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Wahlbereich

Aufgaben
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Aufgabe W1

(5,5P)
(4,5P)
#abstand#winkel#trapez#flächeninhalt#rechtwinkligesdreieck

Aufgabe W2

Wahlbereich
Abb. 3: Mantelfläche des Zylinders
Wahlbereich
Abb. 3: Mantelfläche des Zylinders
(5P)
Wahlbereich
Abb. 4: Pyramide mit Trapez
Wahlbereich
Abb. 4: Pyramide mit Trapez
(5P)
#volumen#trapez#zylinder#umfang#pyramide

Aufgabe W3:

(5P)
b)
Die Parabel $p_1$ mit $y=\frac{1}{4}x^2-4$ und die nach oben geöffnete Normalparabel $p_2$ mit dem Scheitel $S_2(1,5|-3,25)$ haben einen gemeinsamen Punkt $R$.
Die Gerade $h$ geht durch den Ursprung $(0|0)$ und den Punkt $R$.
Bestimme die Funktionsgleichung der Greaden $h$.
Die Schnittpunkte der Parabel $p_1$ mit der $x$-Achse und der Punkt $R$ bilden ein Dreieck.
Bestimme den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
Bastian behauptet:
„Die gerade $h$ halbiert den Flächeninhalt des Dreiecks.“
Hat Bastian Recht?
Beründe deine Antwort durch Rechnung oder Argumentation.
(5P)
#funktionsgleichung#parabel#scheitelpunkt

Aufgabe W4:

Wahlbereich
Abb. 6: Glücksrad
Wahlbereich
Abb. 6: Glücksrad
EreignisseGewinn
zweimal 😊4,00€
zweimal 😐2,00€
sonstigekein Gewinn
Einsatz pro Spiel: 0,50€
(5,5P)
b)
Die Lupu-Brücke überspannt den Fluss Huangpu in Shanghai. Sie ist die zweitlängste Bogenbrücke der Welt und hat annähernd die Form einer Parabel.
Sie kann mit der Funktionsgleichung $y=ax^2+c$ beschrieben werden.
Wahlbereich
Abb. 7: Skizze Lupu-Brücke
Wahlbereich
Abb. 7: Skizze Lupu-Brücke
Die Bogenbrücke hat auf Höhe der Wasseroberfläche eine Weite von $550$m.
Die Fahrbahn befindet sich $50$m über der Wasseroberfläche.
Das ist die Hälfte der maximalen Höhe der Brücke.
Bestimme eine mögliche Funktionsgleichung für den Brückenbogen.
Berechne die Länge der Fahrbahn innerhalb des Brückenbogens.
(4,5P)
#wahrscheinlichkeit#funktionsgleichung#erwartungswert
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Lösungen
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Aufgabe W1

