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Pflichtbereich

Aufgaben
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Aufgabe P1

(4 Punkte)
#trapez#rechteck

Aufgabe P2

(4 Punkte)
#gleichschenkligesdreieck#rechtwinkligesdreieck

Aufgabe P3

(4 Punkte)
#prisma#zylinder#kegel

Aufgabe P4

Die Grafik zeigt den täglichen Wasserverbrauch pro Kopf in Deutschland.
Um wie viel Prozent hat der Wasserverbrauch pro Kopf im Zeitraum von 1990 bis 2010 abgenommen?
Berechne, wie viele Liter Wasser im Jahr 2015 täglich für die Körperpflege pro Einwohner verbraucht wurden.
Einer Studie zufolge nimmt der Wasserverbrauch pro Kopf in den fünf Jahren von 2015 bis 2020 ab. Man geht davon aus, dass sich der Wasserverbrauch um $1\,\%$ pro Jahr, bezogen auf das Vorjahr, verringert.
Mit welchem Wasserverbrauch pro Kopf ist 2020 zu rechnen?
Täglicher Wasserverbrauch pro Einwohner
in Deutschland in Prozent im Jahr 2015
(3,5 Punkte)
#prozent

Aufgabe P5

Gib die Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung an:
$\dfrac{4}{x} + \dfrac{2x-2}{x+2} = \dfrac{3x^2}{x^2+2x}$
(3,5 Punkte)
#lösungsmenge#definitionsbereich

Aufgabe P6

Zu einer verschobenen, nach oben geöffneten Normalparabel $p$ gehört die teilweise ausgefüllte Wertetabelle.
$x$$0 $$ 1$$2 $$ 3$$4 $$5 $$ 6$
$y$$ 5$$ $$ $$ $$ $$ $$ 5$
$x$$y$
$ 0$$5 $
$ 1$$ $
$ 2$$ $
$ 3$$ $
$ 4$$ $
$ 5$$ $
$6 $$5 $
Gib die Funktionsgleichung der Parabel $p$ an.
Ergänze die fehlenden Werte in der Tabelle.
Durch den Schnittpunkt $R$ der Parabel $p$ mit der $y$-Achse und den Scheitelpunkt $S$ verläuft die Gerade $g.$
Berechne die Steigung $m$ der Geraden $g.$
(4 Punkte)
#steigung#parabel

Aufgabe P7

(3,5 Punkte)
#baumdiagramm#zufallsexperiment

Aufgabe P8

Die Jungen der Klassen 7a und 7b werfen im Sportunterricht mit einem $200-\text{g}-$Ball.
Die Wurfweiten werden in ganzen Metern erfasst.
Die Verteilungen der Wurfweiten der $17$ Jungen der Klasse 7a und der $13$ Jungen der Klasse 7b sind in den beiden Boxplots dargestellt.
Rangplatz$ 1$$ 2$$3 $$ 4$$ 5$$ 6$$ 7$$ 8$$ 9$$ 10$$ 11$$ 12$$ 13$$ 14$$ 15$$ 16$$ 17$
Klasse 7a$ $$ $$ $$ $$ $$23 $$ 25$$28 $$ 28$$35 $$36 $$ 38$$ 40$$ $$ $$ $$ $
RangplatzKlasse 7a
$ 1$$ $
$ 2$$ $
$3 $$ $
$ 4$$ $
$ 5$$ $
$ 6$$ 23$
$7 $$ 25$
$ 8$$ 28$
$9 $$28$
$ 10$$35 $
$11 $$36 $
$12 $$38 $
$13 $$40$
$ 14$$ $
$15 $$ $
$ 16$$ $
$17 $$ $
Rangplatz$ 1$$ 2$$3 $$ 4$$ 5$$ 6$$ 7$$ 8$$ 9$$ 10$$ 11$$ 12$$ 13$
Klasse 7b$ $$ $$ $$ $$24 $$25 $$ 28$$28 $$ 29$$36 $$38 $$ 40$
RangplatzKlasse 7b
$ 1$$ $
$ 2$$ $
$3 $$ $
$ 4$$ $
$ 5$$ 24$
$ 6$$ 25$
$7 $$ 28$
$ 8$$ 28$
$9 $$29$
$ 10$$36$
$11 $$38 $
$12 $$40 $
$13 $$$
Ordne die Boxplots den unvollständigen Ranglisten der Klassen 7a und 7b zu.
Begründe deine Entscheidung mithilfe geeigneter Kennwerte.
Ergänze die Ranglisten mit möglichen Werten.
Tom und Marc aus der Klasse 7a wurden im Nachhinein aus der Wertung genommen, da sie übertreten hatten. Tom hatte den Ball $23\,\text{m}$ und Marc $36\,\text{m}$ weit geworfen.
Alex behauptet: „Der Zentralwert ändert sich nicht, wenn Tom und Marc aus der Wertung genommen werden.“
Hat Alex recht? Begründe deine Antwort.
(3,5 Punkte)
#boxplot
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Aufgabe P1

