\cdot h \\[5pt] &=& \dfrac{6\,\text{LE}+2\,\text{LE}}{2}\cdot 8\,\text{LE} \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 32\,\text{FE}}} \end{array}$

Koordinaten des Schnittpunkts $\boldsymbol{Q}$ berechnen

Gerade $g$ aufstellen:

$g:y=m_gx+c_g$

$A(1\mid -8)$ und $S_2(5\mid 0)$ in $g$ eingesetzt, ergibt ein lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&-8&=&m_g\cdot 1 + c_g \\ \text{II}\quad&0&=&m_g\cdot 5+c_g \quad \scriptsize\mid \text{I}-\text{II} \\ \hline \quad& -8&=& -4m_g \quad \scriptsize\mid :(-4)\\ \quad & 2&=& m_g \\ \quad & m_g&=& 2 \\ \end{array}$

$m_g=2$ in $\text{I}$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} -8&=& 2+c_g \quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] -10 &=& c_g\\ c_g&=& -10 \end{array}$

Daraus folgt: $\underline{ g:y=2x-10}$

Wahlteil B Koordinatensystem Viereck Graphen

Gerade $h$ aufstellen:

Die Steigung von $h$ ist durch die Symmetrie gegeben: $m_h=-2.$

$\begin{array}[t]{rll} h:y&=& -2x+c_h\quad \scriptsize \mid\;S_1(-1|0)\\[5pt] 0&=& -2 \cdot (-1)+c_h \\[5pt] 0&=& 2+c_h \quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] -2&=& c_h \\[5pt] c_h&=& -2 \end{array}$

Daraus folgt: $\underline{ h:y=-2x-2}$

$g$ und $h$ gleichsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} 2x-10&=&-2x-2 \quad \scriptsize\mid +10 \\[5pt] 2x&=&-2x+8 \quad \scriptsize \mid\;+2x \\[5pt] 4x&=&8\quad\scriptsize\mid :4\\[5pt] x&=&2 \end{array}$

$x=2$ in $g$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& 2 \cdot 2 -10 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& -6 \end{array}$

Daraus folgt: $\underline{\underline{ Q(2\mid -6)}}$

Lösung 2

Funktionsgleichungen berechnen

Funktionsgleichung von $p_1$ aufstellen:

$A(-4\mid -1)$ in $p_1$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+ bx+7 \quad \mid\scriptsize A(-4\mid -1) \\[5pt] -1&=& (-4)^2+b\cdot (-4)+7\quad \\[5pt] -1&=& 23-4b\scriptsize \quad \mid\;-23 \\[5pt] -24 &=& -4b \quad \scriptsize \mid\;:(-4) \\[5pt] 6&=&b \\ b&=&6 \end{array}$

Daraus folgt: $\underline{\underline{ p_1:y=x^2+6x+7}}$

Funktionsgleichung von $g$ aufstellen

Scheitelpunkt $S_1$ durch quadratische Ergänzung bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+6x+7 \\[5pt] &=& x^2+2\cdot 3\cdot x+7 \\[5pt] &=& x^2+2\cdot 3\cdot x+3^2-3^2+7 \\[5pt] &=& (x+3)^2-9+7 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& (x+3)^2-2 \end{array}$

Somit gilt: $S_1(-3\mid -2)$

$A(-4\mid -1)$ und $S_1(-3\mid -2)$ in die allgemeine Geradengleichung $y=mx+c$ eingesetzt, ergibt ein lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&-1&=& m\cdot (-4) + c \quad \scriptsize \mid\; \text{I}-\text{II}\\ \text{II}\quad&-2&=& m\cdot (-3) + c \\ \hline \quad& 1&=& -m \quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1)\\ \quad& m&=& -1 \\ \end{array}$

$m=-1$ in $\text{I}$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} -1&=& -1\cdot (-4)+c &\quad \scriptsize \\[5pt] -1&=& 4+c \quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt] -5 &=& c\\ c &=& -5 \end{array}$

Daraus folgt: $\underline{\underline{ g:y=-x-5}}$

Funktionsgleichung von $\boldsymbol{p_2}$ angeben

Durch Spiegelung von $S_1(-3\mid -2)$ an der $y$ -Achse gilt: $S_2(3\mid -2)$

Mit Hilfe der Scheitelpunktform lässt sich $p_2$ aufstellen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& (x-3)^2-2 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& x^2-6x+9-2 \\[5pt] &=& x^2-6x+7 \end{array}$

Es gilt also $\underline{\underline{ p_2: y=x^2-6x+7}}.$

Funktionsgleichung von $\boldsymbol{p_3}$ berechnen

Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der $y$ -Achse berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& -x-5 \quad \scriptsize \mid\;x=0 \\[5pt] y&=& 0-5 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& -5 \end{array}$