a)
$\blacktriangleright$  Berechnung des Abstandes von $\boldsymbol{E}$ zu $\boldsymbol{\overline{AB}}$
Höhe des Dreiecks $ABE$:
$h_{ABE}=\overline{AE} \cdot \sin\alpha$
1. Schritt: Berechnung von $\overline{AE}$
Um die Seitenlänge $\overline{AE}$ zu berechnen und sie in die Formel einzusetzen, musst du zuerst $\overline{AD}$ mit Hilfe des Sinussatzes berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{a}{\sin\alpha}&=&\dfrac{b}{\sin\beta} \\[5pt] \dfrac{7,2\text{ cm}}{\sin42^{\circ}}&=&\dfrac{\overline{AD}}{\sin90^{\circ}} &\quad \scriptsize \mid\; \sin90^{\circ}=1 \\[5pt] \overline{AD}&=&\dfrac{7,2\text{ cm}}{\sin42^{\circ}} \\[5pt] \overline{AD}&\approx&10,76\text{ cm} \\[20pt] \overline{AE}&=&\overline{AD}-\overline{DE} = 7,76\text{ cm} \end{array}$
$ \overline{AE}= 7,76\text{ cm} $
2. Schritt: Abstand von $\boldsymbol{E}$ zu $\boldsymbol{\overline{AB}}$ berechnen
$h_{ABE}= \overline{AE} \cdot \alpha = 7,76\text{ cm} \cdot \sin 42^{\circ} = 5,2\text{ cm}$
$h_{ABE}= 5,2\text{ cm}$
Der Abstand des Punktes $E$ zur Seite $\overline{AB}$ entspricht $5,2$ cm.
$\blacktriangleright$  Berechnung von $\boldsymbol{\gamma}$
4. Schritt: Berechnung von $\boldsymbol{\beta_1}$ (Tangensbeziehung)
$\begin{array}[t]{rll} \tan \beta_1&=&\dfrac{5,2\text{ cm}}{2,225} \\[5pt] \beta_1&=&66,8^{\circ} \end{array}$
5. Schritt: Berechnung von $\boldsymbol{\gamma}$
$\gamma=180^{\circ} - 2\cdot \beta_1 = 46,4^{\circ}$
Der Winkel $\gamma$ beträgt $46,4^{\circ}$.
b)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt des Trapez
Um den Flächeninhalt eines Trapez zu berechnen, verwendest du folgende Formel:
$A_{Trapez}= \dfrac{1}{2}\cdot(a+c)\cdot h$
mit $a = \overline{FG}$, $c = \overline{CD}$ und $h = \overline{AD}$
1. Schritt: Berechnung von $\boldsymbol{h}$
$h$ lässt sich über die Höhe des Sechsecks berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} h&=&2\cdot\dfrac{a}{2}\cdot \sqrt{3} &\quad \scriptsize \mid\; \text{a enstpricht der Seitenlänge des Sechsecks} \\[5pt] h&=&2e\cdot \sqrt{3} \end{array}$
$ h=2e\cdot \sqrt{3} $
2.2. Schritt: $\boldsymbol{\overline{BG}}$ berechnen
Das Dreieck $BGH$ ist gleichseitig und somit entspricht $\overline{BG}$ $2e$.
2.3. Schritt: $\boldsymbol{\overline{AB}}$ berechnen
$\overline{AB} = e + 2e +2e = 5e = a$
3. Schritt: $\boldsymbol{c}$ berechnen
Um $c$ zu berechnen, berechnest du zuerst $\overline{DI}$(wie $\overline{AF}$):
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{DI}}{30^{\circ}}&=&\dfrac{2e}{90^{\circ}} \\[5pt] \overline{DI}&=&e \end{array}$
$c= \overline{CI} + \overline{DI} = e + 2e = 3e$
4. Schritt: Flächeninhalt berechnen
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot (5e+3e)\cdot 2e\sqrt{3} \\[5pt] A&=&8e^2\sqrt{3} \end{array}$
$\blacktriangleright$  Diagonale $\boldsymbol{\overline{AC}}$ berechnen (Satz des Pythagoras)
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{\overline{AD}^2 + \overline{DC}^2}&=&\overline{AC} \\[5pt] \sqrt{(2e\sqrt{3})^2+(3e)^2}&=&\overline{AC} \\[5pt] \sqrt{4e°2\cdot\cdot 3+9e^2}&=&\overline{AC} \\[5pt] \sqrt{21e^2}&=&\overline{AC} \\[5pt] e\sqrt{21}&=& \overline{AC} \\[5pt] \end{array}$
#sinussatz#satzdespythagoras