$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Um den Flächeninhalt des Trapezes $EBCF$ zu berechnen benötigst du folgende Seitenlängen:
  • Die Längen der beiden parallelen Seiten $\overline{EB}$ und $\overline{FC}.$
  • Die Höhe des Trapezes, die der Seitenlänge $\overline{BC}= \overline{AD}$ entspricht.
1. Schritt: Seitenlänge $\overline{AE}$ berechnen
Da $ABCD$ ein Rechteck ist, besitzt das Dreieck $AED$ bei $A$ einen rechten Winkel. Du kennst also die Größe des Winkels $\delta_1 = 52,0^{\circ}$ und die Länge der zugehörigen Ankathete $\overline{AD} = 5,4\,\text{cm}.$ Die Strecke $\overline{AE}$ ist die Gegenkathete zu $\delta_1.$ Verwende also den Tangens:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \delta_1 &=& \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \\[5pt] \tan 52,0^{\circ} &=& \dfrac{\overline{AE}}{\overline{AD}} \\[5pt] \tan 52,0^{\circ} &=& \dfrac{\overline{AE}}{5,4\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 5,4\,\text{cm} \\[5pt] 6,9\,\text{cm}&\approx& \overline{AE} \end{array}$
$ \overline{AE}\approx 6,9\,\text{cm} $
2. Schritt: Seitenlänge $\overline{EB}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \overline{EB} &=& \overline{AB} - \overline{AE} \\[5pt] &\approx& 14,5\,\text{cm} - 6,9\,\text{cm} \\[5pt] &=& 7,6\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: Seitenlänge $\overline{DE}$ berechnen
Mit dem Satz des Pythagoras kannst du im Dreieck $AED$ die Seitenlänge $\overline{DE}$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AD}^2 + \overline{AE}^2&=& \overline{DE}^2 \\[5pt] (5,4\,\text{cm})^2 + (6,9\,\text{cm})^2 &=& \overline{DE}^2 \\[5pt] 76,77\,\text{cm}^2&=&\overline{DE}^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] 8,8\,\text{cm}&\approx& \overline{DE} \end{array}$
$ \overline{DE} \approx 8,8\,\text{cm} $
4. Schritt: Winkel $\delta_2$ berechnen
Winkelbezeichnung
Abb. 1: Beschriftung $\delta_2$
Winkelbezeichnung
Abb. 1: Beschriftung $\delta_2$
5. Schritt: Seitenlänge $\overline{DF}$ berechnen
Betrachte das Dreieck $DEF.$ Es besitzt bei $E$ einen rechten Winkel. Die bekannte Seite $\overline{DE} = 8,8\,\text{cm}$ ist die Ankathete zum Winkel $\delta_2.$ Die gesuchte Seite $\overline{DF}$ ist die Hypotenuse. Mit dem Kosinus folgt daher:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \delta_2 &=& \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \\[5pt] \cos 38,0^{\circ} &=& \dfrac{8,8\,\text{cm}}{\overline{DF}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{DF}\\[5pt] \cos 38,0^{\circ} \cdot \overline{DF} &=& 8,8\,\text{cm} &\quad \scriptsize \mid\; :\cos 38,0^{\circ} \\[5pt] \overline{DF} &\approx & 11,2\,\text{cm} \end{array}$
$ \overline{DF} \approx 11,2\,\text{cm} $
6. Schritt: Seitenlänge $\overline{FC}$ bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \overline{FC}&=& \overline{DC} - \overline{DF} &\quad \scriptsize \mid\; \overline{DC} = \overline{AB}\\[5pt] &=& 14,5\,\text{cm} - 11,2\,\text{cm}\\[5pt] &=& 3,3\,\text{cm} \end{array}$
$ \overline{FC} = 3,3\,\text{cm} $
7. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A_{EBCF}&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\overline{EB} + \overline{FC} \right)\cdot \overline{BC} \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(7,6\,\text{cm} +3,3\,\text{cm}\right)\cdot 5,4\,\text{cm} \\[5pt] &=& 29,43\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
$ A_{EBCF}= 29,43\,\text{cm}^2$
Der Flächeninhalt des Trapezes $EBCF$ beträgt ca. $29,43\,\text{cm}^2.$
#tangens#satzdespythagoras#kosinus

