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Aufgaben
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Aufgabe P1

Abb. 1: Dreieck $ABC$
Abb. 1: Dreieck $ABC$
(4P)
#rechtwinkligesdreieck

Aufgabe P2

Abb. 2: Quadrat $ABCD$
Abb. 2: Quadrat $ABCD$
(4P)
#gleichschenkligesdreieck#rechtwinkligesdreieck

Aufgabe P3

Abb. 3: zusammengesetzter Körper
Abb. 3: zusammengesetzter Körper
(4,5P)
#pyramide#zylinder

Aufgabe P4

Max und Nele spielen ein Würfelspiel.
Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen.
Die beiden Augenzahlen werden addiert (Augensumme).
Gewonnen hat der Spieler mit der größeren Augensumme.
Überprüfe die Aussage:
„Die Wahrscheinlichkeit für Augensumme $6$ ist größer als die Wahrscheinlichkeit für Augensumme $9$.“
Begründe deine Antwort durch eine Rechnung oder Argumentation.
Max hat eine $5$ und eine $3$ geworfen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Nele mit dem nächsten Wurf das Spiel gewinnt?
(3,5P)
#wahrscheinlichkeit

Aufgabe P5

Abb. 4: Parabel $p$
Abb. 4: Parabel $p$
(3,5P)
#parabel#koordinaten#parabelgleichung

Aufgabe P6

Löse die Gleichung:
$(2x-1)(2x+1)-x(x-2)=(x-5)^2+6$
(3,5P)
#gleichung

Aufgabe P7

Bei dem Reiseveranstalter Holiday wurden im Jahr $2015$ insgesamt $54 000$ Reisen gebucht.
Das Balkendiagramm zeigt die Verteilung der Reisen.
Im Kreisdiagramm sind die Reisen innerhalb Deutschlands dargestellt.
Wie viele Reisen nach Österreich wurden gebucht ?
Innerhalb Deutschlands ist Bayern das beliebteste Ziel.
Wie viele Reisen gingen nach Bayern?
Es wurden $704$ Reisen in die USA gebucht.
Wie hoch ist der prozentuale Anteil der Reisen in die USA an den „sonstigen“ Urlaubszielen?
(3,5P)
#anteil

Aufgabe P8

Die Klasse $10a$ der Mörike-Realschule hat eine Klassenarbeit geschrieben.
Abb. 7: Verteilung der Ergebnisse der Klasse $10a$
Abb. 7: Verteilung der Ergebnisse der Klasse $10a$
Welcher der beiden folgenden Boxplots zeigt die oben gezeigte Verteilung der Ergebnisse der Klasse $10a$?
Abb. 8: Boxplot $(1)$ und $(2)$
Abb. 8: Boxplot $(1)$ und $(2)$
Begründe deine Entscheidung mit Hilfe geeigneter Kennwerte.
Die Klasse $10b$ mit $29$ Schülerinnen und Schülern hat die gleiche Klassenarbeit geschrieben.
Das andere Boxplot zeigt die Verteilung der Ergebnisse dieser Klasse.
Für die Punktzahen $9$ und $10$ fehlen im folgenden Diagramm die Säulen.
Zeichne eine mögliche Lösung in das untere Diagramm ein.
Abb. 9: Verteilung der Ergebnisse der Klasse $10b$
Abb. 9: Verteilung der Ergebnisse der Klasse $10b$
(3,5P)
#diagramm#boxplot#verteilung
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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Aufgabe P1