Aufgabe W2

a)
$\blacktriangleright$  Volumen der Pyramide berechnen
Volumen einer fünfseitigen Pyramide:
$V=\dfrac{a^2}{12}+\sqrt{25+10\sqrt{5}}\cdot h$
1. Schritt: $a$ berechnen
$a$ (Grundseite der Pyramide) lässt sich über den Kreisumfang $u$ des Zylinders berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} a&=&\dfrac{u}{2,5} &\quad \scriptsize \mid\; u=2\pi\cdot r \\[5pt] a&=&\dfrac{2\pi\cdot 3,5\text{ cm}}{2,5} \\[5pt] a&=&\dfrac{14}{5}\pi \text{ cm} = 8,8\text{ cm} \\[5pt] \end{array}$
$ a = 8,8\text{ cm} $
2. Schritt: $\boldsymbol{h}$ berechnen
Wahlbereich
Abb. 3: Grundfläche der Pyramide
Wahlbereich
Abb. 3: Grundfläche der Pyramide
Anwendung Satz des Pythagoras:
$\begin{array}[t]{rll} h_{Pyramide}&=&\sqrt{h^2 - m^2 } \\[5pt] h_{Pyramide}&=&\sqrt{12\text{ cm}^2 - 6,056\text{ cm}^2 } \\[5pt] h_{Pyramide}&=&10,36\text{ cm} \end{array}$
$ h_{Pyramide}=10,36\text{ cm} $
3. Schritt: Volumen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{8,8^2}{12}+\sqrt{25+10\sqrt{5}}\cdot 10,36 \\[5pt] V&\approx&460 \text{ [cm]}^3 \end{array}$
$ $
Das Volumen der Pyramide beträgt $460$ cm$^3$.
b)
$\blacktriangleright$  Umfang des Trapez berechnen
$U_{Trapez}=\overline{AD}+\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}$
1. Schritt: Berechnung $\overline{AB}$
$\overline{AB}$ berechnest du mit Hilfe des Dreiecks $ABS$.
1.1 Schritt: $\boldsymbol{\overline{AS}}$ berechnen
$\overline{AS}$ berechnest du über den Satz des Pythagoras mit Hilfe von $h_s$:
$O_{Pyramide}=a^2+2\cdot a\cdot h_s$
$O_{Pyramide}=a^2+2\cdot a\cdot h_s$

$\begin{array}[t]{rll} O_{Pyramide}&=&a^2+2\cdot a\cdot h_s \\[5pt] h_s&=&\dfrac{(O_{Pyramide}-a^2)}{2a} \\[5pt] h_s&=&\dfrac{(357\text{ cm}^2-100\text{ cm}^2)}{20\text{ cm}} \\[5pt] h_s&=&12,85\text{ cm} \end{array}$
$ h_s=12,85\text{ cm}$
Satz des Pythagoras anwenden:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AS}&=&\sqrt{\dfrac{a}{2}^2 + h_s^2} \\[5pt] \overline{AS}&=&\sqrt{25\text{ cm}^2+165,1225\text{ cm}^2} \\[5pt] \overline{AS}&=&13,79\text{ cm} \end{array}$