Aufgabe P2

$\blacktriangleright$  Seitenlänge berechnen
1. Schritt: Seitenlängen $\overline{AC}$ und $\overline{BC}$ berechnen
Betrachte das rechtwinklige Dreieck $AEC.$ Bekannt ist der Winkel $\epsilon,$ sowie die Länge der Hypotenuse $\overline{AE}.$ Gesucht ist die Länge der Gegenkathete $\overline{AC}.$ Verwende also den Sinus:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \epsilon &=& \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \\[5pt] \sin 55,0^{\circ} &=& \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AE}} \\[5pt] \sin 55,0^{\circ} &=& \dfrac{\overline{AC}}{9,4\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 9,4\,\text{cm} \\[5pt] 7,7\,\text{cm} &\approx& \overline{AC}\\[5pt] \end{array}$
$ \overline{AC} \approx 7,7\,\text{cm} $
Betrachte nun das Dreieck $ABC,$ das laut Aufgabenstellung gleichschenklig ist. Es ist also $\overline{BC} = \overline{AC} \approx 7,7\,\text{cm}.$
2. Schritt: Winkel $\alpha$ und $\beta$ berechnen
Winkelbezeichnung
Abb. 2: Beschriftung der Winkel
Winkelbezeichnung
Abb. 2: Beschriftung der Winkel
Da das Dreieck $ABC$ gleichschenklig ist, gilt $\beta = \alpha = 35,0^{\circ}.$
3. Schritt: Winkel $\gamma$ berechnen
In dem Dreieck $ABC$ kennst du nun die beiden Winkelgrößen $\alpha = \beta = 35,0^{\circ}.$ Mit der Winkelsumme eines Dreiecks ergibt sich daher:
$\begin{array}[t]{rll} \alpha + \beta + \gamma &=& 180^{\circ} \\[5pt] 35,0^{\circ} + 35,0^{\circ} + \gamma &=& 180^{\circ} \\[5pt] 70,0^{\circ} + \gamma &=& 180^{\circ} &\quad \scriptsize \mid\; -70,0^{\circ}\\[5pt] \gamma &=& 110,0^{\circ} \end{array}$
$ \gamma = 110,0^{\circ} $
4. Schritt: Seitenlänge $\overline{AB}$ berechnen
Verwende das Dreieck $ABC.$ Mit dem Sinussatz erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{AB}}{\sin \gamma} &=& \dfrac{\overline{BC}}{\sin \alpha} \\[5pt] \dfrac{\overline{AB}}{\sin 110,0^{\circ}} &=& \dfrac{7,7\,\text{cm}}{\sin 35,0^{\circ}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \sin 110,0^{\circ} \\[5pt] \overline{AB}&\approx & 12,6\,\text{cm} \end{array}$
$ \overline{AB}\approx 12,6\,\text{cm} $
5. Schritt: Seitenlänge $\overline{BE}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \overline{BE}&=& \overline{AB} - \overline{AE} \\[5pt] &=& 12,6\,\text{cm} - 9,4\,\text{cm}\\[5pt] &=& 3,2\,\text{cm} \end{array}$
Die Seite $\overline{BE}$ ist ca. $3,2\,\text{cm}$ lang.
#sinus#sinussatz