Daraus folgt: $S_3(0\mid -5)$ und $c=-5$

$S_2(3\mid -2)$ in $p_3$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& ax^2+c \quad \scriptsize \mid\; S_2(3\mid -2) \\[5pt] -2&=& a\cdot 3^2-5 \quad \scriptsize \mid\; +5\\[5pt] 3&=& a\cdot 9 \quad \scriptsize \mid\; :9\\[5pt] \dfrac{3}{9}&=& a \\[5pt] \dfrac{1}{3}&=& a \\[5pt] a&=& \dfrac{1}{3} \end{array}$

Daraus folgt: $\underline{\underline{ p_3:y=\dfrac{1}{3}x^2-5}}$

Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{EFS}$ berechnen

Formel zur Berechnung des Flächeninhalts: $A=\dfrac{1}{2}\cdot \overline{EF}\cdot h_G$

1. Schritt: Länge der Strecke $\overline{EG}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{EG}&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{EF}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot 12,6\,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{ 6,3\,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $h_G$ berechnen

Rechenweg anzeigen

$\underline{ h_G=19,39}$

3. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_{EFS}&=& \dfrac{1}{2}\cdot 12,6\,\text{cm}\cdot 19,39\,\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] & =& 122,16\,\text{cm}^2 \\[5pt] & =& \underline{\underline{ 122,2\,\text{cm}^2}} \end{array}$

Volumen der quadratischen Pyramide berechnen

Formel zur Berechnung des Volumens: $V=\dfrac{1}{3}\cdot \overline{AB}^2\cdot h$

1. Schritt: Länge der Strecke $\overline{AC}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}^2&=& \overline{AB}^2+\overline{BC}^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] \overline{AC} &=& \sqrt{\overline{AB}^2+\overline{BC}^2} \\[5pt] \overline{AC} &=& \sqrt{(12,6\,\text{cm})^2+(12,6\,\text{cm})^2} \\[5pt] \overline{AC}&=& \underline{ 17,82\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Länge von $\overline{MB}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{MB}=\overline{AM}&=& \dfrac{1}{2}\cdot \overline{AC}&\\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 17,82 \,\text{cm} \\[5pt] &=&\underline{ 8,91 \,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\overline{GB}$ mit dem Zweiten Strahlensatz berechnen

Rechenweg anzeigen

$\overline{GB} = \underline{ 6,3\,\text{cm}}$

4. Schritt: Länge der Strecke $\overline{MG}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{MG}&=& \overline{MB}-\overline{GB} \\[5pt] &=& 8,91\,\text{cm}-6,3\,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{ 2,61\,\text{cm}} \end{array}$

5. Schritt: Länge der Strecke $h$ berechnen

Rechenweg anzeigen

$h=\underline{ 19,21 \,\text{cm}}$

6. Schritt: Volumen berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V &=& \dfrac{1}{3}\cdot \overline{AB}^2\cdot h \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot (12,6\,\text{cm})^2\cdot 19,21\,\text{cm} \\[5pt] &=& 1016,59\,\text{cm}^3 \\[5pt] V &=& \underline{\underline{ 1016,6\,\text{cm}^3}} \end{array}$

Lösung 3

Erwartungswert berechnen

$P(\text{zweimal}$ $)$ $=\dfrac{2}{10}\cdot \dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{45}$
$P($ und $)$ $=\dfrac{2}{10}\cdot \dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10}\cdot \dfrac{2}{9}=\dfrac{2}{45}$
$P($ und $)$ $=\dfrac{3}{10}\cdot \dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10}\cdot \dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{15}$

Rechenweg anzeigen

$\underline{\underline{ E=-0,33\,€}}$

Wie hoch muss der Gewinn für " und " sein, wenn alles andere unverändert bleibt?

Rechenweg anzeigen

$x=\underline{\underline{ 2,25\,€ }}$

Funktionsgleichung berechnen

Parabelform: $y=ax^2+c$

$c=9,8,$ daher gilt: $y=ax^2+9,8$

Punkt $A(-20\mid 1,8)$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} 1,8&=& a \cdot (-20)^2+9,8 \quad \scriptsize \mid\; -9,8\\[5pt] -8&=& a \cdot 400 \quad \scriptsize \mid\; :400\\[5pt] -0,02&=& a\\ a&=& -0,02 \end{array}$

Eine mögliche Funktionsgleichung lautet also: $\underline{\underline{ y=-0,02x^2+9,8}}$

Wie weit fliegt der Speer?

Nullstellen der Parabel berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} -0,02x^2+9,8&=& 0 \quad \scriptsize \mid\; -9,8 \\[5pt] -0,02x^2&=& -9,8 \quad \scriptsize \mid\; :(-0,02)\\[5pt] x^2&=& 490 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x_1&=& -22,14 \\[5pt] x_2&=& +22,14 \end{array}$

Der Speer stößt also am Punkt $N(22,14\mid 0)$ auf dem Boden auf.