$\blacktriangleright$  Umfang berechnen
Um den Umfang des Dreiecks $ABF$ zu berechnen, fehlen dir noch die Längen der Seitenlängen $\overline{AB}$ und $\overline{FA}$.
1. Schritt: Berechung der Länge der Seite $\boldsymbol{\overline{AB}}$
Die Seitenlänge $\overline{AB}$ berechnest du am einfachsten über die Sinusbeziehung $\sin(\alpha)=\dfrac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$,
welche für alle rechtwinkligen Dreiecke gilt.
In deinem Fall ist die Gegenkathete gegeben mit $\overline{BC}=5,8\text{ cm} $
Um die Hypotenuse $\overline{AB}$ berechnen zu können, musst du somit zuerst $\alpha$ berechnen:
Am Einfachsten geht dies über die Summe der Innenwinkel mit dem bereits gegebenen rechten Winkel $\alpha+\beta+90^{\circ}=180^{\circ}$
$\beta$ kannst du mit Hilfe des Winkels $\gamma$ (Winkel BC$\sphericalangle$BF) im Dreieck $BCF$, der den Winkel $\beta$ genau halbiert und der Sinusbeziehung (s.oben) berechnen.
Die Hypotenuse $\overline{BF}$ ist gegeben und die Gegenkathete $\overline{CF}$ berechnest du mit Hilfe des Dreiecks $BCF$ und dem Satz des Phytagoras ($a²+b²=c²$) :
$\begin{array}[t]{rll} (5,8cm)²+b²&=&(6,6\text{ cm})² \\[5pt] 33,64cm²+b²&=&43,56\text{ cm}² \\[5pt] b²&=&9,92\text{ cm}² \\[5pt] b&\approx&3,15\text{ cm} \end{array}$
Berechnung von $\gamma$:
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\gamma)&=&\dfrac{3,15\text{ cm}}{6,6\text{ cm}} &\quad \scriptsize \mid\; sin^{-1} \\[5pt] \gamma&=&28,5^{\circ} \end{array}$
Da die Seitenlänge $\overline{BF}$ den Winkel $\beta$ genau halbiert, kannst du den Winkel wie folgt berechnen :
$\begin{array}[t]{rll} \beta&=&2\cdot\gamma \\[5pt] \end{array}$
Mit $\beta$ lässt sich nun $\alpha$ berechnen: $\alpha= 180^{\circ}-90^{\circ}-57^{\circ}=33^{\circ}$
Da nun alle notwendigen Werte berechnet sind, kannst du die Seitenlänge $\overline{AB}$ mit Hilfe der Sinusbeziehung berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \sin33^{\circ}&=&\dfrac{5,8\text{ cm}}{\overline{AB}} \\[5pt] \overline{AB}\cdot\sin33^{\circ}&=&5,8\text{ cm} \\[5pt] \overline{AB}&=&\dfrac{5,8\text{ cm}}{\sin33^{\circ}} \\[5pt] \overline{AB}&\approx&10,65\text{ cm} \end{array}$
2. Schritt: Berechnung der Länge der Seite $\boldsymbol{\overline{AF}}$:
Die Seitenlänge $\overline{AF}$ lässt sich durch den Sinussatz $\dfrac{a}{b}=\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}$ berechnen:
Die gesuchte Seintenlänge $\overline{AF}$ entspricht hier deinem $b$.
Gegeben sind dir :
$a=\overline{BF}=6,6\text{ cm}$
$\alpha=33^{\circ}$
$\beta=28,5^{\circ}$ (dein vorherig berechnetes $\gamma$)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{6,6\text{ cm}}{\overline{AF}}&=&\dfrac{\sin33^{\circ}}{\sin28,5^{\circ}} \\[5pt] \dfrac{6,6\text{ cm}}{\overline{AF}}&\approx&1,141 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AF} \\[5pt] 6,6\text{ cm}&\approx& 1,141 \cdot \overline{AF} &\quad \scriptsize \mid\; :1,141 \\[5pt] \overline{AF}&\approx&\dfrac{6,6\text{ cm}}{1,141} \\[5pt] \overline{AF}&\approx&5,78\text{ cm} \end{array}$
$ \overline{AF} \approx 5,78\text{ cm} $
Der Umfang des Dreiecks $ABC$ beträgt $23,03$ cm.
#hypotenuse#sinussatz