Aufgabe P3

$\blacktriangleright$  Höhe des Wasserstands berechnen
1. Schritt: Volumen des Wassers berechnen
Das Volumen des Wassers entspricht dem Volumen des Prismas. Mit der Formel für das Volumen eines Prismas ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Pr}}&=& a\cdot a\cdot h_{\text{Pr}} \\[5pt] &=& 10,0\,\text{cm} \cdot 10,0\,\text{cm} \cdot 25,0\,\text{cm}\\[5pt] &=& 2.500\,\text{cm}^3 \end{array}$
$ V_{\text{Pr}} = 2.500\,\text{cm}^3 $
2. Schritt: Höhe des Kegels berechnen
Da du den Durchmesser und die Seitenlänge $s$ des Kegels kennst, kannst du die Höhe $h$ des Kegels mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \left( \frac{d}{2}\right)^2 + h^2&=& s^2 \\[5pt] \left( \frac{17,8\,\text{cm}}{2}\right)^2 + h^2&=& \left(20,0\,\text{cm} \right)^2 \\[5pt] 79,21\,\text{cm}^2 + h^2&=& 400,00\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\;-79,21\,\text{cm}^2 \\[5pt] h^2 &=& 320,79\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] h&\approx& 17,9\,\text{cm} \end{array}$
$ h\approx 17,9\,\text{cm} $
3. Schritt: Volumen des Kegels berechnen
Mit der Formel für das Volumen eines Kegels folgt:
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Ke}}&=& \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2\cdot h \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot \left(\frac{17,8\,\text{cm}}{2}\right)^2\cdot 17,9\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 1.484,8\,\text{cm}^3\\[5pt] \end{array}$
$ V_{\text{Ke}} \approx 1.484,8\,\text{cm}^3 $
4. Schritt: Volumen des Wassers im Zylinder berechnen
$1.484,8\,\text{cm}^3$ des Wassers füllen den Kegel. Für den Zylinder bleiben also noch:
$ 2.500\,\text{cm}^3 - 1.484,8\,\text{cm}^3 = 1.015,2\,\text{cm}^3$
$ …= 1.015,2\,\text{cm}^3 $
5. Schritt: Höhe des Wassers im Zylinder berechnen
Das Wasser, das in den Zylinder läuft, bildet dort einen kleineren Zylinder, mit dem gleichen Durchmesser $d$ und der neuen Höhe $h_{\text{Wasser}}.$ Der Wasserzylinder hat das Volumen $1.015,2\,\text{cm}^3,$ das du oben berechnet hast. Mit der Formel für das Volumen eines Zylinders kannst du nun die Höhe des Wassers im Zylinder berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \pi \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2 \cdot h_{\text{Wasser}} \\[5pt] 1.015,2\,\text{cm}^3&=& \pi \cdot \left(\frac{17,8\,\text{cm}}{2}\right)^2 \cdot h_{\text{Wasser}} \\[5pt] 1.015,2\,\text{cm}^3&=& \pi \cdot 79,21\,\text{cm}^2 \cdot h_{\text{Wasser}} &\quad \scriptsize \mid\; :\left(\pi \cdot 79,21\,\text{cm}^2 \right) \\[5pt] 4,1\,\text{cm}&\approx& h_{\text{Wasser}} \end{array}$
$ h_{\text{Wasser}} \approx 4,1\,\text{cm}$
6. Schritt: Gesamtfüllhöhe des Wassers berechnen
Das Wasser füllt also den gesamten Kegel mit der Höhe $17,9\,\text{cm}$ und den Zylinder bis zur Höhe von ca. $4,1\,\text{cm}.$
$17,9\,\text{cm} +4,1\,\text{cm} = 22,0\,\text{cm}. $
Im zusammengesetzten Körper steht das Wasser also ca. $22,0\,\text{cm}$ hoch.
#satzdespythagoras