$ \overline{AS}=13,79\text{ cm} $
1.2 Schritt: Winkel $\boldsymbol{\gamma}$ bei $\boldsymbol{S}$ berechnen
Den Winkel $\gamma$ berechnest du über das Dreieck $AES$.
$E$ bezeichnet den Punkt, in dem die Senkrechte durch $S$ auf $a$ trifft und den Winkel $\gamma$ in der Mitte teilt:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\sin90^{\circ}}{13,79\text{ cm}}&=&\dfrac{\sin\gamma_{0,5}}{5\text{ cm}} \\[5pt] \gamma_{0,5}&=&0,3626 \\[5pt] \gamma_{0,5}&=&21,26^{\circ} \\[5pt] \gamma&=& 2\cdot\gamma_{0,5} &=&42,5^{\circ} \end{array}$
$ \gamma=42,5^{\circ} $
1.3 Schritt: $\boldsymbol{\overline{AB}}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{AB}}{\sin\gamma}&=&\dfrac{\overline{AS}}{\sin\beta} &\quad \scriptsize \mid\;\beta=180^{\circ}-2\cdot 42,5^{\circ} \\[5pt] \dfrac{\overline{AB}}{\sin42,5^{\circ}}&=&\dfrac{13,79\text{ cm}}{\sin95^{\circ}} \\[5pt] \dfrac{\overline{AB}}{\sin42,5^{\circ}}&=&13,8427\text{ cm} \\[5pt] \overline{AB}&=& 9,35\text{ cm} \end{array}$
$ \overline{AB}= 9,35\text{ cm} $
2. Schritt: $\boldsymbol{\overline{BC}}$ berechnen
$\overline{BC}$ lässt sich übr das Dreieck $BCS$ berechnen.
Da das Dreieck $ABS$ gleichschenklig ist und du den Winkel bei $S$ gerade berechnet hast, lassen sich die anderen beiden wie folgt berechnen:
$\delta=\dfrac{\sin180^{\circ}-\sin42,5^{\circ}}{2}=\sin68,75^{\circ}$
$ $
Sinussatz:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{BC}}{\sin42,5^{\circ}}&=&\dfrac{9,36\text{ cm}}{\sin68,75^{\circ}} \\[5pt] \dfrac{\overline{BC}}{\sin42,5^{\circ}}&=&10,0428\text{ cm} \\[5pt] \overline{BC}&=&6,78\text{ cm} \end{array}$
3. Schritt: Umfang berechnen
Da das zu berechnende Trapez gleichschenklig ist, sind die Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$ gleichlang.
$\begin{array}[t]{rll} U_{Trapez}&=&a+\overline{AB} +2\cdot \overline{BC} \\[5pt] U_{Trapez}&=&10\text{ cm}+6,78\text{ cm}+2\cdot 9,36\text{ cm} \\[5pt] U_{Trapez}&=&35,5\text{ cm} \end{array}$
$ $
Der Umfang des Trapezes beträgt $35,5 \text{ cm}$.
#satzdespythagoras