Aufgabe P2

$\blacktriangleright$  Berechnung der Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{EF}}$
Um die Länge der Strecke $\overline{EF}$ zu bestimmen, berechnest du zuerst die Länge der Strecke $\overline{BE}$, um von ihr später die Länge der Strecke $\overline{BF}$ abziehen zu können.
1. Schritt: Berechnung der Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{BE}}$
Um die Länge der Strecke $\overline{BE}$ zu berechnen, nimmst du dir wieder die Sinusbeziehung $\sin(\alpha)=\dfrac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
zu Hilfe.
$\alpha$ enspricht hier dem gegebenen $\epsilon$ und die Gegenkathete ist die gegebene Strecke $\overline{BC}$ mit $11,8$ cm.
$\begin{array}[t]{rll} \sin72^{\circ}&=&\dfrac{11,8 \text{ cm}}{\overline{BE}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{BE} \\[5pt] \sin72^{\circ} \cdot BE&=& 11,8 \text{ cm} &\quad \scriptsize \mid\; :\sin72^{\circ} \\[5pt] \overline{BE}&=& \dfrac{11,8 \text{ cm}}{\sin72^{\circ}} \\[5pt] \overline{BE}&\approx&12,41 \end{array}$
$ \overline{BE}= 12,41 $
2. Schritt: Berechnung der Seitenlänge $\boldsymbol{\overline{BF}}$
Es fehlen dir noch zwei Winkel, um die Seitenlänge über den Sinussatz berechnen zu können.
Nun kannst du alle Werte einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{11,8\text{ cm}}{\sin72^{\circ}}&=&\dfrac{\overline{BF}}{\sin36^{\circ}} \\[5pt] 12,41\text{ cm}&\approx&\dfrac{\overline{BF}}{\sin36^{\circ}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sin36^{\circ} \\[5pt] \overline{BF}&\approx&12,41\text{ cm}\cdot \sin36^{\circ} \\[5pt] \overline{BF}&\approx&7,3\text{ cm} \end{array}$
$ \overline{BF}\approx 7,3\text{ cm} $
3. Schritt: Berechnung der Seitenlänge $\boldsymbol{\overline{EF}}$:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{EF}&=&12,41\text{ cm}-7,3\text{ cm} \\[5pt] \overline{EF}&=&5,11\text{ cm} \end{array}$
Die Länge der Seitenlänge $\overline{EF}$ beträgt $5,1$ cm.
#winkel#sinussatz

Aufgabe P3

$\blacktriangleright$  Berechnnung der Oberfläche
1. Schritt: Berechnung der Mantelfläche der Pyramide
$O_{MPyramide}=4\cdot\left(\frac{1}{2} \cdot a+h_s\right)$
Zuerst berechnest du die Seitenlänge $h_s$ mit Hilfe des Sinussatzes:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{h_s}{\sin90^{\circ}}&=&\dfrac{16\text{ cm}}{\sin58^{\circ}} &\quad \scriptsize \mid\; \sin90^{\circ}=1 \\[5pt] h_s&=&\dfrac{16\text{ cm}}{\sin58^{\circ}} \\[5pt] h_s&=&18,87\text{ cm} \end{array}$
$ h_s=18,87\text{ cm} $
Da die Pyramide quadratisch ist, kann die Seitenlänge $a$ mit Hilfe des eingezeichneten Dreiecks berechnet werden.
Dafür berechnest du zuerst den 3. Winkel $\gamma$ im gegebenen Dreieck :
$\gamma= 180^{\circ}-90^{\circ}-58^{\circ}=32^{\circ}$
Anwendung des Sinussatzes:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{0,5a}{\sin32^{\circ}}&=&\dfrac{16\text{ cm}}{\sin58^{\circ}} \\[5pt] 0,5a&=&10\text{ cm} \\[5pt] a&=&20\text{ cm} \end{array}$
Alle Werte in die obere Formel einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} O_{MPyramide}&=&4\cdot(\frac{1}{2}\cdot20\text{ cm}\cdot18,87\text{ cm}) \\[5pt] O_{MPyramide}&=&754,8\text{ cm}^2 \end{array}$
$ O_{MPyramide}=754,8\text{ cm}^2 $
2. Schritt: Berechnung der Oberfläche des Zylinders
$O_{Zylinder}=2\cdot\pi\cdot r\cdot(r+h)$
Dank der vorherigen Berechnungen, sind dir hier alle Werte schon gegeben:
$\begin{array}[t]{rll} O_{Zylinder}&=&2\cdot\pi\cdot10\text{ cm} \cdot (10\text{ cm}+20\text{ cm}) \\[5pt] O_{Zylinder}&=&1885\text{ cm}^2 \end{array}$
$ O_{Zylinder}=1885\text{ cm}^2 $
3. Schritt: Berechnung der gesamten Oberfläche:
$\begin{array}[t]{rll} O_{gesamt}&=&O_{MPyramide}+\dfrac{1}{2} \cdot O_{Zylinder} \\[5pt] O_{gesamt}&=&942,5\text{ cm}^2+754,8\text{ cm}^2 \\[5pt] O_{gesamt}&=&1697,3\text{ cm}^2 \end{array}$
$ $
Die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers beträgt $1697\text{ cm}^2$.
#sinussatz