Aufgabe P4

$\blacktriangleright$  Prozentuale Abnahme des Wasserverbrauchs berechnen
Lies aus dem Diagramm zunächst den Verbrauch pro Kopf und Tag in Litern in den Jahren 1990 und 2010 ab:
  • Im Jahr 1990 verbrauchte jeder Einwohner pro Tag ca. $147\,\text{Liter}.$
  • Im Jahr 2010 verbrauchte jeder Einwohner pro Tag ca. $122\,\text{Liter}.$
Der Verbrauch pro Kopf hat also im betrachteten Zeitraum um $147\,\text{Liter}-122\,\text{Liter} = 25\,\text{Liter} $ abgenommen. In Prozent entspricht das:
$\dfrac{25\,\text{Liter}}{147\,\text{Liter}} \cdot 100\,\% \approx 17\,\%. $
Von 1990 bis 2010 hat der Wasserverbrauch pro Kopf und Tag also um ca. $17\,\%$ abgenommen.
$\blacktriangleright$  Wasserverbrauch für die Körperpflege berechnen
Aus Abbildung 4 kannst du ablesen, dass 2015 jeder Einwohner pro Tag ca. $122\,\text{Liter}$ Wasser verbraucht hat. Aus Abbildung 5 kannst du ablesen, dass davon im Schnitt $35\,\%$ für die Körperpflege verwendet wurden.
$122\,\text{Liter} \cdot \dfrac{35\,\%}{100\,\%} = 42,7\,\text{Liter}.$
Im Jahr 2015 wurden täglich $42,7\,\text{Liter}$ Wasser pro Einowhner für die Körperpflege verwendet.
$\blacktriangleright$  Wasserverbrauch im Jahr 2020 berechnen
Es handelt sich um exponentielle Abnahme. Der Wasserverbrauch $n$ Jahre nach $2015$ kann daher mit folgendem Term berechnet werden:
$122\,\text{Liter}\cdot (1-0,01)^n $
Den Wert für das Jahr 2020 erhältst du für $n=5:$
$122\,\text{Liter}\cdot (1-0,01)^5 \approx 116\,\text{Liter} $
$ …\approx 116\,\text{Liter} $
Im Jahr 2020 beträgt der durchschnittliche Wasserverbrauch pro Einwohner und pro Kopf voraussichtlich ca. $116\,\text{Liter}$ täglich.
#exponentielleswachstum

Aufgabe P5

$\blacktriangleright$  Definitionsmenge bestimmen
Die Definitionsmenge in diesem Fall wird lediglich dadurch eingeschränkt, dass der Nenner eines Bruchs nicht Null werden darf. Untersuche also die verschiedenen Nenner auf Nullstellen:
  • Der erste Nenner $x$ hat nur für $x=0$ eine Nullstelle.
  • Der zweite Nenner $x+2$ besitzt die Nullstelle $x=-2.$
  • Für den dritten Nenner gilt:
    $\begin{array}[t]{rll} x^2+2x&=& 0\\[5pt] x\cdot (x+2)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 =0 \\[5pt] x+2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] x_2&=& -2 \end{array}$
    $\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0\\[5pt] x_2&=& -2 \end{array}$
    Der zweite Nenner besitzt also ebenfalls die Nullstellen $x=0$ und $x=-2.$
Aus der Definitionsmenge müssen also $x=0$ und $x=-2$ ausgeschlossen werden. Abgesehen davon können alle reellen Zahlen eingesetzt werden:
$\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \{-2;0\}$
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge angeben
Bestimme zunächst einen gemeinsamen Hauptnenner aller Brüche in der Gleichung. Es gilt $x^2+2x = x\cdot (x+2).$ Ein möglicher Hauptnenner ist also $x\cdot(x+2).$ Bringe nun zunächst alle Brüche auf diesen Nenner.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4}{x} + \dfrac{2x-2}{x+2} &=& \dfrac{3x^2}{x^2+2x} \\[5pt] \dfrac{4\cdot (x+2)}{x\cdot (x+2)} + \dfrac{(2x-2)\cdot x}{(x+2)\cdot x}&=& \dfrac{3x^2}{x\cdot (x+2)}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot x\cdot (x+2) \\[5pt] 4\cdot (x+2) +(2x-2)\cdot x &=& 3x^2 \\[5pt] 4x +8 +2x^2 -2x &=& 3x^2 \\[5pt] 2x^2+2x+8&=& 3x^2&\quad \scriptsize \mid\;-3x^2 \\[5pt] -x^2+2x+8&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] x^2-2x-8&=& &\quad \scriptsize \mid\;pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1;2} &=& -\dfrac{-2}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{-2}{2}\right)^2 -(-8)}\\[5pt] &=& 1\pm \sqrt{9}\\[5pt] &=& 1\pm 3\\[10pt] x_1&=& 1-3 \\[5pt] &=& -2\\[10pt] x_2&=& 1+3\\[5pt] &=& 4\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 1-3 \\[5pt] &=& -2\\[10pt] x_2&=& 1+3\\[5pt] &=& 4\\[5pt] \end{array}$
Da $x=-2$ aus der Definitionsmenge ausgeschlossen ist, ist diese nicht Teil der Lösungsmenge:
$\mathbb{L} = \{4\}$
#bruchgleichung#pq-formel