Aufgabe W3

a)
$\blacktriangleright$  Gleichungen zuordnen
1. Schritt: Gleichung $\boldsymbol{(A)}$ zuordnen
Da der Graph $p_3$ breiter ist als eine Normalparabel, kann er nur zu der Gleichung $(A)$ gehören, da dieser Graph durch den Parameter $a$ gestaucht wird.
Um die Gleichung zu vervollständigen, kannst du nun einfach einen Punkt des Graphen ablesen und einsetzen, z.B. $P(2|0)$.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&ax^2-1 \\[5pt] 0&=&a\cdot2^2;-1 \\[5pt] 1&=&4a \\[5pt] a&=&\dfrac{1}{4} \end{array}$
$p_3$ hat somit die Gleichung $y=\dfrac{1}{4}x^2-1$.
2. Schritt: Gleichung $\boldsymbol{(B)}$ zuordnen
Durch die Umformung in die Scheitelpunktform
$f(x)=a(x-d)^2+e$
lässt sich später der Scheitel $S(d|e)$ leicht ablesen .
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2-6x+5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{quadratische Ergänzung } (\color{#87c800}{2. bin. Formel}) \\[5pt] y&=&\color{#87c800}{x^2-(2\cdot3)x+3^2}-3^2+5 \\[5pt] y&=&(x-3)^2-9+5 \\[5pt] y&=&(x-3)^2-4 \end{array}$
$ y=(x-3)^2-4 $
Daraus lässt sich nun der Scheitelpunkt $S(3|-4)$ ablesen.
Da der Scheitelpunkt eine negative $y$-Koordinate hat, gehört zu dieser Gleichung der Graph $p_2$.
3. Schritt: Gleichung $\boldsymbol{(C)}$ zuordnen
Scheitelpunktform berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2+4x+q &\quad \scriptsize \mid\; (\color{#87c800}{1. bin. Formel}) \\[5pt] y&=&\color{#87c800}{x^2+(2\cdot2)x+2^2}-2^2+q \\[5pt] y&=&(x+2)^2-4+q \end{array}$
$ y=(x+2)^2-4+q $
Daraus lässt sich nun der Scheitelpunkt $S(-2|-4+q)$ ablesen und die Gleichung lässt sich $p_1$ zuordnen.
Um $q$ zu bestimmen, lesen wir einfach den Scheitelpunkt $S(-2|1)$ ab.
$\begin{array}[t]{rll} -4+q&=&1 \\[5pt] q&=&5 \end{array}$
$p_1$ enstpricht somit der Gleichung $y=x^2+4x+5$.
$\blacktriangleright$  Nachweis, dass der Scheitelpunkt $\boldsymbol{S_1}$ auf $\boldsymbol{g}$ liegt
1. Schritt: Gleichung der Geraden $\boldsymbol{g}$ berechnen
Die Gerade $g$ geht durch die Scheitelpunkte $S_3(0|-1)$ und $S_2(3|-4)$.
Die Gerade $g$ ist durch die Gleichung $f(x)=mx+b$ bestimmt.
$S_3$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} -1&=&0\cdot m+b \\[5pt] b&=&-1 \end{array}$
$S_2$ und $b=-1$ einsetzen, um $m$ zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} -4&=&3\cdot m-1 \\[5pt] -3&=&3m \\[5pt] m&=&-1 \end{array}$
Somit ist $g$ durch die Gleichung $y=-x-1$ bestimmt.
2. Schritt: Übrprüfen, ob Scheitelpunkt von $\boldsymbol{p_1}$ ebenfalls auf $\boldsymbol{g}$ liegt
$S_1(-2|1)$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} 1&=&-(-2)-1 \\[5pt] 1&=&1 \end{array}$
Der Scheitelpunkt $S_1$ liegt ebenefalls auf $g$.
b)
$\blacktriangleright$  Bestimmung der Gleichung der Geraden $\boldsymbol{h}$
1. Schritt: Gleichung der Parabel $\boldsymbol{p_2}$ bestimmen
Durch die Angabe des Scheitelpunktes von $p_2$ lässt sich die Scheitelpunktform bestimmen:
$p_2:$ $y=a(x-1,5)^2-3,25$
Da $p_2$ eine Normalparabel ist, kannst du von $a=1$ ausgehen.
Mit Hilfe der Anwendung der $2.$ binomischen Formel lässt sich nun die allgemeine Form angeben:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\color{#87c800}{x^2-3x+2,25}-3,25 \\[5pt] y&=&x^2-3x-1 \end{array}$
2. Schritt: $\boldsymbol{R}$ bestimmen
Um $R$ zu berechnen, musst du jetzt einfach $p_1$ und $p_2$ gleichsetzen und das berechnete $x$ anschließend in eine der beiden Gleichungen einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{4}x^2-4&=&x^2-3x-1 \\[5pt] 0&=&\dfrac{3}{4}x^2-3x+3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Mitternachtsformel} \\[5pt] x_{1/2}&=&\dfrac{3\pm\sqrt{9-4\cdot\dfrac{3}{4}\cdot3}}{2\cdot\dfrac{3}{4}}& \\[5pt] x_{1/2}&=&\dfrac{3\pm\ 0}{\dfrac{3}{2}} \\[5pt] x&=&2 \end{array}$
$ x = 2 $
$x$ in $p_1$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\dfrac{1}{4}\cdot2^2-4 \\[5pt] y&=&-3 \end{array}$
Der Punkt $R$ ist durch die Koordinaten $(2|-3)$ bestimmt.
3. Schritt: $\boldsymbol{h}$ bestimmen
$h$ geht durch den Ursprung $U(0|0)$ sowie $R(2|-3)$ und ist durch die Gleichung $f(x)=mx+b$ definiert.
$U$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&m\cdot 0+b \\[5pt] b&=&0 \end{array}$
$R$ und $b$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} -3&=&m\cdot 2+0 \\[5pt] m&=&-\dfrac{3}{2} \end{array}$
Die Gerade $h$ ist durch die Gleichung $y=-\dfrac{3}{2}x$ definiert.
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{D_{N_1RN_2}}$ bestimmen
1. Schritt: Eckpunkte $\boldsymbol{N_1}$ und $\boldsymbol{N_2}$ bestimmen
Da die Eckpunkte des Dreiecks dem Schnittpunkt der $x$-Achse mit $p_1$ entsprechen, musst du die Gleichung von $p_1$ gleich Null setzen:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&\dfrac{1}{4}x^2-4 \\[5pt] 4&=&\dfrac{1}{4}x^2 \\[5pt] 16&=&x^2 \\[5pt] x&=&\pm 4 \end{array}$
Die Eckpunkte des Dreiecks $D_{N_1RN_2}$ sind $N_1(4|0)$, $N_2(-4|0)$ und $U(0|0)$.
2. Schritt: Flächeninhalt bestimmen
Den Flächeninhalt eines Dreiecks bestimmst du mit der Formel:
$A=\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h$
$g$ entspricht der Grundseite des Dreiecks, in unserem Fall $8$ $LE$, da es dem Abstand zwischen $N_1$ und $N_2$ entspricht.
Die Höhe $h$ enspricht dem Abstand des Punktes $R$ zur Grundseite, also $3$ $LE$.
$A_{N_1RN_2}=\dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 3=12 [FE]$
Der Flächeninhalt des Dreiecks $D_{N_1RN_2}$ enstpricht $12$ $FE$.
$\blacktriangleright$  Bastians Aussage belegen
1. Schritt: Rechnerische Begründung
2. Schritt: Argumentative Begründung
Die Höhe beider halbierten Dreiecke, sowie auch die neuen Grundseiten sind gleich groß.
Daraus geht hervor, dass beide Dreiecke den gleichen Flächeninhalt bestitzen und somit die Gerade $h$ das Dreick $D_{N_1RN_2}$ flächenmäßig halbiert.