Aufgabe P4

$\blacktriangleright$  Aussage überprüfen
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: argumentativ
Die Möglichkeiten, als Augensumme $6$ zu bekommen, sind wie folgt:
  • $1$ und $5$
  • $2$ und $4$
  • $3$ und $3$
  • $4$ und $2$
  • $5$ und $1$
Die Möglichkeiten, als Augensumme $9$ zu bekommen sind wie folgt:
  • $3$ und $6$
  • $4$ und $5$
  • $5$ und $4$
  • $6$ und $3$
Somit stehen $5$ Möglichkeiten $4$ gegenüber und die Aussage ist wahr.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: rechnerisch
Wie schon oben erwähnt, gibt es $5$ verschiedene Möglichkeiten, als Augensumme später $6$ zu erhalten.
Die Wahrscheinlich berechnet sich wie folgt:
$P(6)=(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} )\cdot 5=\frac{5}{36}\approx13,9\,\%$
Um als Augensumme $9$ zu erhalten, gibt es $4$ verschiedene Möglichkeiten.
Diese Wahrscheinlichkeit berechnet sich wie folgt:
$P(9)=(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} )\cdot 4=\frac{1}{9}\approx11,1\,\%$
Somit ist auch rechnerisch die Wahrscheinlichkeit höher als Augensumme am Ende $6$ zu erhalten als $9$ und die Aussage bestätigt.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Damit Nele die Runde gewinnt, muss ihre Augensumme größer als $8$ sein.
$P(>8)=P(9)+P(10)+P(11)+P(12)$
$\begin{array}[t]{rll} P(9)&=&\dfrac{1}{9} \\[5pt] P(10)&=&\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot 3 &=&\dfrac{1}{12} \\[5pt] P(11)&=&\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot 2 &=&\dfrac{1}{18} \\[5pt] P(12)&=&\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot 1 &=&\dfrac{1}{36} \end{array}$
$ $
Die Wahrscheinlichkeit, dass Nele mit dem nächsten Wurf das Spiel gewinnt, liegt bei $27,8\,\%$.

Aufgabe P5

$\blacktriangleright$  Berechnung der Koordinaten des Schnittpunktes Q
1. Schritt: Berechnung der Scheitelform
Scheitelform: $f(x)=(x-d)^2+b$
daraus lässt sich der Scheitelpunkt später einfach ablesen: $S(d|b)$
Die $x$-Koordinate des gesuchten Scheitelpunktes lässt sich bestimmen, da sie in der Mitte der Punkte $P_1(-3|0)$ und $P_2(1|0)$ (leicht abzulesen) liegt.
Somit ist $d=-1$.
Setze nun die Koordinaten des Punktes $P_1$ in die vorläufige Scheitelform ein:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&(-3+1)^2+b \\[5pt] 0&=&4+b \\[5pt] b&=&-4 \\[5pt] \end{array}$
Scheitelform: $f(x)=(x+1)^2-4$
Die Koordinaten des Scheitelpunktes sind $S(-1|-4)$.
2. Schritt: Scheitelpunkt in die Geradengleichung einsetzen
$\begin{array}[t]{rll} -4&=& 3\cdot (-1)+b &\quad \scriptsize \mid\; \cdot(-1) \\[5pt] -4&=& -3+b &\quad \scriptsize \mid\; +3 \\[5pt] b&=&-1 \end{array}$
$g: y=3x-1$
3. Schritt: Parabel und Gerade gleichsetzen
$\begin{array}[t]{rll} (x+1)^2-4&=&3x-1 \\[5pt] x^2+2x-3&=&3x-1 \\[5pt] x^2-x-2&=&0 \\[5pt] \end{array}$
In die Mitternachtsformel einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=&\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1} \\[5pt] x_{1,2}&=&\dfrac{1\pm3}{2} \\[5pt] x_{1}&=&-1 \\[5pt] x_2&=&2 \end{array}$
$ $
Die Gerade $g$ schneidet die Parabel bei $x=-1$ und $x=2$.
Abb. 3 : Skizze der Schnittpunkte
Abb. 3 : Skizze der Schnittpunkte
#scheitelpunktform