Aufgabe P6

$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung angeben
Da es sich um eine nach oben geöffnete verschobene Normalparabel handelt, hat die Funktionsgleichung von $p$ folgende Form:
$y=p(x)= (x-x_S)^2 + y_S $
Dabei sind $(x_S\mid y_S)$ die Koordinaten des Scheitelpunkts.
Da Normalparabeln achsensymmetrisch sind zu der zur $y$-Achse parallelen Gerade durch den Scheitelpunkt, kannst du mithilfe der Wertetabelle die $x$-Koordinate $x_S$ des Scheitelpunkts bestimmen.
Du siehst, dass $p$ an den Stellen $x=0$ und $x=6$ den gleichen Funktionswert hat. Die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts muss genau in der Mitte dieser beiden Werte liegen.
Es ist also $x_S=3.$
Einsetzen liefert:
$y= p(x)= (x-3)^2 +y_S$
$y_S$ kannst du nun mithilfe einer Punktprobe bestimmen, indem du beispielsweise die Koordinaten $(0\mid 5)$ in die Funktionsgleichung einsetzt.
$\begin{array}[t]{rll} p(x) &=& (x-3)^2 + y_S &\quad \scriptsize \mid\; p(0)=5\\[5pt] 5&=& (0-3)^2 + y_S \\[5pt] 5&=& 9+y_S &\quad \scriptsize \mid\;-9 \\[5pt] -4&=& y_S \end{array}$
$ y_S=-4 $
Die Funktionsgleichung der Parabel $p$ lautet also:
$y= p(x)= (x-3)^2 -4$
$\blacktriangleright$  Tabelle ergänzen
Mithilfe der Funktionsgleichung kannst du die fehlenden Funktionswerte berechnen und erhältst dann:
$x$$0 $$ 1$$2 $$ 3$$4 $$5 $$ 6$
$y$$ 5$$0 $$-3 $$-4$$-3 $$0 $$ 5$
$x$$y$
$ 0$$5 $
$ 1$$0 $
$ 2$$-3 $
$ 3$$-4 $
$ 4$$ -3$
$ 5$$0 $
$6 $$5 $
$\blacktriangleright$  Steigung der Geraden berechnen
Die Parabel $p$ hat an der Stelle $x=0$ den Funktionswert $y=5.$ Sie schneidet die $y$-Achse also im Punkt $R(0\mid 5).$ Die Koordinaten des Scheitelpunkts sind $S(3\mid -4).$ Mit dem Differenzenquotienten kannst du die Steigung der Gerade durch diese beiden Punkte bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} m &=& \dfrac{y_S -y_P}{x_S-x_P} \\[5pt] &=& \dfrac{-4-5}{3-0} \\[5pt] &=& \dfrac{-9}{3} \\[5pt] &=& -3 \\[5pt] \end{array}$
Die Steigung der Geraden $g$ beträgt $m=-3.$