Aufgabe W4

a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für höchstens $\boldsymbol{1}$ x 😊 bestimmen
1. Schritt: Anteil des Feldes 😊 berechnen
Um den Anteil des Feldes 😊 zu berechnen, kannst du den Innenwinkel, den das Feld besitzt durch den kompletten Innenwinkel der Drehscheibe teilen, welcher $360^{\circ}$ entspricht.
$P(😊)= \dfrac{60^{\circ}}{360^{\circ}}=\dfrac{1}{6}$
Die Wahrscheinlichkeit, das Feld 😊 zu erhalten , beträgt somit $\frac{1}{6}$.
2. Schritt: Wahrscheinlichkeit für höchstens $\boldsymbol{1}$ x 😊 bestimmen
Um die Wahrscheinlichkeit P(höchstens $1$ x 😊) zu bestimmen, kannst du die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses von $1$ abziehen.
Das ist in diesem Fall P(mindestens $2$ x 😊).
$\begin{array}[t]{rll} P(\text {höchstens 1 x 😊})&=&1- P(\text{mindestens 2 x 😊})=1-(\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6})=1-\frac{1}{36} \\[5pt] P(\text {höchstens 1 x 😊})&=&\dfrac{35}{36}\approx97,2\,\% \end{array}$
$ $
Die Wahrscheinlichkeit, höchstens $1$ Mal auf das Feld 😊 zu kommen, beträgt ungefähr bei $97,2\,\%$.
$\blacktriangleright$  Erwartungswert für den Gewinnplan berechnen
1. Schritt: Anteil des Feldes 😐 berechnen
Um den Anteil des Feldes 😐 zu berechnen, kannst du den Innenwinkel, den das Feld besitzt, durch den kompletten Innenwinkel der Drehscheibe teilen, welcher $360^{\circ}$ entspricht.
$P(😐)= \dfrac{90^{\circ}}{360^{\circ}}=\dfrac{1}{4}$
Die Wahrscheinlichkeit, das Feld 😐 zu erhalten, beträgt $\dfrac{1}{4}$.
2. Schritt: Erwartungswert berechnen
Der Erwartungswert beschreibt den Gewinn, den der Spieler im Durchschnitt erwarten kann.
Er wird berechnet, indem die Wahrscheinlichkeit ein gewisses Ereignis zu erzielen mit dem dazugehörigen Gewinn multipliziert wird. Die verschiedenen Gewinnmöglichkeiten werden dann aufaddiert und der Einsatz davon abgezogen.
$\begin{array}[t]{rll} E&=&-0,5\,€+4\,€\cdot(\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6})+2\,€\cdot(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}) \\[5pt] E&=&-0,5\,€+\frac{17}{72}\,€\approx0,26\,€ \end{array}$
$ E \approx 0,26\,€ $
Der Erwartungswert beträgt bei $0,26\,€$.
$\blacktriangleright$  Gewinn von zwei $\boldsymbol{x}$ 😊 für ein faires Spiel berechnen
Wenn ein Spiel „fair“ sein soll, so muss gelten Erwartungswert $= 0$. Du kannst hier ähnlich vorgehen wie oben. Bezeichne den Gewinn für $zwei x 😊$ mit $x$.
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&-0,5\,€+\dfrac{1}{36}x+\dfrac{1}{16}\cdot2\,€ \\[5pt] \dfrac{1}{36}x&=&\dfrac{3}{8}\,€ &\quad \scriptsize \mid\; : \dfrac{1}{36} \\[5pt] x&=&13,5\,€ \end{array}$
$ $
Für ein faires Spiel müsste der Gewinn für $2$ x 😊 bei $13,50$€ liegen.
b)
$\blacktriangleright$  Mögliche Funktionsgleichung der Brücke bestimmen
Der Brückenbogen wird durch die Funktion $f(x)=ax^2+c$ beschrieben.
1. Schritt: gegebene Punkte ablesen
Durch den Text sind dir folgende Punkte gegeben:
$P_1(0|100) \longrightarrow $ Der höchste Punkt liegt bei $100\text{ m}$,
da die Fahrbahn bei der Hälfte der maximalen Höhe liegt ($50\text{ m}$).
$P_2(275|0)$ und $P_2(-275|0) \longrightarrow$ die Brücke ist an der Wasseroberfläche $550\text{ m}$ breit.
2. Schritt: Funktionsgleichung bestimmen
$P_1$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} 100&=&a\cdot0^2+c \\[5pt] c&=&100 \end{array}$
$P_2$ und $c$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&a\cdot275^2+100 \\[5pt] -75625a&=&100 \\[5pt] a&=&-\dfrac{4}{3025}\approx -0,0013 \\[5pt] \end{array}$
$ a \approx -0,0013 $
Eine mögliche Funktionsgleichung für den Brückenbogen lautet:
$y=-\dfrac{4}{3025}x^2+100$
$\blacktriangleright$  Länge der Fahrbahn berechnen
Um die Länge der Fahrbahn zu berechnen, benötigst du die $x$-Koordinate des Punktes, in dem die Fahrbahn den Brückenbogen schneidet.
Da sich die Fahrbahn auf einer Höhe von $50\text{ m}$ über der Wasseroberfläche ($x$-Achse) befindet, setzt du für $y=50$ in die gerade bestimmte Gleichung ein, um die $x$-Koordinate zu ermitteln. Sie beschreibt die Hälfte der Strecke der Fahrbahn.
$\begin{array}[t]{rll} 50&=&-\dfrac{4}{3025}x^2+100 &\quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{4}{3025}x^2 -50 \\[5pt] \dfrac{4}{3025}x^2&=&50 &\quad \scriptsize \mid\; :\dfrac{4}{3025} \\[5pt] x^2&=&37812,5 \\[5pt] x_{1/2}&=&\pm 194,5\approx \pm195 \end{array}$
$ $
Da eine Hälfte der Strecke $195\text{ m}$ lang ist, beträgt die gesamte Strecke der Fahrbahn $390\text{ m}$.
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