Wurfweite $w$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} w&=& x_N -x_A &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 22,14 - (-20) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 42,14\\[5pt] w&=& \underline{\underline{ 42,1}} \end{array}$

Der Speer fliegt also $\underline{\underline{ 42,1 \,\text{m}}}$ weit.

Höhe des Abwurfpunktes angeben

Nullstellen der Parabel berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} -\dfrac{1}{30}\cdot x^2+13&=&0 \quad \scriptsize \mid\; -13 \\[5pt] -\dfrac{1}{30}\cdot x^2&=&-13 \quad \scriptsize \mid\; :\left(-\dfrac{1}{30}\right)\\[5pt] x^2&=& 390\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x_1&=& -19,75\\[5pt] x_2&=& +19,75 \end{array}$

$x$ -Koordinate des Abwurfspunkts berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} x_{A2}&=& x_2- \,\text{Wurfweite} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 19,75- 38,15 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& -18,4 \end{array}$

$y$ -Koordinate des Abwurfspunkts berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=&-\dfrac{1}{30}x^2+13 \quad \scriptsize \mid\; x_{A2}=-18,4\\[5pt] y&=&-\dfrac{1}{30}\cdot (-18,4)^2+13 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 1,71 \\[5pt] y&=& \underline{\underline{ 1,7}} \end{array}$

Der Abwurfpunkt befindet sich auf einer Höhe von ungefähr $\underline{\underline{ 1,7 \,\text{m}}}.$

Lösung 4

Parabelgleichung $\boldsymbol{p}$ ermitteln

$A(2\mid 3)$ und $B(6\mid 11)$ in die allgemeine Parabelform $y=x^2+bx+c$ eingesetzt ergibt ein lineares Gleichungssystem:

Rechenweg anzeigen

$b=-6$

$b=-6$ in $\( \text{I$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} 3&=& 4+2\cdot (-6)+c \quad \scriptsize \\[5pt] 3&=& -8+c \quad \scriptsize \mid\;+8\\[5pt] 11&=& c \\[5pt] c&=& 11 \end{array}$

Somit gilt: $\underline{\underline{ p: y=x^2-6x+11}}$

$\boldsymbol{y}$ -Koordinate von Punkt $\boldsymbol{C}$ bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2-6x+11 \quad \scriptsize \mid\;C(4\mid y_c) \\[5pt] y_c &=&4^2-6\cdot 4+11 &\quad \scriptsize \\[5pt] y_c &=& 16-24+11 &\quad \scriptsize \\[5pt] y_c&=& 3 \end{array}$

Somit gilt: $\underline{\underline{ C(4\mid 3)}}$

Geradengleichung $\boldsymbol{h}$ ermitteln

1. Schritt: Steigungsfaktor $\boldsymbol{m_g}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} m_g&=& \dfrac{y_A-y_B}{x_A-x_B}&\quad \scriptsize \\[5pt] m_g&=& \dfrac{3-11}{2-6}&\quad \scriptsize \\[5pt] m_g&=& \dfrac{-8}{-4}&\quad \scriptsize \\[5pt] m_g&=& \underline{ 2} \end{array}$

2. Schritt: Steigungsfaktor $\boldsymbol{m_h}$ berechnen

Da $h$ senkrecht zu $g$ liegt, gilt:
$\begin{array}[t]{rll} m_h\cdot m_g&=& -1 \quad \scriptsize \mid\; :m_g \\[5pt] m_h&=&\dfrac{-1}{m_g} \quad \scriptsize \mid\; m_g=2 \\[5pt] m_h &=& \underline{ -\dfrac{1}{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: $y$ -Achsenabschnitt $\boldsymbol{c_h}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} y&=& m_h\cdot x+c_h \quad \scriptsize \mid\; m_h=-\dfrac{1}{2}\\[5pt] y&=& -\dfrac{1}{2}\cdot x+c_h \quad \scriptsize \mid \, C (4\mid 3)\\[5pt] 3&=& -\dfrac{1}{2}\cdot 4+c_h \\[5pt] 3&=& -2+c_h \quad \scriptsize \mid\; +2\\[5pt] 5&=& c_h\\ c_h&=&\underline{ 5} \end{array}$

Somit gilt: $\underline{\underline{ h:y= -\dfrac{1}{2}x+5}}$

Skizze

koordinatensystem, realschule, schnittpunkt berechnen, gerade, parabel

Koordinaten von Punkt $\boldsymbol{P}$ berechnen

Da $P$ auf der $x$ -Achse liegt, gilt $y=0.$

$\begin{array}[t]{rll} y&=& -\dfrac{1}{2}x+5 \quad \scriptsize \mid\; y=0 \\[5pt] 0&=& -\dfrac{1}{2}x+5 \quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{1}{2}x\\[5pt] \dfrac{1}{2}x&=& 5 \quad \scriptsize \mid\; \cdot 2\\[5pt] x&=& 10 \end{array}$