Aufgabe P7

$\blacktriangleright$  Baumdiagramm vervollständigen
Im Baumdiagramm ist für das erste Gummibärchen eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{5}{12}$ angegeben, dafür, dass es grün ist.
Zu Beginn sind also $5$ grüne Gummibärchen in der Schale. Verfolgst du den Pfad $r-r,$ so ist am zweiten Ast eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{2}{11}$ angegeben, dafür dass das zweite Gummibärchen rot ist, nachdem schon das erste Gummibärchen rot ist.
Nachdem bereits ein rotes Gummibärchen aus der Schale gezogen wurde, sind von den $11$ verbliebenen Gummibärchen also noch $2$ rot. Zu Beginn müssen dann $3$ Gummibärchen rot gewesen sein.
Insgesamt sind zu Beginn $12$ Gummibärchen in der Schale, von denen $3$ rot und $5$ grün sind. Es sind zu Beginn also $4$ weiße Gummibärchen in der Schale.
Mit dieser Information kannst du nun das Baumdiagramm vervollständigen.
Baumdiagramm
Abb. 3: Baumdiagramm
Baumdiagramm
Abb. 3: Baumdiagramm
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Verwende die Pfadmultiplikations- und die Pfadadditionsregel. Du erhältst für die Wahrscheinlichkeit von genau einem roten Gummibärchen:
$\begin{array}[t]{rll} P(r-g) + P(r-w) + P(g-r) + P(w-r)&=& \frac{3}{12}\cdot \frac{5}{11} + \frac{3}{12}\cdot \frac{4}{11} + \frac{5}{12}\cdot \frac{3}{11}+ \frac{4}{12}\cdot \frac{3}{11} \\[5pt] &=& \frac{9}{22}\\[5pt] \end{array}$
$ …=\frac{9}{22} $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{9}{22}$ zieht Antonetta genau ein rotes Gummibärchen.
Dass Antonetta höchstens ein weißes Gummibärchen zieht, ist das Gegenereignis dazu, dass sie genau zwei weiße Gummibärchen zieht. Diese Wahrscheinlichkeit kannst du schneller berechnen:
$P(w-w) = \frac{4}{12}\cdot \frac{3}{11} = \frac{1}{11}$
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist daher: $1- \frac{1}{11} = \frac{10}{11}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{10}{11}$ zieht Antonetta höchstens ein weißes Gummibärchen.
#pfadregeln