Aufgabe P6

$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} (2x-1)\cdot(2x+1)-x\cdot(x-2)&=&(x-5)^2+6 &\quad \scriptsize \mid\;\text{binomische Formeln anwenden} \\[5pt] 4x^2-1-x\cdot(x-2)&=&x^2-10x+25+6 &\quad \scriptsize \mid\; ausmultiplizieren\\[5pt] 4x^2-1-x^2+2x&=&x^2-10x+25+6 &\quad \scriptsize \mid\; zusammenfassen \\[5pt] 3x^2+2x-1&=& x^2-10x+31 &\quad \scriptsize \mid\; -x^2+10x-31 \\[5pt] 2x^2+12x-32&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] x^2+6x-16&=&0 \end{array}$
$ $
Einsetzen in die Mitternachtsformel:
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=&\dfrac{-6\pm\sqrt{36+4\cdot16}}{2\cdot1} \\[5pt] x_{1,2}&=&\dfrac{-6\pm10}{2} \\[5pt] x_1&=&-8 \\[5pt] x_2&=&2 \end{array}$
Die Lösung der Gleichung ergibt $x_1=-8$ und $x_2=2$
#binomischeformeln#mitternachtsformel

Aufgabe P7

$\blacktriangleright$  Reisen nach Österreich berechnen
Reisen nach Österreich = Reisen gesamt $\cdot$ Anteil Österreich = $54000 \cdot 0,061$ = $3294$ Reisen
$\blacktriangleright$  Reisen nach Bayern berechnen
Reisen nach Bayern = Reisen gesamt $\cdot$ Anteil Deutschland $\cdot$ Anteil Bayern = $54000 \cdot 0,375 \cdot 0,18$ = $3645$ Reisen
$\blacktriangleright$  Anteil der USA berechnen
1. Schritt: Anzahl der sonstigen Reisen berechnen
Sonstige Reisen = Reisen gesamt $\cdot$ Anteil Sonstige = $54000 \cdot 0,176 $ = $9504$ Reisen
2. Schritt: Anteil der USA berechnen
Anteil der USA = $\dfrac{704\text{ Reisen}}{9504 \text{ Reisen}} = 0,074 = 7,4\,\%$

Aufgabe P8

$\blacktriangleright$  Boxplot wählen
1. Schritt: Klasse $\boldsymbol{10a}$
Die beiden Boxplots unterscheiden sich nur im oberen Quartil.
Berechnung des oberen Quartils ($75\,\%$ der Schüler müssen unter dem oberen Quartil liegen):
$25 \cdot 0,75 = 18,75$
$19$ Schüler müssen somit unterhalb des oberen Quartils liegen und dies ist bei Punktzahl $9$ der Fall.
Bei $10$ wären es schon weit über $19$.
In der Klasse $10a$ beträgt das obere Quartil $9$, deshalb trifft Boxplot $(1)$ auf die Verteilung der Klasse $10a$ zu.
2. Schritt: fehlende Säulen eintragen
Mögliche Verteilung :
$\text{9 Punkte}$$ 3$$ 2$$1 $$0 $
$\text{10 Punkte}$$ 4$$5 $$6 $$7 $
$9 $ Punkte $10 $ Punkte
$ 3 $$4 $
$2 $$5 $
$1 $$ 6$
$7 $$0 $
Das obere Quartil liegt bei $10$, deshalb müssen darunter $75\,\%$ der Schüler liegen.
$29 \cdot 0,75 = 21,75 \longrightarrow$ bei der Punktzahl $10$ muss die kumulierte Menge mindestens $22$ Schüler betragen.
Somit muss die kumulierte Menge bei der Punktzahl $9$ mindestens $21$ Schülern betragen.
Abb. 4: eingezeichnete Möglichkeiten der Punkteverteilung
Abb. 4: eingezeichnete Möglichkeiten der Punkteverteilung
-- bildnachweis --
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