Somit gilt: $\underline{\underline{ P (10\mid 0)}}$

Koordinaten von Punkt $\boldsymbol{Q}$ berechnen

Da $Q$ auf der $y$ -Achse liegt, gilt $x=0.$

$\begin{array}[t]{rll} y&=& -\dfrac{1}{2}x+5 \quad \scriptsize \mid\; x=0\\[5pt] y &=&-\dfrac{1}{2}\cdot 0+5 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 5 \end{array}$

Somit gilt: $\underline{\underline{ Q (0\mid 5)}}$

Flächeninhalt des Dreicks $\boldsymbol{EM_1D}$ berechnen

Formel zur Berechnung des Flächeninhalts: $A_{EM_1D}=\dfrac{1}{2}\cdot \overline{M_1D}\cdot \overline{DE}$

1. Schritt: Länge der Strecke $\overline{M_1D}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{M_1D}&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{CD} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 29,7\,\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \underline{ 14,85\,\text{cm} } \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\overline{DE}$ berechnen

Länge der Strecke $\overline{M_2C}$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{M_2C}&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{BC} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 21\,\text{cm} \\[5pt] &=& 10,5\,\text{cm} \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{CM_1}$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CM_1}&=& \overline{M_1D}\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 14,85\,\text{cm} \end{array}$

Größe des Winkels $\alpha_1$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha_1)&=& \dfrac{\overline{M_2C}}{\overline{CM_1}} \quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \alpha_1&=& \tan^{-1}\left(\dfrac{\overline{M_2C}}{\overline{CM_1}}\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha_1&=& \tan^{-1}\left(\dfrac{10,5}{14,85}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha_1&=& 35,26^{\circ} \end{array}$

Größe des Winkels $\alpha$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \alpha&=& 2\cdot \alpha_1 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2\cdot 35,26^{\circ} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 70,52^{\circ} \end{array}$

Größe des Winkels $\beta$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \beta&=& 180^{\circ}-90^{\circ}-\alpha &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 180^{\circ}-90^{\circ}- 70,52^{\circ} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 19,48^{\circ} \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{DE}$ berechnen:

Rechenweg anzeigen

$\underline{ \overline{DE} = 5,25\,\text{cm}}$

3. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_{EM_1D}&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{M_1D}\cdot \overline{DE} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 14,85\,\text{cm} \cdot 5,25\,\text{cm} \\[5pt] &=& 38,98\,\text{cm} ^2 \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 39\,\text{cm} ^2 }} \end{array}$

Flächeninhalt des Vierecks $\(\boldsymbol{FBM_2C$ berechnen

Formel zur Berechnung des Flächeninhalts: $\(A_{FBM_2C$

1. Schritt: Flächeninhalt des Dreiecks $M_1M_2C$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_{M_1M_2C}&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{M_2C}\cdot \overline{CM_1} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 10,5\,\text{cm} \cdot 14,85\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &= & \underline{ 77,96 \,\text{cm}^2} \end{array}$

2. Schritt: Flächeninhalt des Trapezes $A_{FBCM_1}$ berechnen

Formel zur Berechnung des Flächeninhalts: $A_{FBCM_1}=\dfrac{1}{2}\cdot (\overline{CM_1}+\overline{BF})\cdot \overline{BC}$

Länge der Strecke $\overline{BF}$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha) &=&\dfrac{\overline{FR}}{\overline{RM_1}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{RM_1} \\[5pt] \tan(\alpha)\cdot \overline{RM_1} &=& \overline{FR} \quad \scriptsize \mid\; : \tan(\alpha) \\[5pt] \overline{RM_1} &=& \dfrac{\overline{FR} }{\tan(\alpha)} \quad \scriptsize \\[5pt] \overline{RM_1} &=& \dfrac{21\,\text{cm} }{\tan(70,52^{\circ} )} \quad \scriptsize \\[5pt] \overline{RM_1}&=& 7,43\,\text{cm} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CR}&=&\overline{CM_1}-\overline{RM_1} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 14,85\,\text{cm} - 7,43\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 7,42\,\text{cm} = \overline{BF} \end{array}$

Es gilt also:

$A_{FBCM_1}=\dfrac{1}{2}\cdot (\overline{CM_1}+\overline{BF})\cdot \overline{BC}$

Rechenweg anzeigen

$A_{FBCM_1} = \underline{ 233,84\,\text{cm}^2 }$

3. Schritt: Flächeninhalt des Vierecks $\(\boldsymbol{FBM_2C$ berechnen

Rechenweg anzeigen

$\( A_{FBM_2C$

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