Aufgabe P8

$\blacktriangleright$  Boxplots zuordnen
Bestimme anhand der unvollständigen Ranglisten wichtige Kennwerte, die im Boxplot vorkommen.
Dem Boxplot kannst du entnehmen, dass der Median und das untere Quartil bei beiden Ranglisten gleich sind. Diese Werte helfen dir bei der Zuordnung also nicht. Minimum und Maximum kannst du aus den Ranglisten nicht ablesen. Verwende also das obere Quartil.
Das obere Quartil der ersten Rangliste ist auf Rangplatz 13 und beträgt daher $40.$
Das obere Quartil der zweiten Rangliste ist auf Rangplatz 10 und beträgt daher $36.$
Vergleichst du die Boxplots, so siehst du, dass das obere Quartil von Boxplot (1) dem der ersten Rangliste entspricht und das obere Quartil von Boxplot (2) dem der zweiten Rangliste entspricht.
Boxplot (1) gehört also zur ersten Rangliste, Boxplot (2) gehört zur zweiten Rangliste.
$\blacktriangleright$  Ranglisten ergänzen
Beachte folgende Informationen aus den Boxplots:
  • Das Minimum im ersten Boxplot beträgt $12,$ das Maximum ist $46.$ In der ersten Rangliste von Klasse 7a muss Rangplatz 1 also den Wert $12$ haben und Rangplatz $17$ den Wert $46.$
  • Das untere Quartil im ersten Boxplot beträgt $22.$ In der zugehörigen Rangliste liegt das untere Quartil auf Rangplatz 5. In der Rangliste von Klasse 7a muss also Rangplatz 5 den Wert $22$ haben.
  • Das Minimum im zweiten Boxplot beträgt $6,$ das Maximum ist $48.$ In der zweiten Rangliste von Klasse 7b muss Rangplatz 1 also den Wert $6$ haben und Rangplatz $13$ den Wert $48.$
  • Das untere Quartil im zweiten Boxplot beträgt $22.$ In der zugehörigen Rangliste liegt das untere Quartil auf Rangplatz 4. In der Rangliste von Klasse 7b muss also Rangplatz 4 den Wert $22$ haben.
Die übrigen Werte kannst du mir Zahlen auffüllen, die in die Reihenfolge passen. Hier gibt es mehrere Möglichkeiten Eine Beispiellösung ist folgende. Dabei sind die Werte, die exakt übereinstimmen müssen rot, Werte, bei denen es verschiedene Lösungen gibt sind grün:
Rangplatz$ 1$$ 2$$3 $$ 4$$ 5$$ 6$$ 7$$ 8$$ 9$$ 10$$ 11$$ 12$$ 13$$ 14$$ 15$$ 16$$ 17$
Klasse 7a$\color{#db2416}{12 }$$\color{#87c800}{14} $$\color{#87c800}{16} $$ \color{#87c800}{18}$$\color{#db2416}{22} $$23 $$ 25$$28 $$ 28$$35 $$36 $$ 38$$ 40$$\color{#87c800}{41} $$\color{#87c800}{42} $$\color{#87c800}{43} $$\color{#db2416}{46} $
RangplatzKlasse 7a
$ 1$$\color{#db2416}{12 } $
$ 2$$ \color{#87c800}{14} $
$3 $$\color{#87c800}{16} $
$ 4$$\color{#87c800}{18} $
$ 5$$\color{#db2416}{22} $
$ 6$$ 23$
$7 $$ 25$
$ 8$$ 28$
$9 $$28$
$ 10$$35 $
$11 $$36 $
$12 $$38 $
$13 $$40$
$ 14$$\color{#87c800}{41} $
$15 $$ \color{#87c800}{42}$
$ 16$$\color{#87c800}{43} $
$17 $$\color{#db2416}{46} $
Rangplatz$ 1$$ 2$$3 $$ 4$$ 5$$ 6$$ 7$$ 8$$ 9$$ 10$$ 11$$ 12$$ 13$
Klasse 7b$ \color{#db2416}{6}$$ \color{#87c800}{10}$$\color{#87c800}{16} $$\color{#db2416}{22} $$24 $$25 $$ 28$$28 $$ 29$$36 $$38 $$ 40$$\color{#db2416}{48}$
RangplatzKlasse 7b
$ 1$$\color{#db2416}{6} $
$ 2$$\color{#87c800}{10} $
$3 $$\color{#87c800}{16} $
$ 4$$\color{#db2416}{22} $
$ 5$$ 24$
$ 6$$ 25$
$7 $$ 28$
$ 8$$ 28$
$9 $$29$
$ 10$$36$
$11 $$38 $
$12 $$40 $
$13 $$\color{#db2416}{48}$
$\blacktriangleright$  Aussage überprüfen
Der Zentralwert der Rangliste von Klasse 7a liegt auf Rangplatz 9. Der Wert $23\,\text{m}$ liegt auf Rangplatz 6, der zweite Wert $36\,\text{m}$ liegt auf Rangplatz 11.
Es wird also jeweis unterhalb und oberhalb des Zentralwerts ein Wert entfernt. Es befinden sich nun noch $7$ Werte unterhalb und $7$ Werte oberhalb des ursprünglichen Zentralwerts. Damit bleibt der Zentralwert erhalten, da gleich viele Werte oberhalb und unterhalb entfernt werden.
Alex hat also recht.
#quartil
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